大一高数复习资料【全】

1、【题型示例】计算:f(x|wq(x)商式的极限运算px=a0xmma1xam、q(x)=b0xn+bixnbn(特别地，当limU-xigx0(不定型)时，通常分x3x-3=lim，xx3x-3x2-911-=limx32x6高等数学(本科少学时类型)第一章函数与极限第一节函数。函数基础(高中函数部分相关知识)()。邻域(去心邻域)()第二节数列的极限。数列极限的证明()【题型示例】已知数列xn,证明lim-xn=ax.【证明本例】名-N语言1.由Xn-ag(君)N-lig；2,即对vs0,：3N=g(8)1。当naN时，始终有不等式xn-a|君成立，limlxnJ=axJ二二第三节函数的极限

2、Oxtx0时函数极限的证明()【题型示例】已知函数f(x),证明limf(x)=Ajx【证明本例】86语言1 .由f(x)A名化简得0,-|0,m6=g(3),当0|xx06时，始终有不等式f(xAE成立，limfx=Ax的Oxts时函数极限的证明()【题型示例】已知函数f(x),证明limf(x)=Ax.【证明示例】名-X语言2 .由f(x)Ag(z),X=g；3 .即对Vea0,三X=g(君)，当xX时，始终有不等式“乂)-人g(x)=0)第五节极限运算法则。极限的四则运算法则()(定理一)加减法则(定理二)乘除法则关于多项式p(x卜n:mTq(x)b00子分母约去公因式即约去可去间断点便

3、可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解)x-3【题型示例】求值lim与士x)3x2-9【求解示例】解：因为xT3,从而可得x03,所以原lim券=limx3x29x)3.一，,x-3其中x=3为函数f(x)=T3的可去间断点x2-9倘若运用罗比达法则求解(详见第三章第二节)0x-30解：lim2=limx3x29Lx3。连续函数穿越定理(复合函数的极限求解)()（定理五）若函数f（x）是定义域上的连续函数，那么,的f产x二f败：x【题型示例】求值：lim,x-3x2-9【求解示例】lim,x,-3x)3,x2-9x-3limx)3x2-91.66一6第六节极限存在准则及两个重要极限。夹迫准则（

4、P53）（）第一个重要极限：iimsn）=1xQxVxW0,-i,工2Jsinx/sinxxtanx.lim=1x#x择数a,使得f（x）成为在R上的连续函数？【求解示例】f0-=e20-=e1=e1 f0+户a+0+=af10=a2 .由连续函数定义limf（x）=limj（x）=f（0）=ex_0-x0-，a=e第九节闭区间上连续函数的性质。零点定理（）【题型示例】证明：方程f（x）=g（x）+C至少有一个根介于a与b之间【证明示例】（特别地，limSn=i）x及x-x0。单调有界收敛准则（P57）（）1.（建立辅助函数）函数平（x户f（x）-g（x）-C在闭区间la,b上连续；第二个重要

5、极限：limi1=ex1.、x（一般地,limf（x0喳）=limf（x9?）,其中limf（x）0）,，2x+3尹【题型示例】求值：lim三一xB12x+1J【求解示例】第七节无穷小量的阶（无穷小的比较）。等价无穷小（）UsinUtanUarcsinUarctanUln（1U）1Ue-12 .邛（a）邛（b）0（端点异号）3 .，由零点定理，在开区间（a,b）内至少有一点-,使得以巴）=0,即f（X）g匕）=0（0d）4 .这等式说明方程f（x）=g（x）+C在开区间（a,b）内至少有一个根第二章导数与微分第一节导数概念122U1-cosU2（乘除可替，加减不行）【题型示例】求值：lim1n

6、1xxln1Xx0x23x【求解示例】第八节函数的连续性。函数连续的定义（）。间断点的分类（P67）（）。高等数学中导数的定义及几何意义(P83)()xx.ex+1x0.处可导，求a,b【求解示例】0f0-=e1=e1=21“u0产e=1Lf.0=af0_bf0=e01=2f0；=f.0；=a=12,由函数可导定义士一一M二f0-f0：f0)：=b=2a=1,b=2第一类间断点（左右极限存在）跳越间断点（不等）国去间断点（相等）第二类间断点【题型示例】求y=f（x而x=a处的切线与法线方程（或：过y=f（x）图像上点一a,f（a）处的切线与法线方程）【求解示例】无穷间断点（极限为（特别地，可去

7、间断点能在分式中约去相应公因式）【题型示例】设函数f（x）=2xex:0,x0应该怎样选x-01.y=f(x),y|x=f(a)2.切线方程：y-f(a)=f(ax-a)法线方程：y_fax-afa2 .函数积的求导法则（定理二）:(uv)=uvuv3 .函数商的求导法则（定理三）uuv-uv【题型示例】求函数【求解示例】由题可得f彳X）的导数f（x）为直接函数，其在定于域上单调、可导，且(x)#0；.f(x)=1-y1-e，切线方程:法线方程:【题型示例】设参数方程x=W求吗j=飞）dx第二节函数的和（差）、积与商的求导法则。函数和（差）、积与商的求导法则（）1.线性组合（定理一）：（otu

8、0v）1r=au+Pv特别地，当a=P=1时，有（uv），=uv第三节反函数和复合函数的求导法则。反函数的求导法则（）。复合函数的求导法则（）【题型示例】设y=in（earcsin“F+k7），求y【求解示例】第四节高阶导数。仆x）=心X）y（或答7隼）（）-dx|dx【题型示例】求函数y=ln（1+x）的n阶导数【求解示例】y，=（1+x广，1xy,，-卜1x,=-11x,第五节隐函数及参数方程型函数的导数。隐函数的求导（等式两边对x求导）（）【题型示例】试求：方程y=x+ey所给定的曲线C:y=y（x狂点（1-e,1）的切线方程与法线方程【求解示例】由y=x+ey两边对x求导即y=x+(e

9、y)化简得y=1+ey-y1-e1y1二x-1e1-eyT=-1-ex_1e。参数方程型函数的求导,dy、,，2【求解示例】1.曳=）2口=宜工1dx:tdxt第六节变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第七节函数的微分。基本初等函数微分公式与微分运算法则（）第三章中值定理与导数的应用第一节中值定理。引理（费马引理）（）。罗尔定理（）【题型示例】现假设函数f（x）在10,n上连续，在（0团）上可导，试证明：=（0,Ji）,使得f.）cost+格jsint=0成立【证明示例】1 .（建立辅助函数）令中（x）=f（x）sinx显然函数中（x/闭区间0尸上连续，在开区间（0,冗）上可导；2 .又.0

10、）=f0sin0=0即0-：-03 .，由罗尔定理知30（0平），使得f（上）cos-+fJsin2=0成立。拉格朗日中值定理（）【题型示例】证明不等式：当x1时，exex【证明示例】1 .（建立辅助函数）令函数f（x）=ex,则对Vx1,显然函数f（x）在闭区间1,x上连续，在开区间（1,x）上可导，并且f（x）=ex；2 .由拉格朗日中值定理可得，三tWl1,xl使得等式x1,、e-e=（x-1）e成立，1x11又ee,e-ex-1e二ex-e,化简得exex,即证得：当x1时，exex【题型示例】证明不等式：当x0时，ln（1+x）0,函数f（x）在闭区间b,x】上连续，在开区1间（0,

11、五）上可导，并且f（x）=;1 x2 .由拉格朗日中值定理可得，wb,x使得等式1一ln（1+xln（1+0）=（x一0）成乂，1.,化简得ln(1十x=x,又=30,x,1tanx【题型示例】求值：lim-J0xf=1,ln(1十x)1时,第二节罗比达法则。运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（）1 ,等价无穷小的替换（以简化运算）2 .判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件A.属于两大基本不定型（一，二）且满足条件,0二则进行运算：lim5=limx）agxigx（再进行1、2步骤，反复直到结果得出）B.不属于两大基本不定型（转化为基本不定型）0二型（转乘为除，构造

12、分式）【题型示例】求值：limxlnxx0【求解示例】（一般地，lxa0时，【证明示例】1.（构建辅助函数）设中（乂）=exx1ex-x-1,(x0)00型（对数求极限法）【题型示例】求值：limxxx0【求解示例】解：设丫=xx,两边取对数得：lny=lnxlnx=xlnx=-一x对对数取x-0时的极限：limlny=lim1nx=lim-x0x01Lx0/-1xx1=lim-x012_x产型-Timx=0,从而有limy=limenyx0x0x0（对数求极限法）1【题型示例】求值：limcosxsinxxx0【求解示例】8型（对数求极限法）limIny=eT=e=12,*0,（x0）;：x

13、广；0=03.既证：当x0时，exx+1【题型示例】证明：当x0时，ln（1+x）0）.1一2.*（x）=-10时，ln（1+x）x。连续函数凹凸性（）【题型示例】试讨论函数y=1+3x2-x3的单调性、极值、凹凸性及拐点【证明示例】y=-3x26x=-3xx-21jy-6x6-6x-1y-Wxx-2=02y=-6x-1=0Xi=0,Xo=2解得：x1，2x=1一.一2一fx=-3x32.令f(x)=3(x1；(x+1)=0,3.(四行表)/解得：x1-1,Xo=13.(三行表)极小值极大值4.函数y=1+3x2-x3单调递增区间为(0,1),(1,2)单调递增区间为(-二,0),(2,：);

14、23函数y=1+3x-x的极小值在x=0时取到，为f(0)=1,极大值在x=2时取到，为f(2)=5;函数y=1+3x2x3在区间(,0),(0,1)上凹，在区间(1,2),(2,七)上凸；23.函数y=1+3x-x的拐点坐标为(1,3)第五节函数的极值和最大、最小值。函数的极值与最值的关系()设函数f(x)的定义域为D,如果三xM的某个邻4.又.f1)=2,f(1)=2,f(3)=18域U(xm产D,使得对VxeU(Xm),都适合不等式f(x)dx成立,则称F(x)为f(x)的一个原函数原函数存在定理：()如果函数f(x)在定义区间I上连续，则在I上必存在可导函数F(x)使得F(x)=f(x

15、),也就是说：连续函数一定存在原函数(可导必连续)不定积分的概念()在定义区间I上，函数f(x)的带有任意常数项C的原函数称为f(x)在定义区间I上的不定积分,U(xmD,使得对Vx=U(Xm),都适合不等式f(x)f(Xm),我们则称函数f(x成点m,f(xm)处有极小值f(Xm)；令xm,xm1,xm2,Xm3，,Xmn则函数f(x昨闭区间la,b】上的最小值m满足:m=minf(a)Xm1,Xm2,Xm3,.,Xmn,f(b；【题型示例】求函数f(x)=3x-x3在-1,3上的最值【求解示例】1.函数f(x而其定义域-1,3上连续，且可导即表示为：fxdx=FxC(J称为积分号，f(x)

16、称为被积函数，f(x)dx称为积分表达式，x则称为积分变量)。基本积分表()。不定积分的线性性质(分项积分公式)()第二节换元积分法。第一类换元法(凑微分)()(dy=fX卜dx的逆向应用).,1【题型小例】求*dxax【求解示例】解：dxaxTdx=a1a1dz二12aarctanxCna=一一mMiNl由待定系N21【题型小例】求1dx,2x1【求解示例】。第二类换元法（去根式）（）（dy=f（x）dx的正向应用）对于一次根式（a#0,bwR）：Jax+b:令t=Jax+b,于是x=,a则原式可化为t对于根号下平方和的形式（a0）：22Va+x:令x=atant（一t0）：工a. 7a-x

17、:ax=asint（t一）,22x于是t=arcsin一,则原式可化为acost;ab. Vx2-a2:令x=asect（0t二），2a于是t=arccos一,则原式可化为atant；x1【题型小例】求fIdx（一次根式）.2x1【求解示例】解：fdx1tdt=f出=t+C=J2x+1+C2x1x建弓tdx4dt【题型示例】求fx/a2-x2dx（三角换元）【求解示例】第三节分部积分法。分部积分法（）设函数u=f（x）,v=g（x）具有连续导数，则其分部积分公式可表示为：udv=uv-vdu分部积分法函数排序次序：“反、对、哥、三、指”。运用分部积分法计算不定积分的基本步骤：遵照分部积分法函数

18、排序次序对被积函数排序；就近凑微分：（vdx=dv）使用分部积分公式：udv=uv-vdu展开尾项vdu=vudx,判断a.若Jvudx是容易求解的不定积分，则直接计算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果）；b.若fv，udx依旧是相当复杂，无法通过a中方法求解的不定积分，则重复、，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C【题型示例】求exx2dx【求解示例】【题型示例】求exsinxdx【求解示例】x1x-esinxdx=-esinx-cosx厂C第四节有理函数的不定积分。有理函数（）、Pxpx=axmaxm

19、am设：7-=内Qxqx=b0xbx：bn对于有理函数E0）,当P（x）的次数小于Q（x）的Qx次数时，有理函数以凶是真分式；当P（x）的次数Qx大于Q（x）的次数时,有理函数以有是假分式Qx。有理函数（真分式）不定积分的求解思路（）将有理函数Px，的分母Q（x）分拆成两个没有公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示k为一次因式（x-a）；而另一个多项式可以表示为二次质因式（x2+px+q）,（p24q,.,AkJNi数法（比较法）求出得到分拆式后分项积分即可求解2【题型示例】求fdx（构造法）x1【求解示例】第五节积分表的使用(不作要求)第五章定积分极其应用第一节定积分的概念与性质。定积分的定义()(f(x和为被积函数，f(xjdx称为被积表达式，x则称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限，la,b1称为积分区间)。定积分的性质()bbafxdx=afuduaafxdx=0bbaIkxdx=kafxdx(线性性质)(积分区间的可加性)若函数f(xW积分区间la,b上满足f(x)A0,b则ff(xdx0;a(推论一)若函数f(x)、函数g(x次积分区间a,b上满bb足f(x)g(x),贝ULf(xdxMLg(xdx；bb(推论二)ff(xdxEff(x)dx-a+a。积分中值定理