高数-第六章-图极坐标系ppt课件

1、极坐标一:平面上点的极坐标二：极坐标与直角坐标的互化三：曲线的极坐标方程四：几种常见曲线的极坐标方程平面直角坐标系中的点平面直角坐标系中的点P与坐标与坐标(a ,b)是是 _对应的对应的.P(a,b).xyOab 平面直角坐标系是最简单平面直角坐标系是最简单最常用的一种坐标系，但不是最常用的一种坐标系，但不是独一的一种坐标系独一的一种坐标系. 有时用别有时用别的坐标系比较方便的坐标系比较方便.我们先看下面的问我们先看下面的问题题. .还有什么坐标系呢？还有什么坐标系呢？一一一一5 海里海里1间隔：间隔：5 海里海里2方向：东偏北方向：东偏北20.Ox挽救船挽救船20发现走私发现走私!如何确定以

2、下两船如何确定以下两船的位置关系呢？的位置关系呢？间隔间隔40 km xO方向：方向：4这种用方向和间隔表示平面上一点的位置的思想，这种用方向和间隔表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的根本思想就是极坐标的根本思想. . 在以上问题中，位置确实定是用在以上问题中，位置确实定是用什么方法确定的？什么方法确定的？间隔与方向间隔与方向在生活中人们经常用方向和间隔来表示一点的位置：在生活中人们经常用方向和间隔来表示一点的位置：如台风预告、地震预告、丈量、航空、航海等如台风预告、地震预告、丈量、航空、航海等.(1)在平面内取一个定点在平面内取一个定点O，叫做极点；，叫做极点；O(2)引一条射线引一条射

3、线Ox，叫做极轴；，叫做极轴；x一、平面上点的极坐标一、平面上点的极坐标(3)选定选定1个长度单位、个长度单位、1个角度单位常取弧度；个角度单位常取弧度；(4)规定角度的正方向规定角度的正方向(通常取逆时针方向通常取逆时针方向). 这样建立的坐标系叫做极坐标系这样建立的坐标系叫做极坐标系. .xO.M(, 对于平面内恣意一点对于平面内恣意一点M M，用用 表示极点与点表示极点与点M M的间隔，叫做点的间隔，叫做点M M的极径的极径表示以表示以OxOx为始边为始边,OM,OM为终边的角，叫做点为终边的角，叫做点M M的极角的极角有序数对有序数对，就叫做就叫做M M的极坐标的极坐标. .例如：以上

4、实例中，走例如：以上实例中，走私船、敌机所在点的极私船、敌机所在点的极坐标分别是：坐标分别是：极坐标系内点的极坐标的规定极坐标系内点的极坐标的规定(1)(1)5 5，2020，(2)(40,)5 例例. 说出以下图中各点的极坐标说出以下图中各点的极坐标2OxABCDE.FG4653435解：解：A(4, 0)E(3.5, )(2,)4B(3,)2C5 (1,)6D4(6,)3F5(5,)3G探求探求 平面上一点的极坐标能否独一？平面上一点的极坐标能否独一？ 假设不独一，那有多少种表示方法？假设不独一，那有多少种表示方法？ 坐标不独一是由谁引起的？坐标不独一是由谁引起的？同一点不同的极坐标能否可

5、以写出一致表达式？同一点不同的极坐标能否可以写出一致表达式？极坐标系下的极坐标系下的点与它的极坐点与它的极坐标的对应情况标的对应情况极坐标系下的点与它的极坐标的对应情况极坐标系下的点与它的极坐标的对应情况(1)(1)给定给定, , ,在极坐标平面内确定可独一的一点在极坐标平面内确定可独一的一点 M M(2)(2)给定平面上一点给定平面上一点 M M ，但却有无数个极坐标与之对应，但却有无数个极坐标与之对应缘由在于：极角有无数个缘由在于：极角有无数个普通地普通地, ,假设假设(,)(,)是一点的极坐标是一点的极坐标, ,那么那么(,+2k)(,+2k)都可以作为它的极坐标都可以作为它的极坐标.

6、.假设限定假设限定 0, 02那么除极点外那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了平面内的点和极坐标就可以一一对应了.特别强调：特别强调：普通情况下假设不作特别阐明时，以为普通情况下假设不作特别阐明时，以为 0.或或 ,确定点的位置直角坐标系OPx，yxy极坐标系OxM),(两种坐标系各有什么优点它们所表示的点有什么关系？你能体会极坐标与直角坐标系在刻画点的位置时的区别吗？直角坐标系适用点的平移变动；极坐标系适用点的旋转变动。点的极坐标点的直角坐标二：极坐标与直角坐标的互化二：极坐标与直角坐标的互化1 极点与直角坐标系的原点重合;三个前提条件：2 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;3

7、 两种坐标系的单位长度一样. 平面内恣意一点P的直角坐标： 极坐标：xysincosyxxyyxtan222注：将点的直角坐标化为极坐标时，取20, 0),(yx),(互化公式OPxy例 把以下点的极坐标化为直角坐标：)32, 8() 1 (M)47, 6()2(N解：由互化公式得1, 432cos8x, 3432sin8y点M的直角坐标是)34 , 4(2,2347cos6x,2347sin6y点N的直角坐标是)23,23(sincosyx例： 把以下点的直角坐标化为极坐标：( 6, 2);P解：由互化公式得,22)2()6(223362tan?又点P在第一象限，得6因此点P的极坐标是)6,

8、22(xyyxtan222o x0o x0oxP(2， = 2 = oxP(，2/323三：曲线的极坐标方程三：曲线的极坐标方程 在极坐标系中，用在极坐标系中，用，=0表示曲线的方程表示曲线的方程 。一些。一些根本曲线的方程：根本曲线的方程： = 0 (0) = 0 (R) =r以极点为中心半径为r的圆ro =2acos 以以(a,0)为圆心半径为为圆心半径为a的圆的圆 =2acos( - )= -2acos =2acos( -3 /2)= -2asin =2asin xP(，)oc(a，-/2)c(a，/2)P(，)oxoxc(a，)P(，)P(，)oxc(a，0)以以(-a,0)为圆心半径

9、为为圆心半径为a的圆的圆以以(a, /2)为圆心半径为为圆心半径为a的圆的圆以以(a, - /2)为圆心半径为为圆心半径为a的圆的圆x P(，)oaxP(，)oaxP(，)oaxP(，)oa =asec =acsc =asec( -3 /2)=-acsc =asec( - )= -asec 心形线心形线2222yxaxayx或)cos1 ( ar 尖点: (0, 0) 面积:223a 弧长:a8 轨迹: 外摆线的一种 点击图中恣意点动画开场或暂停动圆直径 = 定圆直径 = a xyO四：几种常见曲线的极坐标方程四：几种常见曲线的极坐标方程axyO心形线的另一种方式心形线的另一种方式2222yxaxayx即)cos1 ( ar 尖点: (0, 0) 面积:223a 弧长:a8点击图中恣意点动画开场或暂停0a0a阿基米德螺线阿基米德螺线ar 物理意义: 动点 M 以常速 v 沿一射线运动, 该射线又 以定速 绕极点转动时, 点M 的轨迹即为阿基米德螺线 vr 对数螺线对数螺线arexO(等角螺线等角螺线)动画走向为0:点击图中恣意点动画开场或暂停双曲螺线双曲螺线ar 动画走向为0:点击图中恣意点动画开场或暂停伯努利双纽线伯努利双纽线2cos22ar)()(222222yxayx