第九章差错控制编码1引言

1、第九章差错控制编码9.1引言一、信源编码与信道编码数字通信中，根据不同的目的，编码分为信源编码与信道编码二大类。信源编码提高数字信号的有效性，如，PCM编码，M编码，图象数据压缩编码等。信道编码提高传输的可靠性，又称抗干扰编码，纠错编码。由于数字通信传输过程中，受到干扰，乘性干扰引起的码间干扰，可用均衡办法解决。加性干扰解决的办法有：选择调制解码，提高发射功率。如果上述措施难以满足要求，则要考虑本章讨论的信道编码技术，对误码（可能或已经出现）进行差错控制。从差错控制角度看：信道分三类：（信道编码技术）随机信道：由加性白噪声引起的误码，错码是随机的，错码间统计独突发信道：错码成串，由脉冲噪声干扰

2、引起。混合信道：既存在随机错误，又存在突发错码，那一种都不能忽略不计的信道。信道编码（差错控制编码）是使不带规律性的原始数字信号，带上规律性（或加强规律性，或规律性不强）的数字信号，信道译码器则利用这些规律性来鉴别是否发生错误，或进而纠错。需要说明的是信道编码是用增加数码，增加冗余来提高抗干扰能力。二：差错控制的工作方式检错误-发V前向纠错判决信号纠错码、ftaz書尹于于q发检错重发反馈校验法收信息信号（1）检错重发（2）前向纠错，不要反向信道（3）反馈校验法，双向信道这三种差错控制的工作方式见下图所示：信息信号9.2纠错编码的基本原理举例说明纠错编码的基本原理。用三位二进制编码表示8种不同天

3、气000晴001云010阴一组码共0118种中只准雨许使用4种计8种100雪101霜110雾111雹000晴011云许用码组，其它为禁用码组101阴110雨许用码组中，只要错一位（不管哪位错），就是禁用码组，故这种编码能发现任何一位出错，但不能发现的二位出错，二位出错后又产生许用码。上述这种编码只能检测错误，不能纠正错误。因为晴雨阴错一位，都变成100。要想纠错，可以把8种组合（3位编码）中，只取2种为许用码，其它6种为禁用码。例如：000晴111雨这时，接收端能检测两个以下的错误，或者能纠正一个错码。例：收到禁用码组100时，如认为只有一位错，则可判断此错码发生在第1位，从而纠正为000（晴

4、），因为111（雨）发生任何一个错误都不会变成100。若上述接收码组种的错码数认为不超过二个，则存在两种可能性:(000)/(111)错位错2位变成（111）或（100），因为只能检出错误，但不能纠正。:分组码，码重，码距（见樊书P282表9-1）将码组分段：分成信息位段和监督位段，称为分组码，记为（n,k）n编码组的总位数，简称码长（码组的长度）k每组二进制信息码元数目，（信息位段）nkr监督码元数目，（监督位段）（见樊书P282,图9-2）在分组码中，有“1”的数目称为码组的重量，简称码重。例如，码组(11010),码长n=5,码重为3。把两个码组对应位不同的数目称为这两个码组的距离，简称

5、码距，又称Hamming(汉明)的距离。11000例如，码组(11000)与(10011)的距离为3。10011而码组集合中，全体码组之间的距离的最小值称为最小码距(d0)。码距的几何意义见樊书P283,图9-3。从图看出，码距d越小，检错，纠错能力越强。二：纠错编码的效用樊书P284监督位数r越多，对提高抗干扰，降低误码率越有好处。9.3常用的简单编码纠错码的分类：(沈振元书P388)(1) 奇偶校验码(“T的数目应为偶数或奇数)广7广1100111信息位偶校验位1100110an2a00偶校验码满足条件：an1举例：偶校验的例子：码组：110011码长n6，信息位段长k5，监督位数r1偶校

6、验位=“1”满足条件:(2) 二维奇偶校验码仍然举偶校验的例子：11001对称出现4个错11/010/111码也检不出来/1001111%0切1110000:|_110:列监督位，0100010（3）恒比码例如，我国电传机传输阿拉伯数字时，用5位代码表示，每个码组的长度为5，其中恒有3个“1”，称为“5中取3”恒比码。阿拉伯数字保护电码阿拉伯数字保护电码101011610101211001711100310110801110411010910011500111001101（4）正反码正反码的信息位段长k与监督位段长r相同，如正反码组:信息位段有奇数个1:（监督位与信息位重复）Jx瓦信息位段有偶

7、数个1：口（监督位是信息位反码）信息位监督位9.4线性分组码一：基本概念可用线性方程组（代数关系）表述码的规律性的分组码称为线性分组码。如奇偶校验码的编程原理利用了代数关系，an!an2a。0（偶校验关系），称奇偶校验码为线性分组码。在代数码中，常见的是线性码，即编码中的信息位和监督位是由一些线性代数方程联系着，或者说可用线性代数方程表述编码的规律性。上述正反码中，为了纠正一位错误，使用的监督位和信息位一样多，即编码效率只有50%（编码效率k/n）。那么为了纠正一位错误码，在分组码中最少要几位监督码位？编码效率能否提高。从这种思想出发，便导致了汉明码的诞生。汉明码是能够纠正一位错码且编码效率较

8、高的一种线性分组码。二：线性分组码的一种一一汉明码F面介绍汉明码（Hamming）的构造原理先回顾偶校验码，在接收端实际上计算监督关系式：sanan2a0若s0无错s1有错s称校正子由于s校正子只有两种形式“0”或“1”，只能代表有错或无错，因而不能找出错码的位置。不难想象，如果监督位增加一位，即变成二位监督位，即能增加一个类似于偶校验码监督式的新的监督式。两个监督式就有两个校正子，其可能值有4种组合：00,01，10，11,这4种组合代表不同信息。若用1种组合表示无错，其余3种组合就可以用来表示一位错码的3种不同位置。同理，r个监督式能指示一位错码的2r1个可能位置。一般来说，若码长n，信息

9、位数k，则监督位rnk，汉明码n与r满足：n2r1现以（n，k）=（7，4），r=3为例的汉明码来说明如何具体构造这些监督关系式。设码字（n，k）=a6a5a4a0a2a1a0监督位a6a5a4信息位s1,s2,s3校正子（3个监督关系式中的校正子）这3个校正子s1,s2,s3，可建立三个互为独立的监督关系式s1,s2,s3的值与错码位置的对应关系可以规定如下表：（见樊书P288,图9-4）s1,s2,错码位置s1,s2,s3错码位置001a0101a4010a1110a5100a2111%011a3000无错*9,9全为零，表示无错。只要s1（或s2,或s3）为“1”，就表示有错，q是不是1

10、,由a2,a4,a5,a6的出错决定，可写成偶监督关系式：S1a6a5a4a2（只有s1为零时才无错，发送编码时，将监督码元a2与信息码元的关系满足此式）同理s2a6a5a3a1冋理s3a6a4a3a0在发端编码时，信息位a3,a4,a5,a6的值是随机的，监督位a2,a1,a0应根据信息位按监督关系来确定，即监督位应使上面的s1,s2,s3监督式为零。即要求：a6a5a4a20a6a5a3a10a6a4a3a00或写成监督码元在左边的形式:a2a6a5a4a1a6a5a3a0a6a4a3信息位a6,a5,a4,a3一旦确定后，可直接按上式计算出监督位（见樊书P289图9-5）接收端收到每个码

11、字（码组）后，先计算出偶监督关系式，s1,s2,s3再按表9-4（樊书P288）判断错码情况。a2a6a5a4a6a5a4a20a1a6a5a3a6a5a3a10a0a6a4a3a6a4a3a00如果s1,s2,s3不全零，可判出在哪一位出错发送端，将信息位按查樊书表9-4,判错哪一位并纠正之接收端，先计算校正s1,s2，s3为零否,d=3（见樊书表9-5），能够纠正单个错误三：线性分组码的一般原理（1）监督阵和生成矩阵将上述汉明码（7，4）的监督关系式改写成：（见樊书P289,9.4-8）1ao1a51a40as1a20a10a。01ao1a50a41as0a21a10a。01ao0a51a

12、41as0a20a11a0上式中简写为+，表示模2相加。写成矩阵形式:a6a51110100a401101010a3=0(模2)1011001a20a1a0简记HA0T(H监督矩阵)监督矩阵H为rn(r行，n列)阶矩阵，H阵的每行之间彼此线性无也可将H矩.阵分为两部分：11101100H=1101010PIr10101001a6a3a2a1a0其中P为rxk阶矩阵，Ir为rxr阶单位矩阵若把监督关系式改写补充：aoa5a3a3a3a4a6a5a4a6a5a6a4a6a5即AGt,变换为Aa6a5a4a3G,a4a31000111111010011110其中G110010111010001111

13、011I,QG称为生成矩阵，如果找到G,则纠错编码方法就确定了，可由信息组和G可产生全部码字。111GgQ110-也称典型生成矩阵，其中Q1010111000、“0100Ik为kxk万阵k00100001可改写为矩阵形式:a50100a40010a6a3000a515a211104,*31000a11101a01011由典型生成矩阵得出的码组A中，信息位不变，监督位附加其后，这种码称为系统码。（2）校正子S（伴随式）设发送码组Aan1,an2,a1,a0（在传输过程中可能发生误码）设接收码组Bbn1,bn2,b1,b0则发送码组与接收码组之差定义为E（也称错误图样）：EBA（模2）Een1，en2冃，仓，其中ei0,当baj1,当bjaj因此，若e0,表示该位接收码元无错；若ej1,则表示有错。EBA，也可改写为BAE例如：发送A=1000111错误E=0000100接收B=1000011令SBHt称S为校正子，也称伴随式。SBHT（AE）HtAHtEHt零矩阵EHt由此可见，校正子S与错误图样E之间有确定的线性变换关系，若S和E之间对应，则S将能代表错码的位置。接收端译码器的任务就是从校正子S确定错误图样