D136函数展开成幂级数PPT学习教案

1、会计学1D136函数展开成幂级数函数展开成幂级数)()(0 xfxf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中)(xRn( 在 x 与 x0 之间)称为拉格朗日余项拉格朗日余项 .10)1()(! ) 1()(nnxxnf则在若函数0)(xxf在的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式 ,该邻域内有 :上页 下页 返回 结束 第1页/共33页)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(为f (x) 的泰勒级数泰勒级数 . 则称当x0 = 0 时, 泰勒

2、级数又称为麦克劳林级数麦克劳林级数 .1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?若函数的某邻域内具有任意阶导数, 0)(xxf在上页 下页 返回 结束 第2页/共33页各阶导数, )(0 x则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足:.0)(limxRnn证明证明:,)(!)()(000)(nnnxxnxfxf令)()()(1xRxSxfnn)(limxRnn)()(lim1xSxfnn,0)(0 xxknkknxxkxfxS)(!)()(000)(1)(0 xx设函数 f (x) 在点 x0 的某一

3、邻域 内具有上页 下页 返回 结束 第3页/共33页若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.证证: 设 f (x) 所展成的幂级数为),(,)(2210RRxxaxaxaaxfnn则;2)(121nnxnaxaaxf)0(1fa;) 1(!2)(22 nnxannaxf)0(!212fa ;!)()(nnanxf)0()(!1nnnfa 显然结论成立 .)0(0fa 上页 下页 返回 结束 第4页/共33页1. 直接展开法直接展开法由泰勒级数理论可知, 展开成幂级数的步函数)(xf第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;第二步 写

4、出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间(R, R) 内)(limxRnn是否为骤如下 :展开方法展开方法直接展开法 利用泰勒公式间接展开法 利用已知其级数展开式0. 的函数展开上页 下页 返回 结束 第5页/共33页xexf)(展开成 x 的幂级数. 解解: ,)()(xnexf), 1 ,0(1)0()(nfn1其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足 )(xRne! ) 1( n1nxxe! ) 1(1nxn故,!1!31!21132nxxnxxxenRlim!1n! ) 1(1nn0),(x( 在0与x 之间)x2!21x3!31xnxn!1故得级数

5、上页 下页 返回 结束 第6页/共33页xxfsin)(展开成 x 的幂级数.解解: )()(xfn)0()(nf得级数:x)sin(2 nx其收敛半径为 ,R对任何有限数 x , 其余项满足 )(xRn) 1(sin(2 n! ) 1( n1nx! ) 1(1nxn12kn),2, 1,0(k3!31x5!51x12! ) 12(11) 1(nnnx),(xxsinn0kn2,) 1(k,012! ) 12(115!513!31) 1(nnnxxxx上页 下页 返回 结束 第7页/共33页nnxnxxx2142! )2(1) 1(!41!211cos类似可推出:),(x),(x12153!

6、) 12(1) 1(!51!31sinnnxnxxxx上页 下页 返回 结束 第8页/共33页mxxf)1 ()(展开成 x 的幂级数, 其中m为任意常数 . 解解: 易求出 , 1)0(f,)0(mf, ) 1()0( mmf, ) 1()2)(1()0()(nmmmmfn于是得 级数 mx12!2) 1(xmm由于1limnnnaaRnmnn1lim1nxnnmmm!) 1() 1(级数在开区间 (1, 1) 内收敛. 因此对任意常数 m, 上页 下页 返回 结束 第9页/共33页11, )(xxF2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(1! ) 1() 1() 1(111)(

7、nxnnmmxmmxFxmxF1)()()1 (xFx),(xmFmxxF)1 ()(xxxxmxxFxF00d1d)()()1ln()0(ln)(lnxmFxF1)0(F则上页 下页 返回 结束 为避免研究余项 , 设此级数的和函数为第10页/共33页2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(xmxm1)1 ()11(x称为二项展开式二项展开式 .说明说明：(1) 在 x1 处的收敛性与 m 有关 .(2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理二项式定理.上页 下页 返回 结束 由此得 第11页/共33页对应1,2121m的二项展开式

8、分别为xx21112421x364231x)11(x48642531x111 x24231x3642531x)11(x486427531xx21111 x2x3x)11(xnnx) 1(x上页 下页 返回 结束 ) 11(1112xxxxxn第12页/共33页211x x11利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 例例4. 将函数展开成 x 的幂级数.解解: 因为nnxxx) 1(12)11(x把 x 换成2x211xnnxxx242) 1(1)11(x, 得将所给函数展开成 幂级数. 上页 下页 返回 结束 第13页/共33页)1ln()(xxf展开成 x 的幂级数.解解: xxf11

9、)()11() 1(0 xxnnn从 0 到 x 积分, 得xxxxnnnd) 1()1ln(00,1) 1(01nnnxn定义且连续, 区间为.11x利用此题可得11) 1(41312112lnnn11x11x上式右端的幂级数在 x 1 收敛 ,有在而1)1ln(xx所以展开式对 x 1 也是成立的,于是收敛上页 下页 返回 结束 第14页/共33页xsin展成4x解解: )(sinsin44xx)sin(cos)cos(sin4444xx)sin()cos(4421xx2132)4(!31)4(!21)4(121xxx)(x的幂级数. 2)4(!21x4)4(!41x1)4(x3)4(!3

10、1x5)4(!51x上页 下页 返回 结束 第15页/共33页3412 xx展成 x1 的幂级数. 解解: )3)(1(13412xxxx)3(21)1 (21xx 14121x 4121x222) 1(xnnnx2) 1() 1( 81141x224) 1(xnnnx4) 1() 1(nnnnnx) 1(2121) 1(3220)31(x)21(x 18141x1上页 下页 返回 结束 第16页/共33页1. 函数的幂级数展开法(1) 直接展开法 利用泰勒公式 ;(2) 间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开2. 常用函数的幂级数展开式xe1),(x)1 (lnxx1, 1(xx2!21x,

11、!1nxn221x331x441x11) 1(nnxn式的函数 .上页 下页 返回 结束 第17页/共33页! ) 12() 1(12nxnnxsinx!33x!55x!77xxcos1!22x!44x!66x! )2() 1(2nxnnmx)1 ( 1xm2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(当 m = 1 时x11,) 1(132nnxxxx),(x),(x) 1, 1(x) 1, 1(x上页 下页 返回 结束 第18页/共33页1. 函数0)(xxf在处 “有泰勒级数” 与 “能展成泰勒级数” 有何不同 ?提示提示: 后者必需证明, 0)(limxRnn前者无此要求.2.

12、如何求xy2sin的幂级数 ?提示提示:xy2cos21210! )2(1) 1(2121nnn,! )2(4) 1(2121nnnnxn),(xnx2)2(上页 下页 返回 结束 第19页/共33页mxxm1)1 (2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1()11(x例例8. 计算5240.104 32r8231!254112331!3594116431!451494181181131256)31511(3240459926. 200741. 03的近似值, 精确到282811811131!254134105 . 013431518231!254112331!35941解解: 55

13、3243240514)1(331上页 下页 返回 结束 第20页/共33页)11(432)1ln(432xxxxxx2ln的近似值 ,使准确到.104解解: 已知)11(432)1ln(432xxxxxx故)1ln()1ln(11lnxxxx5351312xxx令211xx得7533171315131313122ln)11(x,31x于是有上页 下页 返回 结束 第21页/共33页9431912r211)91(91132911111327533171315131313122ln6931. 01131111133113193414102 . 0787321在上述展开式中取前四项, 上页 下页 返

14、回 结束 第22页/共33页xx11ln中,令121nx53)121(51)121(3112121lnnnnnn得) 1ln( n具此递推公式可求出任意正整数的对数 . 如53)91(51)91(319122ln25ln6094. 1 ( n为自然数) , 53)121(51)121(311212lnnnnn5351312xxx上页 下页 返回 结束 第23页/共33页),(ddyxfxy00yyxx.),(00的多项式及是其中yyxxyxf幂级数解法: 202010)()(xxaxxayy将其代入原方程, 比较同次幂系数可定常数 ,21aa由此确定的级数即为定解问题在收敛区间内的解. 设所求

15、解为本质上是待定系数法nnxxa)(0上页 下页 返回 结束 四. 微分方程幂级数解法第24页/共33页2yxy求方程解解:根据初始条件, 设所求特解为nnxaxaxay221代入原方程, 得.00的特解满足xy453423215432xaxaxaxaa233221)(xaxaxax43122321221)2(2xaaaxaaxax比较同次幂系数, 得, 01a,212a, 03a, 04a,2015a故所求解的幂级数前几项为 52201xxy上页 下页 返回 结束 第25页/共33页0)()( yxQyxPy定理定理. nnnxay0则在R x 4 时,111nnana44)2)(1(1an

16、n! ) 1(1n上页 下页 返回 结束 第27页/共33页因此nnnxay0nnxn4! ) 1(1nnxnx3!1,!10nnxxne)211(2xxexyx注意到:此题的上述特解即为上页 下页 返回 结束 第28页/共33页作 业 P328 A类： 1 (7) , (8) , (9) , (10) ; 2 (2) (4) ; 7 (1)上页 下页 返回 结束 第29页/共33页将下列函数展开成 x 的幂级数xxxf11arctan)(解解:)(xf211x,) 1(02nnnx)1 , 1(x)0()(fxf002d) 1(nxnnxx01212) 1(nnnxnx1 时, 此级数条件收敛,4)0(f,12) 1(4)(012nnnxnxf1, 1x因此 上页 下页 返回 结束 第30页/共33页)1 (lnxx1, 1(x221x331x441x11) 1(nnxn在x = 0处展为幂级数.)32ln()(2xxxf解解:)1ln(2ln)1ln()(23xxxf )1ln(x)32)(1 (322xxxx1nnnx) 11(x)1ln(23xnnnxn)(23) 1(11)(3232xnnnxn)(1 12ln231)(3232x因此2ln)(xf1nnnxnnnxn)