第九章 振动和波动

1、第四篇 振动和波 振动振动 ：任何物理量任何物理量( (力学量、电学量、热学量力学量、电学量、热学量) ) 在某一定值附近随时间周期性变化在某一定值附近随时间周期性变化 波动波动 ：振动在空间的传播振动在空间的传播( (振动的集体效应振动的集体效应) )共同特征：共同特征：运动在时间、空间上的周期性运动在时间、空间上的周期性结构框图结构框图简谐简谐振动振动振动的合振动的合成成电磁振荡电磁振荡阻尼振动阻尼振动受迫振动受迫振动共振共振重点重点简谐振动简谐振动（运动方程、特征量、描述方法运动方程、特征量、描述方法、能量能量）其基本概念和方法可迁移到相关的领域其基本概念和方法可迁移到相关的领域（阻尼振

2、动，受迫振动，共振；电磁振荡）（阻尼振动，受迫振动，共振；电磁振荡）第第9 9章章 振动学基础振动学基础 9.1 9.1 简谐振动简谐振动一一. 运动方程运动方程轻弹簧轻弹簧 k + 刚体刚体 m (平动平动质点）质点）1. 1. 理想模型：理想模型：弹簧振子弹簧振子物体就会在回复力的作用下形成物体就会在回复力的作用下形成简谐振动简谐振动F=-kx( (平衡位置为坐标原点）平衡位置为坐标原点）扩展扩展: :不仅适用于弹簧系统不仅适用于弹簧系统kxF 回复力：重力与浮力的合力回复力：重力与浮力的合力glkkxF水水 2 浮浮Fgmoxl立方体立方体F = - k x准弹性力准弹性力系统本身决定的

3、常数系统本身决定的常数离系统平衡离系统平衡位置的位移位置的位移22ddtxmFxkF 0dd22 xmktx2. 2. 运动方程运动方程令令2 mk得线性微分方程得线性微分方程: :0222 xtx dd* *求解求解* *得运动方程的积分形式：得运动方程的积分形式：)cos(0 tAx积分常数积分常数简谐振动的特征量简谐振动的特征量:,0 A振动量对时间的一阶导数和二阶导数也随时间周期性变化振动量对时间的一阶导数和二阶导数也随时间周期性变化 若某物理量满足若某物理量满足*，则其运动方程可用时间，则其运动方程可用时间 t 的正余的正余弦函数形式描述，并且弦函数形式描述，并且 是决定于系统自身的

4、常量，是决定于系统自身的常量，则该物理量的变化过程就是简谐振动。则该物理量的变化过程就是简谐振动。(I,U,Q,E,B,T.)3.3.22dd,dd,txtxx均随时间周期性变化均随时间周期性变化由由)cos(0 tAx得得)t(Atxa0222cosdd )t(Atxv0sindd otTxa2Tv43T4T100 一般情况：一般情况：)cos(0 tAxtTx,v,a思考思考: :由状态参量由状态参量txvxdd, 曲线族称为曲线族称为相图相图，画出简谐振动的相图并理解其意义。，画出简谐振动的相图并理解其意义。为坐标变量作出的函数为坐标变量作出的函数1222222ddddcxtxtxtx

5、积积分分：对对1)(21212dd Ctxxc为椭圆曲线为椭圆曲线相图为闭合曲线：相图为闭合曲线：显示出简谐振动的周期性，循环往复。显示出简谐振动的周期性，循环往复。oxtxdd振动曲线（振动曲线（xt）相图（相图（vx）振动过程振动过程0T/4T/4 T/2T/2 3 T/43T/4 T第第4象限：象限：x0，v0第第3象限：象限：x0，v0，v0第第2象限：象限：x0正方向最大位移平衡位置正方向最大位移平衡位置平衡位置负方向最大位移平衡位置负方向最大位移负方向最大位移平衡位置负方向最大位移平衡位置平衡位置正方向最大位移平衡位置正方向最大位移思考：思考：与振动过程和振动曲线如何对应？与振动过

6、程和振动曲线如何对应？otxT/2T tgdd txv角频率角频率 描述谐振运动的快慢描述谐振运动的快慢二、特征量二、特征量是由系统本身决定的常数，与初始条件无关是由系统本身决定的常数，与初始条件无关（固有角频率）固有角频率） 1. 1. 角频率角频率 mk 由谐振动周期性特征看由谐振动周期性特征看的物理意义的物理意义: : 2)()cos()(cos)()(0000 tTttATtAtxTtx 2 T 21 T周期周期频率频率2.振幅振幅 ：A|maxxA 表示振动的范围（强弱），由初始条件决定。表示振动的范围（强弱），由初始条件决定。解得解得22020 vxA 222 vx 由由)sin(

7、)cos(00 tAvtAx在在 t = 0 时刻的值时刻的值0000sincos AvAx 即初始条件即初始条件(1)与与状状态态参参量量)(0 tx，v有一一对应的关系有一一对应的关系 )sin();cos(00 tAvtAx方方向向运运动动向向处处以以速速率率质质点点在在xvAx 2,2Ax Av23 例：例：当当30 t时：时：当当 350 t时：时：,2Ax Av23 方方向向运运动动向向处处以以速速率率质质点点在在xvAx 200,. 3 初初相相相相位位 t相位是描述振动状态的物理量相位是描述振动状态的物理量(3)(3)可用以方便地比较同频率谐振动的步调可用以方便地比较同频率谐振

8、动的步调)sin();cos(00 tAvtAx初相：初相：0 描述描述 t=0 时刻运动状态，由初始条件确定。时刻运动状态，由初始条件确定。由由 t = 0时时0000sincos AvAx )(000 xv arctg或或 AvAx0000sincos 000sincos 的符号决定的符号决定大小和大小和由由(2) 2每变化每变化的整数倍，的整数倍，x、v重复重复原来的值（回到原原来的值（回到原状态），最能直观、方便状态），最能直观、方便地反映出谐振动的周期性特征。地反映出谐振动的周期性特征。)(0 t例例1 已知：已知： k. m. h. 完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞求：求： T, A,

9、0 mhm k解：解：振动系统为（振动系统为（2 m, k),2mk kmT22 确定初始条件：确定初始条件：以物块和平板共同运动时刻为以物块和平板共同运动时刻为t=0以平衡位置为坐标原点以平衡位置为坐标原点，向下为正。，向下为正。00220mvghmkmgx 020 ghv有：有：mhm k0 t0v0 xxo mgkhxvarctgarctg)(000mgkhkmgkmghkgmvxA 122222020 得：得：0 为三象限角为三象限角又：又：0sin0cos0000 AvAx0sin0 mhm k0 t0v0 xxoAx0 xt0t 例例22 由振动曲线决定初相由振动曲线决定初相（2

10、2）与相位为零的余弦函数比较）与相位为零的余弦函数比较 0002tTt Ax00arccos 为四象限角为四象限角（1） 0sin0 0sin0cos0000 AvAx0v三三. 旋转矢量法旋转矢量法思考：思考：写出质点写出质点 m 以角速率以角速率 沿半径沿半径 A 的圆周的圆周匀速运动的参数方程匀速运动的参数方程 )t(Ax0cos )t(Ay0sin xyomA 0 t 0 txyx、y 方向分运动均为简谐振动方向分运动均为简谐振动建立旋转矢量建立旋转矢量 与谐振动的与谐振动的对应关系对应关系Axyo 0 t旋转矢量旋转矢量 与谐振动的对应关系与谐振动的对应关系A简谐振动振幅角频率初相振

11、动周期相位位移加速度速度)cos(0 tAx)t(Aa02 cos)t(Av0 sin0 0t 旋转矢量法优点：旋转矢量法优点：直观地表达谐振动的各特征量直观地表达谐振动的各特征量便于解题便于解题, ,特别是确定初相特别是确定初相便于振动合成便于振动合成由由x.v 的符号确定的符号确定 所在所在的象限的象限A 23 0 2 00 vx00 vx00 vx00 vx A小结：小结：简谐振动的三种描述简谐振动的三种描述运动方程和振动曲线（正、余弦函数）运动方程和振动曲线（正、余弦函数）相图（椭圆曲线）相图（椭圆曲线）旋转矢量旋转矢量周期性特征周期性特征四四. 简谐振动的能量简谐振动的能量 以弹簧振

12、子为例以弹簧振子为例)sin()cos(tAtAxvkxF)(sin21212222ktAmmEv)(cos2121222ptkAkxE2m222kpm21Am21kA21EEE 线性回复力是线性回复力是保守力保守力，作，作简谐简谐运动的系统运动的系统机械能守恒机械能守恒x=Acos tT/4T/23T/4T0 xt2kA21t0EEpEk(1) Ek、Ep周期性变化的频率为简谐振动的两倍。周期性变化的频率为简谐振动的两倍。(2) 总机械能总机械能E=Ek+Ep=常量。常量。(3)E21EEpk 例例 质量为质量为 的物体，以振幅的物体，以振幅 作简作简谐运动，其最大加速度为谐运动，其最大加速

13、度为 ，求求：kg10. 0m100 . 122sm0 . 4（1）振动的周期；振动的周期； （2）通过平衡位置的动能；通过平衡位置的动能；（3）总能量；总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等？物体在何处其动能和势能相等？解解 （1）2maxAaAamax1s20s314. 02T（2）J100 . 23222maxmax,k2121AmmEv（3）max,kEE J100 . 23（4）pkEE 时，时，J100 . 13pE由由222p2121xmkxE2p22mEx 24m105 . 0cm707. 0 x9.2 9.2 阻尼振动阻尼振动振动系统在阻尼力作用下，振幅（能量）不断减小的振

14、动系统在阻尼力作用下，振幅（能量）不断减小的振动称为振动称为阻尼振动阻尼振动。阻尼的两种形式：摩擦阻尼、辐射阻尼。阻尼的两种形式：摩擦阻尼、辐射阻尼。振动物体速度不太大时，阻尼力与速度成正比。振动物体速度不太大时，阻尼力与速度成正比。dtdxf ：阻力系数：阻力系数动力学方程：动力学方程：kxdtdxdtxdm22 令：令：mk20 0:固有圆频率固有圆频率；m2 阻尼因数阻尼因数阻尼振动方程：阻尼振动方程：0 xdtdx2dtxd2022 (1) 欠阻尼状态（阻尼较小）：欠阻尼状态（阻尼较小）： 0t )(2t )(1202202eCeCx 振动不会发生，物体振动不会发生，物体缓慢缓慢回到平

15、衡位置。回到平衡位置。xto(3) 临界阻尼状态：临界阻尼状态： = 0t21e )tCC(x 振动不会发生，物体振动不会发生，物体很快很快回到回到平衡位置。平衡位置。A 0 = 0阻尼的应用：阻尼天平、灵敏检流计阻尼的应用：阻尼天平、灵敏检流计 etc.。9.3 9.3 受迫振动和共振受迫振动和共振阻尼的存在使振幅减小，若对系统施加一持续的周期性阻尼的存在使振幅减小，若对系统施加一持续的周期性外力，则系统将做振幅不变的振动外力，则系统将做振幅不变的振动受迫振动受迫振动。设周期性外力：设周期性外力：tcosF)t (F0 则：则：tcosFkxdtdxdtxdm022 令：令：mFf,m2,m

16、k0020 得：得：)tcos(A)tcos(eAx220t0 tcosfxdtdx2dtxd02022 解：解：即：即：受迫振动为阻尼振动和简谐振动之和受迫振动为阻尼振动和简谐振动之和。)tcos(A)tcos(eAx220t0 (1) 经足够长时间，受迫振动为稳定振动，其周期经足够长时间，受迫振动为稳定振动，其周期即为外力的周期。即为外力的周期。)tcos(Ax (2) 稳定受迫振动与周期性外力有一相位差稳定受迫振动与周期性外力有一相位差 。(3)2202220202tan,4)(fA 位移共振：位移共振：令：令：0ddA 得：当周期性外力圆频率为得：当周期性外力圆频率为220m2 时，振

17、幅有最大值：时，振幅有最大值：2200m2fA 当：当：0时，时，m 0，Am 。8大阻尼大阻尼小阻尼小阻尼零阻尼零阻尼0AoF0/k11A1xx0一一 两个同方向同频率简谐运动的合成两个同方向同频率简谐运动的合成21xxx22112211coscossinsintanAAAA)cos(212212221AAAAA)cos(tAx)cos(111tAx)cos(222tAxAx2x2A2两个两个同同方向方向同同频频率简谐运动率简谐运动合成合成后仍为后仍为简谐简谐运动运动9.4 9.4 简谐振动的合成简谐振动的合成 xxtoo212k)cos()(21tAAxA21AAA1A2AT1 1）相位差

18、相位差212k), 2 1 0( ，k)cos(212212221AAAAA 讨论讨论xxtoo21AAA2)cos()(12tAAx)cos(212212221AAAAAT2A21AA2 2）相位差相位差) 12(12k) , 1 0( ，ktAxcos11)cos(22tAx3 3）一般情况一般情况2121AAAAA21AAA2 2）相位差相位差1 1）相位差相位差21AAA212k)10( ， k相互加强相互加强相互削弱相互削弱) 12(12k)10( ， k二二 两个同方向不同频率简谐运动的合成两个同方向不同频率简谐运动的合成 频率频率较大较大而频率之而频率之差很小差很小的两个的两个同

19、方向同方向简谐运动的简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍拍. .合振动频率合振动频率振幅部分振幅部分tAtAxxx2211212cos2cos21AA 2112讨论讨论 , , 的情况的情况 ttAx22cos)22cos2(12121tAtAx111112coscostAtAx222222coscos21xxx 方法一方法一2212T121TtAA22cos2121122)(211max2AA0minA合振动频率合振动频率振幅部分振幅部分ttAx22cos)22cos2(12121振幅振幅 振动频率振动频率拍频拍频（振幅变化的频率）（振幅变化的频率）xoco