高等数学5.1定积分概念和性质ppt课件

1、5.1 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 一、定积分的定义一、定积分的定义 引例：曲边梯形的面积引例：曲边梯形的面积把曲边梯形沿着y轴方向切割成许多窄窄的长条，把每个长条近似看作一个矩形，用长乘宽得小矩形的把每个长条近似看作一个矩形，用长乘宽得小矩形的面积，加起来就是曲边梯形面积的近似值，分割越细，面积，加起来就是曲边梯形面积的近似值，分割越细，误差越小，于是当一切的长条宽度趋于零时，这个阶误差越小，于是当一切的长条宽度趋于零时，这个阶梯形面积的极限就成为区边梯形面积的准确值了梯形面积的极限就成为区边梯形面积的准确值了.把上述思绪详细实施分为四步：把上述思绪详细实施分为四步：Oxyab1x

2、1ixix)(xfy , 1110bxxxxxxannii恣意引入分点恣意引入分点 )., 2 , 1( , , 1nixxnbaii个小区间成分将 . 1个小区间的长度表示第用ixxxiii称为区间的一个分法称为区间的一个分法 T1ixixi ,1则iiixx在每个小区间,1iixx上任取一点i，竖起高线)(if，则得小长条面积iA的近似值为 . iiixfA )(: 小小曲曲边边梯梯形形面面积积Oxyab1x1ixix)(xfy . niiiniixfSA11)(: 曲曲边边梯梯形形面面积积 极限过程是什么？如何求精确值？把n个小矩形面积相加(即阶梯形面积)就得到曲边梯形面积A的近似值Ox

3、yab1x1ixix)(xfy , max | 1则则令令inixx . A niiixf10)(lim: 即即max1inix趋向于零，这时和式niiixf1)(的极限就是曲边梯形面积A的精确值2. 变速直线运动的路程变速直线运动的路程设某物体作直线运动设某物体作直线运动, ,)(21TTCtvv且且,0)(tv求在运动时间内物体所经过的路程求在运动时间内物体所经过的路程 s.处理步骤处理步骤:1) 大化小大化小., ,1iiitt任取将它分成将它分成, ),2, 1(,1nittii在每个小段上物体经在每个小段上物体经2) 常代变常代变.,)(代替变速以iv得得iiitvs)(,1,21个

4、分点中任意插入在nTT),2, 1(nisi), 2, 1(ni知速度知速度n 个小段个小段过的路程为过的路程为3) 近似和近似和.iniitvs1)(4) 取极限取极限 .iniitvs10)(lim)max(1init上述两个问题的共性上述两个问题的共性: 处理问题的方法步骤一样处理问题的方法步骤一样 :“大化小大化小 , 常代变常代变 , 近似和近似和 , 取极限取极限 所求量极限构造式一样所求量极限构造式一样: 特殊乘积和式的极限特殊乘积和式的极限定义定义5.1： ,)(上有定义上有定义在在设函数设函数baxf , 1110bxxxxxxannii恣意引入分点恣意引入分点 )., 2

5、, 1( , , 1nixxnbaii个小区间成分将区间 . 1个小区间的长度个小区间的长度表示第表示第用用ixxxiii 再在每个小区间,1iixx上任取一点i)(1iiixx，作乘积iixf)(的和式niiixf1)(，记max1inix.如果不论如何分割区间,ba，也不论点i如何取法，当0时niiixf1)(的极限均存在即这个极限值与,ba的分割及点i的取法均无关则称函数)(xf在区间,ba上可积，将此极限值称为函数)(xf在区间,ba上的定积分记作badxxf)(，即niiibaxfdxxf10)(lim)(，定积分符号：定积分符号： . )(limd)(10|niiixbaxfxxf

6、 定积分号；ba 积分下限；a 积分上限；b d)(被积表达式；xxf )(被积函数；xf d积分变量；中的xx . ,积分区间ba ) ( 积分变量的取值范围关于定积分定义的阐明：关于定积分定义的阐明：(1)定积分badxxf)(是一个数值，它是由被积函数)(xf与积分区间,ba所确定，而与积分变量运用的字母无关而与积分变量运用的字母无关.例如102102dttdxx，一般地，babadttfdxxf)()(.(2)定义中要求积分限ba ，我们补充如下规定：当ba 时，0)(badxxf当ba 时，abbadxxfdxxf)()(3)定积分的存在性：当)(xf在,ba上连续或只有有限个第一类

7、间断点时，)(xf在,ba上的定积分存在(也称为可积).初等函数在定义域内都是可积的.二、定积分的几何意义二、定积分的几何意义在曲边梯形面积问题中，我们看到假设在曲边梯形面积问题中，我们看到假设f (xf (x00图形在x轴之上，积分值为正，有Adxxfba)(，如果0)(xf，那么图形位于x轴下方，积分值为负，即Adxxfba)(.如果)(xf在,ba上有正有负时，则积分值就等于曲线)(xfy 在x轴上方部分与下方部分面积的代数和.abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba各部分面积的代数和各部分面积的代数和例 1：用定积分的几何意义求定积分2024dxx.解：由于被积

8、函数042 x，2 , 0 x，那么由定积分几何意义知，那么由定积分几何意义知，定积分2024dxx等于由直线0 x，2x，曲线24xy和x轴围成的曲边梯形(即半径等于 2 的四分之一圆)的面积，所以22022414dxx.三、定积分的性质三、定积分的性质以下性质都是要求被积函数在相应的积分区间上是可积的以下性质都是要求被积函数在相应的积分区间上是可积的. .性质 1：函数的代数和可逐项积分，即bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(.可推行到有限个可积函数的和差上可推行到有限个可积函数的和差上性质 2：被积函数的常数因子可提到积分号外面，即babadxxfkdxxkf)()(

9、.性质 3(积分区间的可加性)：不论cba,的大小关系如何，总有下式成立：bccabadxxfdxxfdxxf)()()(.性质 4(积分的比较性质)：在,ba上若)()(xgxf，则babadxxgdxxf)()(例 2：比较下列各对定积分值的大小.(1)10 xdx与102dxx；(2)21dxex与21ln xdx.解：(1)当 1 , 0 x时，有2xx ，所以由性质 4 得10210dxxxdx.(2)当2 , 1 x时，1 eex，1ln0 x，故xexln，所以由性质 4 得2121ln xdxdxex. , )( ),()( baxMxfmbaRxf由于baxxfd)(所以ab

10、xba dbaxmabmd)( . )(dabMxMba , , )( , 则则最最小小值值上上的的最最大大在在分分别别为为设设baxfmM )( 5 估估值值定定理理性性质质 . )(d)()(abMxxfabmba . 22dsin 21 24xxx证明： ,tan , 2,4 sin)( 则由令xxxxxxf0cos)tan(sincos)(22xxxxxxxxxf , 2)2( ,22)4( , 2,4)( fmfMxf且故得运用估值定理由 , ,)2,4()( , 0)( Cxfxf . 22)42(22dsin )42(221 24xxx例例3 38. 积分中值定理积分中值定理, ,)(baCxf若那么至少存在一那么至少存在一