大一经济数学基础微积分Appt课件

1、1.1 实实 数数 (R)1. 实数的分类实数的分类实数实数无理数：无理数：有理数有理数(Q)：无限不循环小数无限不循环小数正数正数负数负数正整数正整数分数分数(0)qpp 2. 实数的性质实数的性质1).实数关于加、减、乘、除四种运算封锁实数关于加、减、乘、除四种运算封锁. 思索自然数思索自然数N、整数、整数Z、无理数、有理数、无理数、有理数Q能否关于上能否关于上述四种运算封锁述四种运算封锁?352 N 30.65 Z 220不是无理数，而是有理数不是无理数，而是有理数.只需有理数关于此四种运算封锁只需有理数关于此四种运算封锁.零零正分数正分数负整数负整数负分数负分数 可以把数轴看成是实数的

2、直观图形可以把数轴看成是实数的直观图形( (几何模型几何模型),),即即一个实数可以了解为数轴上的一个点。一个实数可以了解为数轴上的一个点。4).实数与数轴的上的点一一对应。实数与数轴的上的点一一对应。2).实数是有序的实数是有序的,即恣意两个实数即恣意两个实数a,b必满足下述三个关必满足下述三个关系系 之一：之一：ab,ab,a=b.实数的三歧性实数的三歧性3).实数具有稠密性实数具有稠密性.而实数不仅具有稠密性而实数不仅具有稠密性,而且具有延续性而且具有延续性(实数间无实数间无“空隙空隙) 。例例.设设a为有理数，为有理数，x为无理数，证明：为无理数，证明：(1)a+x是无理数是无理数 (

3、2)当当a0时，时，ax是无理数是无理数.证：反证法证：反证法axb 若若为为有有理理数数, ,则则因因为为有有理理数数对对四四种种运运算算满满足足封封闭闭性性, ,xba,也也为为有有理理数数,ax 与与已已知知矛矛盾盾 所所以以.为为无无理理数数3. 实数的绝对值实数的绝对值1).定义定义ab ababba ab ,0|,0aaaaa 2).几何意义几何意义|aa表表示示实实数数 与与原原点点的的距距离离; ;|abab 表表示示实实数数 与与 的的距距离离; ;3).性质性质21 | | 0,|.aaaa 2; aba b |3|(0).|aabbb 4|.aaa 5|;ahhah |;

4、(0)ahahah h 或或思索：两个等号何时成立？思索：两个等号何时成立？0,;aaaa0,aaaa 0,;aaaa6|; | ababab |abab , | abab 下下证证：,ababab （）ababab即即|,|,aaabbb|,|,aaabbb 从从而而|,ababab.abab于于是是成成立立| abab下下证证：|.ababab即即证证| |aabb |abb| |bbaa |aba |,abab|abab |.ababab 即即|.| abab 因因此此abab|,aabb|.bbaa 4. 常用的实数集常用的实数集-区间和邻域区间和邻域设设a, ba, b都是实数都是实

5、数, , 且且ab,ab,有下面方式的区间有下面方式的区间a bx axb , , a bx axb( , , , ),a bx axb ababab(, ),axxa a闭区间闭区间半开半半开半闭区间闭区间无穷区间无穷区间区间区间,x xa 或或(, ,axxa a ,),ax ax a( ,),ax ax a(,).xx 无穷区间无穷区间,x xa,x xa,x xa邻域邻域定义定义1 以以x0为中心为中心, 以以 为半径为半径, 长为长为2 的开区间的开区间.即即 000(,),0,xxx xx 2 0 xx0 0 x 称为点称为点 x0 的的 邻域邻域 , 记为记为U(x0 , ).例

6、例1 U(2 , 1) U(- , )=x|x-2|1=(1,3).= x|x + | 01.2 函数的概念函数的概念一、一、 函数的定义函数的定义 定义定义 设设D为一个非空实数集为一个非空实数集,假设对假设对D中每一中每一个值个值 x,按照一定的对应法那么按照一定的对应法那么 ,总有确定的数值总有确定的数值y和它对应和它对应,那么称那么称 f是定义在是定义在D上的一个函数上的一个函数,记作记作 y=(x). 称称 x 为自变量为自变量, y 为因变量为因变量; D 为为 f 的定义的定义域域; 注：注：1. 要求定义域要求定义域D为非空集合为非空集合.21yx 如如：0 x当当 时时, ,

7、称称 为函数在为函数在 的函数值的函数值. .Dx 0)(0 xf函数值全体组成的数集函数值全体组成的数集 Z =y|y=f(x), xD为为 f 的值域的值域.4. 定义域定义域D和对应法那么和对应法那么f 是确定函数的两要是确定函数的两要素素.3. 函数的定义域是使函数有意义的自变量的全体。函数的定义域是使函数有意义的自变量的全体。所以普通情况下，函数的定义域都省略不写所以普通情况下，函数的定义域都省略不写.1( ),f xx 如如：|0fDx x( )21,f xx1|2fDx x 在判别两个函数能否一样时，判别其能否具有在判别两个函数能否一样时，判别其能否具有一样的定义域及对应法那么一

8、样的定义域及对应法那么.2. 由由f 确定的确定的y 值，必需是独一的值，必需是独一的.这类函数成为单值函数这类函数成为单值函数, 还有一类函数为多值函数还有一类函数为多值函数.2222,.yx xya 如如：( )1(,)( )(,0)(0,)f xxxg xxx 例例：( )1(,)( )2(,)f xxg xx 定定义义域域不不同同对对应应法法则则不不同同2( ) |( )f xxg xx 形形式式上上不不同同的的函函数数可可能能表表示示同同一一个个函函数数. .2( )( )f xxg xx xR 值值域域不不同同fZR 0,)gZ 2( )210,25( )0,24f xxxg xx

9、x 1,x 当当时时(1)3,f 5(1).4g 对对应应法法则则不不同同 由于有些函数的对应法那么虽然方式上不同，由于有些函数的对应法那么虽然方式上不同，但却表示同一个函数但却表示同一个函数,所以在判别过程中经常把两所以在判别过程中经常把两个函数的定义域及值域能否一样作为一种判别方个函数的定义域及值域能否一样作为一种判别方法法. 但要留意的是但要留意的是,函数的定义域及值域一样仅是两函数的定义域及值域一样仅是两个函数一样的必要条件而非充分条件个函数一样的必要条件而非充分条件.即普通用它即普通用它来判别两个函数不一样来判别两个函数不一样.ycos xusin v 221 5.同一个函数不会因自

10、变量同一个函数不会因自变量,因变量字符的改动因变量字符的改动而发生改动而发生改动.二、函数的表示法二、函数的表示法: :列举法、描画法、列表法、图列举法、描画法、列表法、图象法象法. .三、分段函数三、分段函数 问题：能否一切的函数都可用一个数学式子问题：能否一切的函数都可用一个数学式子表示呢？表示呢？ 有的函数在其定义域的不同范围内有的函数在其定义域的不同范围内, ,要用两个要用两个或两个以上的数学式子来表示或两个以上的数学式子来表示, ,这一类函数叫作这一类函数叫作分段函数分段函数. .例：绝对值函数例：绝对值函数 00 xxyxx x yxo oy=|x|1,0sgn()0,01,0 x

11、yxxx 例例 符号函数符号函数11o oxy例例 狄立克莱函数狄立克莱函数 1,(0,(xQyxQ 有理数集)有理数集)无理数集)无理数集)例例 取整函数取整函数(阶梯曲线阶梯曲线) y = x 为不超越为不超越 x 的最大整的最大整数部分数部分. 实践上是取左端点实践上是取左端点. .o oxy1 12 21111220.3=02.8=2-0.3=-1-2.6= -31112 0011101kkxkxyxxxkkxk 注：分段函数虽然有几个式子，但它们合起来注：分段函数虽然有几个式子，但它们合起来是一个函数，而不是几个函数是一个函数，而不是几个函数. .四、函数定义域的求法四、函数定义域的

12、求法1.1.实践问题中的函数定义域实践问题中的函数定义域 例例 边长为边长为a的正方形铁皮，在四个角裁掉的正方形铁皮，在四个角裁掉边长为边长为x的四个小正方形后，所得铁皮折为一个的四个小正方形后，所得铁皮折为一个无顶的立方体，问无顶的立方体，问x多大时，可使容积最大？多大时，可使容积最大？V axx 2(2 )axVD axx |02ax (0,)2集合表示法集合表示法区间表示法区间表示法2.2.普通函数的定义域普通函数的定义域例例 求函数求函数 的定义域的定义域. .yxx 1(4)ln(2)解：解：要使要使 有意义，必需有有意义，必需有yxx 1(4)ln(2)xxx 40ln(2)020

13、 xxx 4212xxx 432从而，函数的定义域为从而，函数的定义域为x (2,3)(3,4)(4,) 如未特别指明如未特别指明,函数定义域函数定义域Df 为使函数有意义的自变为使函数有意义的自变量的全体量的全体.例例 求函数求函数 的定义域的定义域. .xyxx 2223解：解：要使要使 有意义，必需有有意义，必需有xyxx 2223xxxxx 222023230 xxx 220230 xxx 220230或或xxx 20(1)(3)0 xxx 20(1)(3)0或或xxx 213或或xx 213或或从而，函数的定义域为从而，函数的定义域为x ( 1,2(3,) xxx 213或或xx 2

14、13或或xx 23xx 213或或x 3x12或或3.3.分段函数的定义域分段函数的定义域分段函数的定义域为各分段子定义域的并集分段函数的定义域为各分段子定义域的并集. .xxf xxxx 2210( )10201例例 求函数求函数 的定义域的定义域. .解：可以看出，函数的定义域为解：可以看出，函数的定义域为x 1,0(0,1 x 1,1.即即例例.)3(,212101)(的的定定义义域域求求函函数数设设 xfxxxf解解 23121301)3(xxxf 212101)(xxxf 122231xx故故f(x+3)的定义域为：的定义域为：-3,-1确定分段函数的定义域并求确定分段函数的定义域并

15、求f (1), f (0), f (1), f (x1).2110 ( ),201xxf xx 例例 222 01.212xxxx 解解( 1)2f (0)2f (1)2f 2(1)1110(1),201 1xxf xx 2(1)(,),0,).yxyx 的的值值域域的的值值域域2(5)1cos22cos2 |cos|yxxx0, 2,值值域域为为2cos2, 2.yx 的的值值域域为为习题习题1.3 函数的根本性质函数的根本性质一、一、 单调性单调性单调性、有界性、奇偶性和周期性单调性、有界性、奇偶性和周期性上上升升下下降降对应曲线是对应曲线是的的. 那么称那么称(x)(x)在区间在区间 I

16、 I 上严厉单调或单调上严厉单调或单调.增增 加加减减 少少xyo2x1x1()f x2()f xy= (x)2x1()f x2()f xy= (x)oxy1x 设设(x)(x)为定义在区间为定义在区间 I I 上的函数上的函数, ,假设假设x1, x1, x2D,x2D,当当x1 x2 x10,使得对使得对xD,都有都有| f (x)| M 成立成立,那么称那么称f (x)在在D上有上有界界.oy=My=Mxyy= (x) 函数在区域函数在区域D上有界的充要条件是在该区域上上有界的充要条件是在该区域上既有上界又有下界既有上界又有下界.1,(,),Mx 取取此此时时对对都都有有|sin| 1,

17、x 所以函数所以函数 y=sin(x)在在，上有界上有界.2 1,2yx 例例 判判断断函函数数在在上上是是否否有有界界. .4, 1,2,Mx 取取此此时时对对都都有有2|4,x 2 1,2yx 所所以以函函数数在在上上有有界界. .2,yx 例例 判判断断函函数数在在上上是是否否有有界界. .oxy2yx 设函数设函数 f (x)在在D上有定义上有定义.假设假设M,使得对使得对xD,都都有有f (x) M 成立成立,那么称那么称f (x)在在D上有上界上有上界. 设函数设函数 f (x)在在D上有定义上有定义.假设假设M,使得对使得对xD,都都有有f (x) M 成立成立,那么称那么称f

18、(x)在在D上有下界上有下界. 设函数设函数 f (x)在在D上有定义上有定义.假设假设M0,使得对使得对xD,都有都有| f (x)| M 成立成立,那么称那么称f (x)在在D上有界上有界. 设函数设函数 f (x)在在D上有定义上有定义.假设假设 M,x0(M)D,使得使得 f (x0) M ,那么称那么称f (x)在在D上无上界上无上界. 设函数设函数 f (x)在在D上有定义上有定义.假设假设 M,x0 (M) D,使得使得f (x0) 0,x0 (M) D,使得使得 f (x0) M或或 f (x0)|-M 成立成立,那么称那么称f (x)在在D上无界上无界. oxyx0 y =M y =M1x12(,)yx 例例 判判断断函函数数在在上上是是否否有有界界. .0,M 解解： 0 x 取取200()f xx 此此时时1M 2(1)M 221MM M 2(,)yx 所所以以函函数数在在上上无无界界. .1,M 0 x 取取0()f x此此时时M2M M