第2讲--弹性力学平面问题

1、第2讲 弹性力学平面问题 弹性力学、材料力学的区别与联系 弹性体的基本假设和弹性变形体的描述 讲明什么样的工程问题能简化为平面问题 研究平面应力与平面应变两类问题的特点和判别方法 导出平面问题的基本方程 2.1弹性力学简介 弹性力学研究物体在约束和外载荷作用下，在弹性阶段的内力和变形分布规律。 弹性力学：研究对象是复杂形状弹性体，不需要关于变形状态的假定。弹性力学 区别与联系 材料力学 1、研究的内容：基本上没有什么区别。 弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动，以及由此产生的应力和变形。2、研究的对象：有相同也有区别。 材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度远大于宽度和

2、厚度的构件。弹性力学虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。弹性力学 区别与联系 材料力学 3、研究的方法：有较大的区别。 虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无限小单元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我们可以用弹性力学的

3、解答来估计材料力学解答的精确程度，并确定它们的适用范围。材料力学材料力学 区别与联系区别与联系 弹性力学弹性力学x xq qy yx图 1-1ax xq qy yx0 0图 1-1b材料力学材料力学 区别与联系区别与联系 弹性力学弹性力学图 1-3a图 1-3b弹性力学的基本假定 连续：物体所占的空间被介质充满，不考虑材料缺陷，在物体内的物理量是连续的, 可以采用连续函数来描述对象。 完全弹性：物体在受到外载荷作用下产生变形，当外载荷被移去后，物体变形完全恢复的性质。 均匀：各个位置的材料描述是相同的。 各向同性：同一位置的材料在各个方向的描述是相同的。 小位移和小变形：物体所有点的位移远远小

4、于物体的几何尺寸线性方程和忽略二阶小量。2.1.1弹性变形体的力学描述弹性力学中的基本变量为体力、面力、应力、位移、应变。体力是分布在物体体积内的力，例如重力和惯性力。面力是分布在物体表面上的力，例如接触压力、流体压力。 位移就是位置的移动。物体内任意一点的位移，用位移在x，y，z坐标轴上的投影u、v、w表示，沿坐标轴正方向为正。弹性变形体的力学描述基本的力学变量包括：基本的力学变量包括： 外力（其他物体对弹性体的作用力）外力（其他物体对弹性体的作用力） 位移（描述物体变形后的位置）位移（描述物体变形后的位置） 应变（描述物体的变形程度）应变（描述物体的变形程度） 应力（描述物体的受力状态）应

5、力（描述物体的受力状态）弹性变形体的力学描述 三大类方程： 力平衡方程 变形体内部 几何变形方程变形体内部 材料物理方程变形体内部，边界 边界条件： 位移方面变形体的边界 外力方面变形体的边界基本变量，基本方程，边界条件基本变量，基本方程，边界条件应力(Stress) : 物体受到约束和外力作用，其内部将产生内力。物体内某一点的内力就是应力。SAQA0lim应力S在其作用截面上的法向分量为正应力，切向分量称为剪应力，用表示。通过P点的平面可以任意选取，那么如何描述一点处的应力状态？ANANsinANcos为分析点p的应力状态，在p点取出的一个平行六面体，六面体的各棱边平行于坐标轴。用六面体表面

6、的应力分量来表示p点的应力状态。物体内任意一点的应力状态可以用平行六面体上的六个独立应力分量来表示：x、y、z、xy、yz、zx 剪应力互等xzzxzyyzyxxy,应力分量的下标约定如下：第一个下标表示应力的作用面的法线方向，第二个下标表示应力的作用方向。 应力分量的方向定义如下： 如果某截面上的外法线是沿坐标轴的正方向，这个截面上的应力分量以沿坐标轴正方向为正；如果某截面上的外法线是沿坐标轴的负方向，这个截面上的应力分量以沿坐标轴负方向为正。用六个应力分量可以表示经过P点的任意斜面上的应力。 物体的形状改变可以归结为长度和角度的改变。应变可以理解为相对变形，无量纲。由变形所产生的线段的单位

7、长度的伸缩，称为正应变，用表示，以伸长为正。两个垂直线段之间的直角改变，用弧度表示，称为剪应变，用表示，以角度变小为正。LL为定义物体内任意一点P的变形，在P点沿坐标轴方向取三个微小线段PA、PB、PC。与应力的定义类似，物体内任意一点的变形，可以用六个应变分量表示（与刚体位移的区别）。zxyzxyzyx、x线段PA的正应变yzxyyzzx线段PB的正应变线段PC的正应变线段PA、PB夹角的改变线段PB、PC夹角的改变线段PC、PA夹角的改变2.1.2弹性力学平面问题 弹性体在满足一定条件时，其变形和应力的分布规律可以用在某一平面内的变形和应力的分布规律来代替，这类问题称为平面问题。平面问题产

8、生的条件1、结构几何条件：柱形体横截面形状与z无关 多数情况下：方向尺寸横截面尺寸 柱形体 或： 方向尺寸横截面尺寸 薄板2、载荷与约束条件：侧面只有x,y平面内外载荷作用侧面作用力与约束条件不随z变化 侧面作用力与约束条件不随z变化 若侧面无约束，边界作用外力构成自平衡力系结论：对于垂直于z的每个横截面，其边界形状、给定力或位移边界条件完全相同，只是x,y的函数，1X2X3XL平面问题举例 水坝、隧道、厚壁筒、薄板、滚柱 T end R Aend X Y Z Tside V L Aside 平面问题分类0),(),(),(zyzxzxyxyyyxxyxyxyx0),(),(),(zyzxzx

9、yxyyyxxyxyxyx0, 0,zxyyx0, 0,zxyyx2.1.3平衡方程（1）在物体中取出一个单位厚度的微小单元体建立力的平衡关系。单元体的棱边与坐标轴平行，x方向尺寸dx，y方向尺寸dy，z方向为单位长度。应力的增量计算222( , )( , )(, )( , ).22( , )(, )( , )2xxxxxxxxxxxxxxx yx yx dx yx ydxdxxxx yx dx yx ydxx计算不同位置截面上的应力，不同截面将有dx,dy的差别，使用Taylor级数展开，有：平衡方程代表了力的平衡关系，建立了应力分量和体力分量之间的关系。00YxyXyxxyyyxx0111

10、)(11)(Xdxdydxdxdyydydydxxyxyxyxxxx0111)(11)(Ydxdydydydxxdxdxdyyxyxyxyyyyyxxy对微小单元dxdy的中心点求力矩：02121)(2121)(dxdydxdydyydydxdydxdyyyxyxyxxyxyxy平面问题的平衡方程为：00YxyXyxxyyyxxyxxy2.1.4几何方程（2）物体的变形可以用位移来表示，几何方程表示位移和变形之间的关系。dxPA dyPB P点的位移为，vu,A点位移为， dxxuuuAdxxvvvAB点位移为， dyyuuuBdyyvvvB根据小变形假定和应变的定义，由位移计算出应变。dxu

11、dxxuuPAPAAPxdyvdyyvvPBPBBPydyudyyuudxvdxxvvxy平面问题的几何方程为：xuxyvyxvyuxy思考题：刚体位移 由位移u=0，v=0可以得到应变分量为零，反过来，应变分量为零则位移分量不一定为零。应变分量为零时的位移称为刚体位移。00vu?vu000 xyyx刚体位移（续） 由三个应变分量均为零可得，0 xux0yvy0 xvyuxy)(yfu )(xgv 0)()(dxxdgdyydfcdxxgdyydf)()(其中c为常数分别积分可得，cxvvcyuu00以上形式的位移函数对应怎样的物体移动方式？刚体位移（续） 由三个应变分量为零，可以得到物体在平

12、面内的刚体位移为，与上述刚体位移对应的物体的运动方式如何？xvyxvyuyxu00),(),(刚体位移代表了物体在平面内的移动和转动。假定0, 0, 000ucv物体在平面中沿x轴方向移动0),(,),(0yxvuyxu假定0, 0, 000vcu物体在平面中沿y轴方向移动0),(, 0),(vyxvyxu刚体位移（续）假定0, 0, 000cvucxyxvcyyxu),(,),(cryxcvuV2222物体上的任意一点P(x,y)的位移分量为，不失一般性，假定c0，位移的大小为，设位移与y轴的夹角为，径向线PO与x轴的夹角为 。位移的方向与径向线PO垂直，大小与PO的距离成正比，代表物体绕z

13、轴做转动。tgxycxcytg物理方程（应力应变关系）zxyzxyzyxzxzxyzxyzyxyzzxyzxyzyxxyzxyzxyzyxzzxyzxyzyxyzxyzxyzyxxCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211xzzyyxzyxxzxzzyyxzyxzyxzzyyxzy

14、xyxxzzyyxzyxzxzzyyxzyxyxzzyyxzyxxCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC yzyxy z x y物理方程（应力应变关系）zxyzxyzyxzxzxyzxyzyxyzzxyzxyzyxxyzxyzxyzyxzzxyzxyzyxyzxyzxyzyxxCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211666564636261565554535251464544434241

15、363534333231262524232221161514131211xzzyyxzyxxzxzzyyxzyxzyxzzyyxzyxyxxzzyyxzyxzxzzyyxzyxyxzzyyxzyxxCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC yzyxy z x y,zxxzzyyzyxxyzzyyxx,zxxzzyyzyxxyzzyyxx物理方程（应力应变关系）zxyzxyzyxzxzxyzxyzyxyzzxyzxyzyxxyzxyzxyzyxzzxyzxyzyxyzxyzxyzyxxCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC6665

16、64636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211xzzyyxzyxxzxzzyyxzyxzyxzzyyxzyxyxxzzyyxzyxzxzzyyxzyxyxzzyyxzyxxCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC,zxxzzyyzyxxyzzyyxx,zxxzzyyzyxxyzzyyxx00000064636261545352514

17、645363526251615xyzyxxyzyxzxyzzxyzzxyzzxyzCCCCCCCCCCCCCCCC物理方程（应力应变关系）,zxxzzyyzyxxyzzyyxx,zxxzzyyzyxxyzzyyxx00000064636261545352514645363526251615xyzyxxyzyxzxyzzxyzzxyzzxyzCCCCCCCCCCCCCCCC0064636261545352514645363526251615CCCCCCCCCCCCCCCCzxyzzxzxyzyzxyzyxxyxyzyxzxyzyxyxyzyxxCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC666556

18、5544434241343332312423222114131211物理方程（应力应变关系）zxyzzxzxyzyzxyzyxxyxyzyxzxyzyxyxyzyxxCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC6665565544434241343332312423222114131211zxzxyzyzxyxyzyxzzyxyzyxxCCCCCCCCCCCC3331222122212.1.5平面问题的物理方程弹性力学平面问题的物理方程由广义虎克定律得到。平面应力问题的物理方程，yxxE1xyyE1xyxyE)1 (20zyxzE平面应力问题：2.1.5物理方程(3)弹性力学平面问题的物理方程由广义虎克定律得到。平面应力问题的物理方程，yxxE1xyyE1xyxyE)1 (20zyxzE平面应力问题：平面应变问题的物理方程yx