培优专题平行四边形含解答

1、学习好资料欢迎下载培优专题6平行四边形的性质与判定平行四边形是一种特殊的四边形，它的性质较多，判定方法多样，在日常生活和解决一些几何问题时，应用非常广泛，正是由于其两组对边分别相等等一些特殊的性质，也是竞赛及中考考查的重要内容.例1如图，|_1ABCM,E是CD上一点，F是AD上一点，AE与CF交于点0,且AE=CF试说明0B平分/A0C分析要论证点B是/A0C勺角平分线上的点，只要说明点B到角的两边距离相等.因此,我们想到证两个三角形全等，或者利用等底、？等高的两个三角形底上等高.解：过B分另1J作BP)±AEBHLCF分别交AEFC于点P和点H.SAABE=_SiIABCD，Sa

2、CBF=_SIABCD，SaABE=SCBF-又AE=CFBH=BP/AOBhCOB即OB平分/AOC练习11 .如图，已知S.Iabcd=64,E、F分别为ABAD的中点，则SaCEF=()A.32B.28C.24D.401.解：连结AGBDSaCDF=SCFA,SaCEB=SCAE-“1-又SaaDC=SaABC=SABCD,2SaCDF=SaCBE=-SIABCD=16.4又SaAEF=SABD=-SABCD=8.SCEF=SL.ABCD-SaCDF-ScBE-SAEF=24.故选C。2.如图，P为ABCDrt一点，过P分别作ABAD的平行线，交平行四边形于E、F、G、H四点，若S四边形

3、ahpe=3,S四边形pfcg=5,求SApbd-欢迎下载学习好资料2.设：AH=aHB=b在LJAHPE中,AH边上的高为m|PFCGFPF边上的高为n,由EF/AB,GH/AD知四边形EPGDHBFPti1是平行四边形，故Sabd=-AB21(m+n)=21(a+b)(m+n)=2(am+an+bm+bnSaepd=an,Sabhp=bm,SAhpe=am=3,SpECG=bn=5,22由Saabd=Sabdp+Saepd+Sabhp+S四边形ahpe,-1Sabdp=(3+an+bm+5)-an-bm-3=1.2223.如图，在|ABCD,E为BC上任意一点，DM/AE,AM/EF.S.

4、amf为S.abc相等吗？3.连结DE.Saade=_Sabcd=_Saefm,22SL.ABCD=sl.AMFE例2如图，RtABC中，/BAC=90,AD±BC于D,BG平分/ABCEF?/BC?S交AC于F,AE与CF相等吗？说明理由.分析作GHLBC,则AG=GH从而可得ABG售HBG?连结HE,?可证彳#AB段HBE则AE=HE再证四边形EHCF平行四边形即可.解：作GHLBC于H,连结EH.BG是/ABH的平分线，GA=BA4GA=GHAB®HBG.AB=HB又ABE土CBER组二;BE=BE,.AB*HBEAE=EH/BEA之BEH学习好资料欢迎下载AD/GH

5、/AEGWBGH又./AEGNGEH/AGB=BGH/AGBhGEHEH/AC.又已知EF/HCEHCF平行四边形，FC=EH=AE练习21.如图，在|ABCD43,AH=CFBE=DG连结AGBHCEDF,MN、P、Q汾别为交点，MPNQ相交于点O,OM=O和ON=O嘟成立吗？1尸C1.解：四边形ABC虚平行四边形,.AD2BC又AH=CF.DH/BF,四边形BFDH是平行四边形.BH/DF,MQ/PN.同理，PQ/NM，四边形MNPQ1平行四边形.DM=DPDN=DQ2.如图，EF/GH/AB,若AB=EF+GH则BE与CGf等吗？£2GEH2.解：过点E作AC的平行线交AB于P

6、,EF/AB,EP/AC,四边形APEF是平行四边形，.AP=EF再由AB=EF+GHAB=AP+PBPB=HG由HG/AB可知/PBE之HGC且/CHG=CABBP/AC得/CAB=EPB/CHG=EPB.EPgACH(GBE=CGC3.如图，在等腰ABC的两腰ARAC上分别取点E、F,使AE=CF平移线段BC到线段EG连结CGFG则EF与FG相等吗？3.解：由平移知识得四边形BEG%平行四边形,欢迎下载学习好资料，BE=CG又AB=ACAE=CFBF=AF,即AF=CGCG/AB,./ACGhA,又AE=CF.AEFACFGEF=GF例3如图，|ABCD,DEIAB于E,BM=MC=DCB

7、么/EMCW/BEM的大小关系怎样？分析延长DC交EM的延长线于F,只需证明M是RtEFD的斜边EF的中点，？则有/F=Z1=/2,又./3=/F+/1=2/F,/EMC=3F.解：延长EM交DC的延长线于F,连结DM/5=/6,/F=/4,MB=MC.FCMAEBMM是EF的中点.1.AB/CDDE±AB,DEIFD.在RtEFD中，./F=Z1,/3=2/F,又CM=DM/2=/1=/F,/EMC=3F,而/F=/4,.EMC=3BEM练习31一1.如图，已知正万形ABCD勺边CD的中点为E,F是CE?勺中点，？那么/DAE，/BAF吗?21.解：作/BAF的平分线AH交DC的延

8、长线于H,则/1=72=73,FA=FH设正方形的边长为a,在RtADF中AF2=AD2+DF2=a2+(a)2=a2,416_5_AF=-a=FH.4"CH=FH-FC=-a-a=a,44RtAB(GRtAHCGGB=GC=DE=a从而RtAABCGRtAADE./DAE=/2=/BAF欢迎下载学习好资料2.如图，正方形ABCB,在AD的延长线上取点E、F,使DE=ADDF=BQ施结BF分别交CDCE于HG,则/HDGZGHDff等吗？说明理由.2.解：:D吆BC,四边形BCED为平行四边形，1=/4,又BD=FD1/1=Z2=Z3=-X45°.21Z3=Z4=X45.2

9、BC=GC=QD-.ADGm等腰三角形，且顶角/DCG=45.11350./CDGe(180-45°)22./HDGWGHDCdAB于E,试说明/DME走/3.如图，在UABCD中，BC=2ABM是AD的中点,AEM的三倍的理由.3.解：设线段CE的中点为N,连结M明口MQM是AD的中点，MMAE/DQZAEMhEMNZNMCWMCQ1 1MD=-ADeBC=AB=CD2 2ZDMC4MODDMC4NMC由MMAE,C吐AB得MhLCE,又点N是CE的中点，ME=MC./EMNWNMC由得：zDMEgDMC£NMC它EMN=2EMN=AEMEi欢迎下载学习好资料例4如图，在

10、|_lABCC,A已BGCF,AD,DNLBM试说明四边形MEN思平行四边形.分析要说明四边形MEN陛平行四边形，只须说明：ME7FN;(4)MF/EN;BECME=FN,MF/EN,(1)«'(2)«(3)MF=EN;ME/FN;(5) MNfEF互相平分；这五种中的一种即可.解：.四边形ABCD平行四边形，AD/BCAB/CD/B=ZD又AE!BC,CF±AD,.四边形AECF是矩形，从而AE=CFRtAABERtACDFBE=DF又BM=DNBE阵DFNME=NF又AF=CEAM=CN/MAFhNCE.AMFNCFMF=NF由得四边形ENFM是平行四

11、边形.练习41.如图，在|ABCD中，BEXAC于E,DF±AC于F,MN分别为DCAB的中点，？四边形EMFhM平行四边形吗？说明理由.1.解：在RtAFD和RtCEB中,AD=BC/DAF之BCE.AFgACEEAF=CEDF=BE,且/ADF之CBE在CEMF口4AFN中，CM=AN/ECM=FAN1CE俸AFN从而FN=ME在BE丽DFM43,BN=DM由得：DF=BE又/EBN之ABC-/CBE/FDM=ADC-/ADF/ABC4ADC且由有：/ADF之CBE/EBN4FDM故ABE阵4DFMFM=NE欢迎下载学习好资料由得：四边形EMFW平行四边形.2 .如图，将矩形的每

12、一内角三等分，连结靠近同一边上的两条三等分线所交成的四点组成一个四边形，试判断此四边形的形状.在DGOKZBAE-ZGDCWABEMGCD=30,AB=CDAEEADGQ从而AE=DG由/HADWHDA=30得AH=D又/EAHWHDG=30,且AE=G?同理可得:EF=FG,EH=EF二四边形EFGK菱形.3 .四边形ABCM对角线相交于0,且AD/BC,且AB+BC=AD+QC?试说明四边形ABCD是平行四边形.4 .解：设AB+BC=AD+QC延长CB至点E,使BE=AB延长AD至点F,使DF=DC?如图，？则E?AF,故AECF是平行四边形.贝ij/E=ZF,又/ABC=2/E.ZAD

13、C=2/F,这样/ABC玄ADCAD/BC, ./DAB吆ABC=180, /DAB4/ADC=180.AB/CD,则四边形ABC因平行四边形.例5如图，UABCM周长是1073+672,BC的长度是573,A已BC于E,AFXCD交DC新延长线于F,AE=3,求/D的度数.分析欲求/D的度数，只需求出/B的度数，在RtABE中，AE=3?ZAEB=9(J,再根据周长与BC的长，不难求出AB的长，利用勾股定理得出BE的长，？从而得出/B的度数，也就是/D的度数.欢迎下载学习好资料解：.四边形ABC比平行四边形，AB=CDBC=AD.BC=5四，|ABC曲周长是105/3+672,1 kk工Z-

14、XAB=CD=1(1073+6展-573-573)=372.2又AHBC于E,AE=3,BE2=AB2-AE2=32.即BE=3,AE=BEABE是等腰直角三角形./D=ZB=45°.练习51.如图，|ABCD43,/ABC=75,AFLBC于F,AF交BD于E,若DE=2AB贝U/AED?的度数是()A.45°B,60°C.65°D.70°1.解：取ED中点G,连结AG在ABCD43,AD/BCX/AF±BC,AF±AD. 在RtMED中,AG=EG=GD 2AB=DEAG=AB/ABE=/AGB/ADGhDAG/GAEh

15、GEA /ABGhAGB=2/ADB /ADB=/DBC/ABC=3/ADB /ABC=75,/ADB=25，/AEG=90-/ADB=90-25°=65°.2.解：AE=ABBE=2AB2.已知：如图，IIABCD中，BC=2AB将AB向两端延长，使AE=AB=BF若ECFD相交于点G试说明/EGF的度数为90°.BC=2ABBE=BC，一，一1/E=ZBCE=/CBF2学习好资料欢迎下载同理可得：/F=1/DAE2一,1,一，/E+/F=(/CBF吆DA®.AD/BC,/DAB+CBA=180.CBF吆DAE=180.ZE+ZF=180°,即/EGF=90.3.如图，在|ABC邛,AE!BC,AF±DCBCCD=