第十五章光的衍射

1、三角形孔夫琅三角形孔夫琅禾费禾费衍射图像衍射图像第二部分第二部分 光的衍射光的衍射15-5 晶体对晶体对X-射线的衍射射线的衍射15-4 圆孔衍射圆孔衍射 光学仪器的分辨本领光学仪器的分辨本领15-3 光栅衍射光栅衍射15-2 单缝夫琅禾费衍射单缝夫琅禾费衍射15-1 光的衍射现象光的衍射现象 惠更斯惠更斯-菲涅耳原理菲涅耳原理1. 了解惠更斯了解惠更斯- -菲涅耳原理。菲涅耳原理。3. 理解光栅衍射公式。会确定光栅衍射谱线的位理解光栅衍射公式。会确定光栅衍射谱线的位置。会分析光栅常数及波长对光栅衍射谱线分布置。会分析光栅常数及波长对光栅衍射谱线分布的影响。的影响。2. 理解分析夫琅禾费衍射暗

2、纹分布规律的方法。理解分析夫琅禾费衍射暗纹分布规律的方法。会分析缝宽及波长对衍射条纹分布的影响。会分析缝宽及波长对衍射条纹分布的影响。一一. 光的衍射现象光的衍射现象显示屏显示屏 几何 阴影区 几何 阴影区sb 遇到障碍物时，光偏离了直线传播而到达几何遇到障碍物时，光偏离了直线传播而到达几何影内的现象，称为光的衍射现象。影内的现象，称为光的衍射现象。当缝宽缩小到一定程度当缝宽缩小到一定程度(0.1 mm以下以下)时，光带增大，并时，光带增大，并出现明暗相间的条纹出现明暗相间的条纹一般障碍物的线度比光的波一般障碍物的线度比光的波长大很多，衍射现象不容易长大很多，衍射现象不容易看到，仍表现为沿直线

3、传播看到，仍表现为沿直线传播sb 各种衍射现象各种衍射现象中央亮点中央亮点入射光入射光圆盘衍射圆盘衍射中央亮点中央亮点剃须刀片衍射剃须刀片衍射指缝衍射指缝衍射 菲涅耳衍射菲涅耳衍射 光源和光屏或者两者之一离障碍物光源和光屏或者两者之一离障碍物的距离为有限远时产生的衍射的距离为有限远时产生的衍射菲涅耳衍射菲涅耳衍射二二. 菲菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射涅耳衍射和夫琅禾费衍射S光屏光屏光源光源衍射孔或缝衍射孔或缝 夫琅禾费衍射夫琅禾费衍射 光源和屏离障碍物的距离均为无光源和屏离障碍物的距离均为无限远时所产生的衍射限远时所产生的衍射夫琅禾费夫琅禾费衍射衍射透镜透镜L1透镜透镜L2S光源光源障碍物障碍物来

4、自无限远来自无限远射向无限远射向无限远光屏光屏障碍物障碍物具体实具体实现现焦点位置焦点位置焦面位置焦面位置下面只讨论下面只讨论夫琅禾费衍射夫琅禾费衍射 惠更斯提出惠更斯提出：介质中波传播到的各点都可以：介质中波传播到的各点都可以看成产生新子波的波源看成产生新子波的波源可定性解释衍射现象可定性解释衍射现象干涉现象与衍射现象的异同干涉现象与衍射现象的异同三三. 惠更斯惠更斯菲涅耳原理菲涅耳原理 菲涅耳补充菲涅耳补充：从同一波阵面上各点发出的子：从同一波阵面上各点发出的子波传播到空间某一点时，该点的振动是这些子波波传播到空间某一点时，该点的振动是这些子波在该点相干、叠加的结果在该点相干、叠加的结果可

5、由某时刻波阵面可由某时刻波阵面计算下一时刻某点的振动，解释明暗条纹的形成计算下一时刻某点的振动，解释明暗条纹的形成 干涉干涉 不连续分布不连续分布光源（或波阵面）产光源（或波阵面）产生的生的相干、叠加结果相干、叠加结果 衍射衍射 连续分布的光源连续分布的光源（或波阵面）产生的（或波阵面）产生的相干、相干、叠加结果叠加结果 rtrSKy2cosdd 根据根据惠更斯原理惠更斯原理，波阵面波阵面S 上面积元上面积元 dS 在在 P点引起的振动可写为点引起的振动可写为K( )为为 的函数，的函数， 为波的圆为波的圆频率，频率， 为波长。为波长。SdSP ne波阵面波阵面r 根据根据惠更斯惠更斯菲涅耳原

6、理菲涅耳原理，P 点的振动等于点的振动等于S 面的所有面积元所引起的振动的叠加面的所有面积元所引起的振动的叠加 SrtrKySd2cos 法向法向一一. 单缝衍射装置及衍射图样单缝衍射装置及衍射图样点光源点光源衍射图样衍射图样缝光源缝光源衍射图样衍射图样单缝夫琅禾费衍射装置单缝夫琅禾费衍射装置S透镜透镜L1透镜透镜L2点光源点光源单缝单缝衍射衍射图样图样光屏光屏焦点位置焦点位置焦面位置焦面位置yx主光轴方向主光轴方向z缝光源的单缝衍射及光强分布缝光源的单缝衍射及光强分布缝宽缝宽 bBA COP 焦距焦距 f透镜透镜L2光屏光屏xz衍射角衍射角x光强光强衍射衍射图样图样光轴光轴衍射图光强分布衍射

7、图光强分布垂直于缝长方向垂直于缝长方向xz平面平面的衍射的衍射单缝横截面单缝横截面相位相同的相位相同的 AB 面上各点面上各点发出的子波射线经透镜后发出的子波射线经透镜后会聚到会聚到O 点相位仍相同点相位仍相同ObABCOP bABxxzz中央明纹中央明纹 = 0衍射角衍射角光轴光轴透镜透镜L2透镜透镜L2相位不同的相位不同的 BC 面上各点面上各点发出的子波射线经透镜后发出的子波射线经透镜后会聚到会聚到P 点相位差仍等于点相位差仍等于位于位于BC 面处的相位差面处的相位差二二. 菲涅耳菲涅耳半波带法半波带法分析单缝衍射条纹分布规律分析单缝衍射条纹分布规律1. 22sin bAC狭缝上狭缝上A

8、B面分成两个半波带面分成两个半波带AB A1等分等分ACB ACbA1位置位置P 的衍射角为的衍射角为 时出现暗条纹时出现暗条纹相邻两波带发出的光相邻两波带发出的光在在P 点完全相互抵消点完全相互抵消对应位置在对应位置在BC面上光面上光程差为程差为 / 2. 23sin bACAB A2 A1对应位置在对应位置在BC面上光面上光程差为程差为 / 狭缝上狭缝上AB面分成三个半波带面分成三个半波带位置位置P 的衍射角为的衍射角为 时出现亮条纹时出现亮条纹相邻两波带发出的光相邻两波带发出的光在在P 点完全相互抵消点完全相互抵消三等分三等分ACB ACbA1A2剩余剩余的波的波带带在在P 点振点振动叠

9、动叠加加 若若n为偶数，各波带发出为偶数，各波带发出的光在的光在P点成对相互干涉抵点成对相互干涉抵消，消，P点出现暗纹。点出现暗纹。B ACb3. 2sin nbAC 若若n为奇数，为奇数， n- -1 个波带个波带发出的光在发出的光在P点成对相互干点成对相互干涉抵消，剩余一个波带在涉抵消，剩余一个波带在P点振动叠加，出现明纹。点振动叠加，出现明纹。 衍射角越大，剩余波带面积越小，根据衍射角越大，剩余波带面积越小，根据惠更惠更斯斯菲涅耳原理菲涅耳原理，明纹亮度越低。，明纹亮度越低。 屏上光强最大（明纹中心）的方向由下式决定屏上光强最大（明纹中心）的方向由下式决定 ,3 ,2 , 1212sin

10、kkb 0 中央明纹中央明纹其他明纹级次其他明纹级次表示明纹分布在表示明纹分布在中央明纹两侧中央明纹两侧, 3, 2, 1)2(2sin kkkb 屏上光强最小（暗纹中心）的方向由下式决定屏上光强最小（暗纹中心）的方向由下式决定暗纹级次暗纹级次表示暗纹分布在表示暗纹分布在中央明纹两侧中央明纹两侧三三. 单缝衍射的单缝衍射的条纹条纹分布分布 两第两第一级暗纹的间距为中央明纹宽度，一级暗纹的间距为中央明纹宽度，其半其半角宽度角宽度为为b 000tansin设透镜的焦距为设透镜的焦距为f ，中，中央明纹的线宽度为央明纹的线宽度为 bffx 2tan200 Ix 0 x0 1f 1x1中央明纹宽度大约

11、是其它明纹宽度的两倍。中央明纹宽度大约是其它明纹宽度的两倍。 第一级明纹的宽度第一级明纹的宽度 x1 等于第一级暗纹与等于第一级暗纹与第二级暗纹第二级暗纹之间的距离之间的距离: x1 = f sin 2 - - f sin 1 =bfbbf 2bf 级次较高的明纹宽度近似等于级次较高的明纹宽度近似等于 若对应某个衍射角，若对应某个衍射角，AB面不能分成整数个半波面不能分成整数个半波带，屏上对应点介于最明与最暗之间带，屏上对应点介于最明与最暗之间 b 固定，固定，入射波长越长，相同级次的衍射角越大入射波长越长，相同级次的衍射角越大单缝衍射特性单缝衍射特性: : 波长波长 相同的光入射相同的光入射

12、，b 越小衍射越显著越小衍射越显著b = 0.2mm单缝缝宽单缝缝宽红光红光兰光兰光白光白光例题例题15-1 单缝衍射实验中，透镜焦距为单缝衍射实验中，透镜焦距为0.5m，入射光波长为入射光波长为500nm，缝宽，缝宽0.1mm 。求：。求：( 1 )中央中央明条纹的宽度，明条纹的宽度， ( 2 )第一级明纹的宽度。第一级明纹的宽度。Ix 0l0 1f 1lx1 P0 l0 = 2 f sin 1=bf 2 l0 = 0.005 m = 5 mm 解解 （1）设设 x1 为为 第一级暗纹与第一级暗纹与P0之间的距之间的距离，离， f 为透镜焦距，两个一级暗纹（即为透镜焦距，两个一级暗纹（即“+

13、”、“- - ”一级一级）之间的距离为中央明纹宽度）之间的距离为中央明纹宽度l0 = 2x1=2 f tan 1tan 1 sin 1 （2）第一级明条纹的宽度第一级明条纹的宽度l 等于第一级暗纹和等于第一级暗纹和第二级暗纹之间的距离：第二级暗纹之间的距离： l = f tan 2- - f tan 1 很小，同样有很小，同样有 tan 2 sin 2 所以所以 l = f sin 2- - f sin 1 =f/b =2.5 mm中央明纹宽度大约是其它明纹的两倍。中央明纹宽度大约是其它明纹的两倍。四四. 单缝衍射图样上光强分布公式单缝衍射图样上光强分布公式 衍射角为衍射角为时，狭缝面可等分为

14、时，狭缝面可等分为N个条带，它们个条带，它们在在P 点处的振幅相等，两相邻条带的子波在点处的振幅相等，两相邻条带的子波在 P点相遇点相遇时光程差相同。时光程差相同。A 和和 B处两处两条带的子波在条带的子波在 P点的光程点的光程差为差为 ，相位差为，相位差为 sinbAC sin22b OERAD 屏上中心点屏上中心点O 处处N个个条带发出的子波相位差为条带发出的子波相位差为零，合振幅为零，合振幅为A0，即图中，即图中圆弧圆弧 DE 的长度的长度。 uI / I0- -23- -2- -31.43- -1.432.463.47- -2.46- -3.471.00.52sin22sin20 AR

15、A 22sin0 A ,sin bu 令令20)sin(uuII 衍射角等于衍射角等于的的 P 点，振幅点，振幅A等于等于DE 的弦长的弦长点点处处的的光光强强为为得得P单缝衍射相对光单缝衍射相对光强随强随 u 变化曲线变化曲线 减小缝宽，条纹间隔增宽，但明纹亮度显著减减小缝宽，条纹间隔增宽，但明纹亮度显著减小，条纹不清晰很难精确测定条纹宽度。小，条纹不清晰很难精确测定条纹宽度。精确测定波长要用棱镜或衍射光栅。精确测定波长要用棱镜或衍射光栅。利用单缝衍射无法精确测定波长利用单缝衍射无法精确测定波长 增大缝宽，明纹亮度提高，但条纹间距变小增大缝宽，明纹亮度提高，但条纹间距变小分光仪上的棱镜实验分

16、光仪上的棱镜实验棱镜实验示意图棱镜实验示意图三棱镜三棱镜狭缝狭缝光源光源望远镜望远镜平行光管平行光管一一. 衍射光栅衍射光栅光光屏屏光栅光栅 衍射角衍射角狭缝狭缝光源光源望远镜望远镜平行光管平行光管衍射光栅实验装置衍射光栅实验装置狭缝处形成缝光源狭缝处形成缝光源光栅衍射图样光栅衍射图样红光红光白光白光 衍射光栅衍射光栅由许多平行、等由许多平行、等宽、等距的细缝组成。宽、等距的细缝组成。可采用可采用在玻璃上刻划平行等距刻痕的在玻璃上刻划平行等距刻痕的方式构成。方式构成。透射光栅透射光栅 透光部分宽度为透光部分宽度为 b ，不透，不透光部分宽度为光部分宽度为 b，相邻两透光，相邻两透光缝间距为缝间

17、距为b+b （光栅常量光栅常量）。）。 如如1cm 宽的玻璃上刻痕为宽的玻璃上刻痕为 1000条，则光栅常量为条，则光栅常量为m101cm100015 bb入射光入射光bb入射光入射光 光栅上每一狭缝产生衍射，各缝的衍射光彼此光栅上每一狭缝产生衍射，各缝的衍射光彼此间又要发生干涉，从而产生光栅衍射条纹。间又要发生干涉，从而产生光栅衍射条纹。二二. 光栅的衍射图样光栅的衍射图样 f单缝单缝图样图样缝光源缝光源狭缝产生衍射狭缝产生衍射主轴主轴光栅光栅图样图样光栅衍射图样是衍射和干涉的综合结果光栅衍射图样是衍射和干涉的综合结果透镜透镜 L1透镜透镜 L2光屏光屏光栅上通光缝数取不同数量时，衍射图样不

18、同光栅上通光缝数取不同数量时，衍射图样不同1条缝条缝2条缝条缝3条缝条缝4条缝条缝5条缝条缝20条缝条缝光栅衍射条纹的特点：明纹细而明亮。光栅衍射条纹的特点：明纹细而明亮。 两相邻缝对应点发出的两相邻缝对应点发出的沿沿 角方向的平行光经透镜角方向的平行光经透镜后会聚于后会聚于一一点，光程差为点，光程差为三三. 衍射光栅产生明纹的条件衍射光栅产生明纹的条件b+b(b+b)sin sin)(bb ,2, 1,0sin kkbb 任意两缝上对应点发出的光线到该任意两缝上对应点发出的光线到该点光程差是入点光程差是入射波长的整数倍，相互加强，射波长的整数倍，相互加强，形成明条纹形成明条纹，此处，此处光强

19、有最大值，称光强有最大值，称为为主最大主最大。当满足条件当满足条件光栅方程光栅方程 在光栅方程中，对应在光栅方程中，对应k=0 的明纹称为中央明纹，的明纹称为中央明纹，其他明纹的级次分别为其他明纹的级次分别为 ，各级明纹对各级明纹对称地分布在中央明纹的两侧，中央明纹光强最强称地分布在中央明纹的两侧，中央明纹光强最强 单色光入射时，单色光入射时，波长越长衍射角越大，波长越长衍射角越大，光栅常光栅常量越小量越小衍射角越大，明纹间隔也越大衍射角越大，明纹间隔也越大光栅衍射的谱线特点：光栅衍射的谱线特点： 在相邻的两个主极大之间，有在相邻的两个主极大之间，有 N 1个极小和个极小和N 2个光强很小的次

20、极大个光强很小的次极大，形成衍射光谱的暗背景，形成衍射光谱的暗背景 当衍射角同时满足当衍射角同时满足单缝衍射的暗纹条件和光栅单缝衍射的暗纹条件和光栅方程的明纹条件时，该明纹不能出现方程的明纹条件时，该明纹不能出现, 3 , 2 , 1 k1. 光栅衍射光强分布光栅衍射光强分布（N=4, d=b+b=4b）II048-4-8光栅衍射光栅衍射光强曲线光强曲线(bsin ) / 0-2-112单缝衍射单缝衍射光强曲线光强曲线04-8-48多光束干涉光强曲线多光束干涉光强曲线(dsin ) / (dsin ) / 单缝衍射单缝衍射 包络线包络线出现出现缺级缺级2. 缺级现象缺级现象 kbkbb sin

21、sin)( 如果如果 的值满足光栅方程的明纹条件，又满的值满足光栅方程的明纹条件，又满足单缝衍射的暗纹条件，该明纹将不出现，这一足单缝衍射的暗纹条件，该明纹将不出现，这一现象称为缺级，即现象称为缺级，即所缺级的级次所缺级的级次 k 为为, 3, 2, 1 kkbbbk光栅方程的明纹条件光栅方程的明纹条件单缝衍射的暗纹条件单缝衍射的暗纹条件如如 b+b=2b，由缺级条件，由缺级条件, 3, 2, 1 kkbbbk 得得 k = 2，4，6 ，偶数明纹缺级，即所有偶数，偶数明纹缺级，即所有偶数级明纹不出现。级明纹不出现。kk 2- -8(b+b)sin /048- -4单缝衍射单缝衍射 包络线包络

22、线光栅衍射光栅衍射光强曲线光强曲线若若 b+b=3b ，由缺级条件，由缺级条件, 3, 2, 1 k得得 k = 3，6，9的明纹缺级，即所有级次为的明纹缺级，即所有级次为 3 的倍数的明纹不出现。的倍数的明纹不出现。kk 3kbbbk 036- -3- -6(b+b) sin /单缝衍射单缝衍射 包络线包络线光栅衍射光栅衍射光强曲线光强曲线3. 斜入射时的光栅方程斜入射时的光栅方程 kbb )sin)(sin( kbb )sin)(sin(明纹条件：明纹条件： 该侧条纹该侧条纹级次增加级次增加该侧条纹该侧条纹级次减少级次减少白光入射时，不同波长的光除中央明纹互相白光入射时，不同波长的光除中央

23、明纹互相重合（形成白光）外，其它同级条纹不重合，波重合（形成白光）外，其它同级条纹不重合，波长较短的靠近中央条纹，波长较长的则远离中央长较短的靠近中央条纹，波长较长的则远离中央条纹，形成光栅衍射光谱。条纹，形成光栅衍射光谱。四四. 衍射光谱衍射光谱第一级光谱第一级光谱第一级光谱第一级光谱第二级光谱第二级光谱第三级光谱第三级光谱第三级光谱第三级光谱第二级光谱第二级光谱中央明纹中央明纹实际白光实际白光衍射光谱衍射光谱 例题例题15-2 白光的波长范围白光的波长范围400760nm，正入，正入射光栅。光栅常量射光栅。光栅常量2.410- -4cm，透镜焦距，透镜焦距0.25m。问波长为问波长为400

24、nm的紫光的第三级谱线和波长为的紫光的第三级谱线和波长为760nm的红光的第二级谱线分别距离屏中心的红光的第二级谱线分别距离屏中心P0点点多远？多远？1322fb+bR2V3P0 x13x22解解 设波长设波长1=400nm的紫光的第三级谱线的紫光的第三级谱线V3和波长和波长2=760nm的红光的第二级谱线的红光的第二级谱线R2的衍射角的衍射角分别为分别为13、 22，与中心，与中心P0的距离分别为的距离分别为x13、 x22，由光栅方程得：由光栅方程得：o113305 . 0arcsin3arcsin bb 81396333. 0arcsin2arcsino222 bb 由几何关系得由几何关

25、系得m3144. 0m35577. 025. 0tan1313 fxm6204. 0m4818. 025. 0tan2222 fxx13 x22表示紫光的第三级谱线表示紫光的第三级谱线V3比红光的第比红光的第二级谱线二级谱线R2靠近中央明纹，可见第二、第三级光靠近中央明纹，可见第二、第三级光谱发生了重叠。谱发生了重叠。例题例题 15-3 平行光斜入射到光栅，光源的波长为平行光斜入射到光栅，光源的波长为=643.8nm，入射角，入射角=30，光栅每，光栅每1cm内有内有5000条条刻痕。（刻痕。（1）试求对应）试求对应k=0，k=+1，k=- -1的明条纹的衍的明条纹的衍射角；（射角；（2）求可

26、以观察到的明条纹的最高级次，并）求可以观察到的明条纹的最高级次，并与正入射的情况相比较。与正入射的情况相比较。P0b+bPABC解解 （1）相邻二狭缝光线的光程差为）相邻二狭缝光线的光程差为 sin)(sin)(bbbbACAB 光栅方程应为光栅方程应为 , 2, 1, 0,)sin)(sin( kkbb P0b+bPABC衍射光与入射光在光栅平面法线同侧时，衍射光与入射光在光栅平面法线同侧时， 角为角为正，反之正，反之角为负。角为负。光栅常量光栅常量 b+b=1/1/N=210-6m由光栅方程得与由光栅方程得与 k=0 对应的明条纹的衍射角为对应的明条纹的衍射角为 oo030)30arcsi

27、n( 说明零级明条纹位于屏中心的下方。说明零级明条纹位于屏中心的下方。与与 k=+1及及 k=- -1对应的明条纹衍射角依次为：对应的明条纹衍射角依次为：335110)sinarcsin(o1 bb236155)sinarcsin(o1 bb（2）k的最大值的最大值kmax对应于对应于sin=1，光线斜入射时：光线斜入射时：7 . 4)1(sinmax bbk光线正入射时：光线正入射时：可以观察到的明条纹最高级次为可以观察到的明条纹最高级次为 4 级；级；1 . 3max bbk可以观察到的明条纹最高级次为可以观察到的明条纹最高级次为 3 级。级。在其它条件不变的情况下，光线斜入射可以在其它条件不变的情况下，光线斜入射可以观察到更高级次的明条纹。观察到更高