函数最值问题教案

1、.适用学科高中数学适用年级高一适用区域苏教版区域课时时长分钟2课时知识点单调性的概念、单调性的判断证明方法、单调性的应用、最值问题教学目的使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的，它是函数单调性的应用通过浸透数形结合的数学思想，掌握求函数最值的方法教学重点函数最大小值的定义和求法教学难点如何求一个详细函数的最值【知识导图】教学过程一、导入1由于某种原因，2019年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推延到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因. 2通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况课上通过交流，可以理解到开幕式推延主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温

2、、平均降雨量和平均降雨天数等均开场下降，比较适宜举办大型国际体育赛事以下图是北京市某年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图问题：观察图形，能得到什么信息？预案：1当天最高温度、最低温度以及何时到达；2在某时刻的温度；3某些时段温度升高，某些时段温度降低在生活中，我们关心很多数据的变化规律，理解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？预案：水位上下、燃油价格、股票价格等归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小二、知识讲解考点1 函数的最大值函数图象上任意点P的坐标x，y的意义：横坐标x是自变量的取值，纵坐标y是自变量

3、为x时对应的函数值的大小3图象上最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值4由于点C是函数yfx图象上的最高点，那么点A在点C的下方，即对定义域内任意x，都有yy0，即fxfx0，也就是对函数yfx的定义域内任意x，均有fxfx0成立5一般地，设函数yfx的定义域为I，假如存在实数M满足：对于任意的xI，都有fxM；存在x0I，使得fx0M.那么，称M是函数yfx的最大值6fxM反映了函数yfx的所有函数值不大于实数M；这个函数的特征是图象有最高点，并且最高点的纵坐标是M.7函数图象上最高点的纵坐标8函数y2x1，x1，没有最大值，因为函数y2x1，x1，的图象没有最高点9不是，因为

4、该函数的定义域中没有1.10讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原那么；函数图象上有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点考点2 函数的最小值1函数最小值的定义是：一般地，设函数yfx的定义域为I，假如存在实数M满足：对于任意的xI，都有fxM；存在x0I，使得fx0M.那么，称M是函数yfx的最小值。函数最小值的几何意义：函数图象上最低点的纵坐标2讨论函数的最小值，也要坚持定义域优先的原那么；函数图象上有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是函数图象上的点三 、例题精析类型一 函数最值的求法例题1画出函数yx22|x|3的图象，指出函数的单调区间和最大值【解析】：函

5、数图象如下图由图象得，函数的图象在区间，1和0,1上是上升的，在1,0和1，上是下降的，最高点是±1,4，故函数在，1，0,1上是增函数；函数在1,0，1，上是减函数，最大值是4.【总结与反思】此题主要考察函数的单调性和最值，以及最值的求法求函数的最值时，先画函数的图象，确定函数的单调区间，再用定义法证明，最后借助单调性写出最值，这种方法适用于做解答题类型二 单调法求函数最值例题1求函数y在区间2,6上的最大值和最小值【解析】设2x1x26，那么有fx1fx22x1x26，x2x10，x11x210.fx1fx2，即函数y在区间2,6上是减函数当x2时，函数y=在区间2,6上获得最大

6、值f22；当x6时，函数y在区间2,6上获得最小值f6.【总结与反思】 单调法求函数最值：先判断函数的单调性，再利用其单调性求最值；常用到下面的结论：假如函数yfx在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减，那么函数yfx在xb处有最大值fb；假如函数yfx在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增，那么函数yfx在xb处有最小值fb.类型三 函数最值的应用例题1“菊花烟花是最壮观的烟花之一制造时一般是期望在它到达最高点时爆裂假如烟花距地面的高度hm与时间ts之间的关系为ht4.9t214.7t18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最正确时刻？这时距地面的高度是多少？准确到1m【解析】

7、：作出函数ht4.9t214.7t18的图象，如下图，显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最正确时刻，纵坐标就是这时距地面的高度由二次函数的知识，对于函数ht4.9t214.7t18，我们有：当时，函数有最大值.即烟花冲出后1.5s是它爆裂的最正确时刻，这时距地面的高度约是29m.【总结与反思】 此题主要考察二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的才能解应用题的步骤是：审清题意读懂题；将实际问题转化为数学问题来解决；归纳结论注意：要坚持定义域优先的原那么；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合四 、课堂运用基础1假设函数fxx22a1x2在区间，4上是

8、减函数，那么实数a的取值范围是_2函数yx，以下说法正确的选项是_填序号有最小值，无最大值；有最大值，无最小值；有最小值，最大值2；无最大值，也无最小值3函数yx22x3在区间0，m上有最大值3，最小值2，那么m的取值范围是_答案与解析1.【答案】，3【解析】由二次函数的性质，可知4a1，解得a3.2.【答案】【解析】在定义域上是增函数，即函数最小值为，无最大值3.【答案】1,2【解析】由yx22x3x122知，当x1时，y的最小值为2，当y3时，x22x33，解得x0或x2.由yx22x3的图象知，当m1,2时，能保证y的最大值为3，最小值为2.巩固1函数的值域是_2函数yx26x9在区间a

9、，ba<b<3有最大值9，最小值7，那么a_，b_.3假设，那么函数的最大值为_答案与解析1.【答案】0,2【解析】观察可知y>0，当|x|取最小值时，y有最大值，所以当x0时，y的最大值为2，即0<y2，故函数y的值域为0,22.【答案】2 0【解析】yx3218，a<b<3，函数y在区间a，b上单调递增，即b26b99，得b0b6不合题意，舍去a26a97，得a2a8不合题意，舍去 3.【答案】2【解析】函数在上是单调递增函数，故.拔高1函数fxx22x2.1求fx在区间上的最大值和最小值；2假设gxfxmx在2,4上是单调函数，求m的取值范围2假设二次

10、函数满足fx1fx2x且f01.1求fx的解析式；2假设在区间1,1上不等式fx>2xm恒成立，务实数m的取值范围答案与解析1.【答案】同解析【解析】1fxx22x2x121，fx的最小值是f11，又, f35，所以，fx的最大值是f35，即fx在区间上的最大值是5，最小值是1.2gxfxmxx2m2x2，或，即m2或m6.故m的取值范围是，26，2.【答案】同解析【解析】1设fxax2bxca0，由f01，c1，fxax2bx1.fx1fx2x，2axab2x，fxx2x1.2由题意：x2x1>2xm在1,1上恒成立，即x23x1m>0在1,1上恒成立令，其对称轴为，gx在

11、区间1,1上是减函数，gxming1131m>0，m<1.五 、课堂小结利用单调性求函数的最大小值：1定义最大值：设函数的定义域为I，假如存在实数M满足：对于任意的xI，都有M；存在x0I，使得 = M. 那么，称M是函数的最大值MaximumValue. 仿照最大值定义，可以给出最小值MinimumValue的定义.2配方法：研究二次函数的最大小值，先配方成后，当时，函数取最小值为；当时，函数取最大值.3单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.4图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最

12、小值. 六 、课后作业基础1假如函数fxx2bxc对任意的实数x，都有f1xfx，那么f2，f0， f2的大小关系为_2函数y|x3|x1|的_填序号最小值是0，最大值是4；最小值是4，最大值是0；最小值是4，最大值是4；没有最大值也没有最小值3函数的最大值是_答案与解析1.【答案】f0<f2<f2【解析】依题意，由f1xfx知，二次函数的对称轴为x，因为fxx2bxc开口向上，且f0f1，f2f3，由函数fx的图象可知，为fx的增区间，所以f1<f2<f3，即f0<f2<f2 2.【答案】【解析】y|x3|x1|=.因为1,3是函数y2x2的减区间，所以4

13、y4，综上可知正确 3.【答案】【解析】巩固1. 求函数的最大值2. 将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，假设此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？答案与解析1.【答案】【解析】令原函数得最大值为2.【答案】同解析【解析】设利润为元，每个售价为元，那么每个涨50元，从而销售量减少答：为了赚取最大利润，售价应定为70元拔高1函数fx32|x|，gxx22x，构造函数Fx，定义如下：当fxgx时，Fxgx；当fx<gx时，Fxfx，那么Fx_填序号有最大值3，最小值1；有最大值3，无最小值；有最大值，无最小值；无最大值，也无最小值2函数fxax2|x|2a1，其中a0，aR.1假设a1，作函数fx的图象；2设fx在区间1,2上的最小值为ga，求ga的表达式答案与解析1.【答案】【解析】 画图得到Fx的图象：射线AC、抛物线及射线BD三段，联立方程组得，代入得Fx的最大值为，由图可得Fx无最小值