线段的垂直平分线的性质与判定学习教案

1、会计学1线段线段(xindun)的垂直平分线的性质与的垂直平分线的性质与判定判定第一页，共26页。（一）线段（一）线段(xindun)(xindun)的垂直平分线的性质的垂直平分线的性质 如图，直线 l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，是 l 上的点，分别量一量点P1，P2，P3，到点A与点B的距离，你有什么(shn me)发现？小结小结(xioji)：线段垂直平分线上的点线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离与这条线段两个端点的距离相等相等.探究新知第2页/共26页第二页，共26页。线段线段(xindun)垂直平分线上的点与这条线段垂直平分线上的点与这条线段(xindun)两个端点

2、的距离相等两个端点的距离相等.思考思考(sko)：上述问题用数学语言可以如何表示？：上述问题用数学语言可以如何表示？如右图，设直线如右图，设直线MN是线段是线段AB的的垂直平分线，点垂直平分线，点C是垂足，点是垂足，点P是直线是直线MN上任意一点上任意一点(y din)，连接，连接PA，PB，我们要证明的是，我们要证明的是PA=PB.如何证明呢？探究新知第3页/共26页第三页，共26页。写出已知，求证(qizhng).思路思路(sl)分析：图中有两个直角三角形，分析：图中有两个直角三角形，APC和和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可得只要证明这两个三角形全等，便可得PA=PB.已知：已知：

3、MN AB，垂足为点，垂足为点C，AC=BC，点，点P是直线是直线MN上任意上任意(rny)一点一点. 求证：求证：PA=PB.探究新知线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等等.第4页/共26页第四页，共26页。已知：已知：MN AB，垂足为点，垂足为点C，AC=BC，点，点P是直线是直线MN上任意上任意(rny)一点一点. 求证：求证：PA=PB.证明：在证明：在APC和和BPC中，中， PCPC（公共边）（公共边） PCB=PCA（垂直（垂直(chuzh)定义）定义） ACBC（已知）（已知） APC BPC (SAS)PAPB (全

4、等三角形对应边相等）全等三角形对应边相等） 探究(tnji)新知 第5页/共26页第五页，共26页。线段线段(xindun)的垂直平分线的性质的垂直平分线的性质线段线段(xindun)垂直平分线上的点与这条线段垂直平分线上的点与这条线段(xindun)两两个端点的距离相等个端点的距离相等.几何语言：几何语言：PCAB且且AC=BC PA=PB 思考(sko)：你能写出该命题的逆命题吗？它是真命题吗？探究新知第6页/共26页第六页，共26页。（二）线段（二）线段(xindun)的垂直平分线的判定的垂直平分线的判定 逆命题：如果有一个点与线段两个端点的距离相等逆命题：如果有一个点与线段两个端点的距

5、离相等(xingdng)，那么这个点在这条线段的垂直平分线上，那么这个点在这条线段的垂直平分线上.探究(tnji)新知线段的垂直平分线的性质这一命题条件是：“有一个点是线段垂直平分线上的点”，结论是：“这个点与这条线段两个端点的距离相等”.第7页/共26页第七页，共26页。 逆命题：如果有一个点与线段两个逆命题：如果有一个点与线段两个(lin )端点的距离相端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上.真命题？假命题?已知已知:如图，线段如图，线段(xindun)AB，点，点P是平面内一点，且是平面内一点，且PA=PB.求证：求证：P点在点在AB的垂

6、直平分线上的垂直平分线上.画出图形画出图形,写出已写出已知，求证知，求证.探究(tnji)新知（二）线段的垂直平分线的判定（二）线段的垂直平分线的判定第8页/共26页第八页，共26页。已知已知:如图，线段如图，线段(xindun)AB，点，点P是平面内一点，是平面内一点，且且PA=PB.求证：求证：P点在点在AB的垂直平分线上的垂直平分线上.证法一过点证法一过点P作已知线段作已知线段(xindun)AB的垂线的垂线PC.C在在RtPAC和和RtPBC中中PA=PBPC=PCRtPAC RtPBC （HL）AC=BC即P点在AB的垂直平分线上.探究(tnji)新知第9页/共26页第九页，共26页

7、。证法二取证法二取AB的中点的中点(zhn din)C，过，过PC作直线作直线.在在APC和和BPC中中APC BPC （SSS） PCA=PCB(全等三角形对应(duyng)角相等）P点在AB的垂直平分线上.PA=PBPC=PCPA=PBAC=BCPCA+PCB=180PCA=PCB=90PCABC已知已知:如图，线段如图，线段AB，点，点P是平面是平面(pngmin)内一点，内一点，且且PA=PB.求证：求证：P点在点在AB的垂直平分线上的垂直平分线上.第10页/共26页第十页，共26页。已知已知:如图，线段如图，线段(xindun)AB，点，点P是内一点，且是内一点，且PA=PB.求证：

8、求证：P点在点在AB的垂直平分线上的垂直平分线上.证法证法(zhn f)三过三过P作作APB的平分的平分线线.在在APC和和BPC中中APC BPC （SAS） AC=BC, PCA=PCB (全等三角形对应(duyng)边相等，对应(duyng)角相等）P点在AB的垂直平分线上.PA=PBPC=PCPA=PB1= 2又PCA+PCB=180C12 PCA=PCB =90第11页/共26页第十一页，共26页。已知已知:如图，线段如图，线段(xindun)AB，点，点P是平面内一点，且是平面内一点，且PA=PB.求证：求证：P点在点在AB的垂直平分线上的垂直平分线上.证法证法(zhn f)四过四

9、过P作线段作线段AB的垂直平的垂直平分线分线PC.P点在AB的垂直平分线上.AC=CBC1 12 2PCA=PCB =90这种证法正确吗？第12页/共26页第十二页，共26页。已知已知:如图，线段如图，线段AB，点，点P是平面内一点是平面内一点(y din)，且，且PA=PB.求证：求证：P点在点在AB的垂直平分线上的垂直平分线上.分析：如图（1），PD AB，D是垂足(chu z)，但D不平分AB； 如图（2），PD平分AB，但PD不垂直于AB. 这说明一般情况下，“过P作AB的垂直平分线”是不可能实现的，所以第四个同学的证法是错误的.探究(tnji)新知第13页/共26页第十三页，共26页

10、。线段线段(xindun)(xindun)的垂直平分线的判定的垂直平分线的判定 与线段两个端点与线段两个端点(dun din)距离相等的点在这条线距离相等的点在这条线段的垂直平分线上段的垂直平分线上.P点在AB的垂直平分线上.PA=PB几何几何(j h)语言语言:探究新知第14页/共26页第十四页，共26页。 我们曾用折纸的方法折出过线段的垂直平分线，学习了线段的垂直平分线的性质和判定，你能用尺规作图的方法作 出已知线段的垂直平分线吗？要作线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定，只需找到两个与线段两个端点距离(jl)相等的点，就能确定已知线段的垂直平分线.第15页/共26页第十五页，共26页。

11、写出已知，求作.例例1尺规作图：经过已知直线外一点尺规作图：经过已知直线外一点(y din)作这条直作这条直线的垂线线的垂线.已知：直线已知：直线AB和和AB外一点外一点C（如下图）（如下图）.求作：求作：AB的垂线的垂线(chu xin)，使它经过点，使它经过点C. 探究(tnji)新知第16页/共26页第十六页，共26页。已知：直线已知：直线AB和和AB外一点外一点C.求作：求作：AB的垂线的垂线(chu xin)，使它经过点，使它经过点C. 作法(zu f)演示：（超链接）第17页/共26页第十七页，共26页。证明：证明： CD=CE CD=CE，DF=EFDF=EFCC，F F都在都在

12、ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上 （线段垂直平分线的判定）（线段垂直平分线的判定）CFCF就是就是(jish)(jish)线段线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线 （两点确定一条直线）（两点确定一条直线） 思考:为什么直线CF 就是所求作的垂线？思考：我们除了用刻度尺找线段的中点外，还有其他的方法吗？探究(tnji)新知第18页/共26页第十八页，共26页。解：ABACCE ADBC ADBC，BD=DCBD=DC AB=AC AB=AC（垂直平分线的性质）（垂直平分线的性质）点点C C在在AEAE的垂直平分线上的垂直平分线上AC=CEAC=CE（垂直平分线的性质）（垂直平分线的性质）AB

13、=AC=CEAB=AC=CE（等量（等量(dn lin)(dn lin)代换）代换）理由(lyu)如下：教材(jioci)P62 练习： 1.如图，ADBC，BD=DC,点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系?ABBD与DE有什么关系？第19页/共26页第十九页，共26页。解：AB+BDDE AB=CE（已证）BD=DC（已知） AB+BD=CE+DC（等式(dngsh)的性质1）AB+BD=DE理由(lyu)如下： 1.如图，ADBC，BD=DC,点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度(chngd)有什么关系?ABBD与DE有什么关系？第20页/共26页第二十页

14、，共26页。解：AM是线段(xindun)BC的垂直平分线.理由理由(lyu)如下如下:ABAC（已知）（已知）点点A在线段在线段(xindun)BC的垂直平分线上（垂直平分线的的垂直平分线上（垂直平分线的判定）判定）同理可得：同理可得： 点点M在线段在线段(xindun)BC的垂直平分线上的垂直平分线上直线直线AM是线段是线段(xindun)BC的垂直平分线的垂直平分线 （两点确定（两点确定一条直线）一条直线） 2.如图，AB=AC，MB=MC.直线AM是线段BC的垂直平分线吗？第21页/共26页第二十一页，共26页。第22页/共26页第二十二页，共26页。1.线段线段(xindun)的垂直平分线的性质的垂直平分线的性质.2.线段线段(xindun)的垂直平分线的判定的垂直平分线的判定.3.用尺规作线段用尺规作线段(xindun)的垂直平分线的垂直平分线.第23页/共26页第二十三页，共26页。2022年4月14日【课后