两向量的数量积

1、第四节第四节 数量积数量积 向量积向量积例如: 设力F作用于某物体上, 物体有一段位移S , 求功的表示式.解: 由物理知, 与位移平行的分力作功, 与位移垂直的分力不作功. 于是且;,20作正功时当;,2作负功时当.,2不作功时当W=|F |cos |S | = |F | |S | cossF1. 定义: 设有两个向量 a、b, 它们的夹角为,将数值|a|b|cos 称为a与b的数量积, 记作 a b.即: a b = |a| |b| cos注1: 当 a 0时, | b | cos = Prjab当 b 0时, | a |cos = Prjba于是 a b = |a| Prjab = |b

2、| Prjba注2: a a = | a |2例如: i i = j j = k k = 12. 数量积的性质(1) 交换律 a b = b a (2) 分配律 (a + b) c = a c + b c(3) 数量积满足如下结合律: ( a) b = a ( b) = (a b) 为实数(4) 两个非零向量a , b 垂直 a b = 0证: 必要性: 设a b, .2则02cos|baba充分性: 设a b = | a | |b |cos =0; 由a 0, b 0,得: cos =0 ,2即 a b例如: i、j、k 互相垂直, 所以i j = j k = i k = 0例1: 如图,

3、利用数量积证明三角形的余弦定理| c |2 = | a |2 + | b |2 2 | a | | b |cos证: 由于c = a b , 于是| c |2 = | a b |2 = (a b) (a b)= a a + b b 2 a b= | a |2 + | b |2 2 | a | | b |cos| c |2 = | a |2 + | b |2 2 | a | | b |cos故:abc3. 数量积的坐标表示式设 a =ax, ay , az, b = bx , by , bz, 则a b = (ax i + ay j + az k ) (bx i + by j + bz k )=

4、 ax i (bx i + by j + bz k ) + ay j (bx i + by j + bz k ) + az k (bx i + by j + bz k )= ax bx i i + ax by i j + ax bz i k + ay bx j i + ay by j j + ay bz j k + az bx k i + az by k j + azbz k k = ax bx + ay by + az bz得公式:a b = ax bx + ay by + az bz(1)推论:两个非零向量a =ax, ay , az, b = bx , by , bz垂直 ax bx +

5、 ay by + az bz = 04. 数量积在几何中的应用设 a =ax, ay , az, b = bx , by , bz, (1) 求 a 在 b 上的投影.已知: Prjba = | a | )cos(ba,由 |a | |b | = a b , 得)cos(ba,222jPrzyxzzyyxxbbbbababa|b|baab(2)(2) 求两向量 a, b 的夹角由 | a | | b |cos = a b, 知 |babacos(3)222222zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa例2. 已知三点 M (1, 1, 1), A(2, 2, 1)和B(2, 1, 2)

6、, 求AMB.解: AMB即为向量MA与MB的夹角. 由MA=1, 1, 0 MB = 1, 0, 1得:cosAMB=|MBMAMBMA21101011100111222222所以3AMB由力学规定: 力F 对支点O的力矩是一个向量M .例如: 设O为一根杠杆L的支点, 有一个力F 作用于这杠杆上P点处, F与OP的夹角为 , 考虑F 对支点O的力矩.其中: FOQPL(1) |M| = |OQ| |F | = |OP| sin |F | = |OP| |F | sin(2) M的方向: 垂直于OP与F 所在的平面, 指向满足右手规则. 即:右手四指从OP以不超过的角转向F 握拳, 大拇指的

7、指向就是M 的方向.1. 定义: 设有两个向量 a、b, 夹角为, 作一个向量c, 使得abc = ab(1) | c | = | a | | b | sin(2) c 与a、b所在的平面垂直, (即 c a且c b). c 的指向按右手规则从 a 转向 b 来确定.则将向量c 称为 a 与 b 的向量积, 记作: a b.即: c = a b注: 向量积的模的几何意义. 以a、b为邻边的平行四边形, 其面积等于| a | | b |sin, 所以a b的模, 等于以a、b为邻边的平行四边形的面积.2. 向量积的性质(1) a a = 0 (2) a b = b a (3) 分配律 a (b

8、+ c) = a b + a c (4) 向量积与数乘满足结合律: (b + c) a = b a + c a ( a) b = a ( b) c = (a b) 为实数(5) 两个非零向量a 、b平行 a b = 0 证: 必要性: 设a 、b平行, 则 = 0或 = . 于是| a b | = | a | | b |sin = 0所以 a b = 0 充分性: 设 a b = 0 则 | a b | = | a | | b |sin = 0由 | a | 0, | b | 0, 得 = 0或 = . 所以 a 与 b 平行例如: i i = j j = k k = 0 i j = k j

9、k = i k i = j j i = k k j = i i k = jkji设 a =ax, ay , az, b = bx , by , bz, 则a b = (ax i + ay j + az k ) (bx i + by j + bz k )= ax i (bx i + by j + bz k ) + ay j (bx i + by j + bz k ) + az k (bx i + by j + bz k )= ax bx (i i) + ax by ( i j ) + ax bz( i k ) + ay bx (j i) + ay by ( j j ) + ay bz (j k

10、) + az bx (k i) + az by ( k j ) + azbz( k k )= ax by k + ax bz( j) + ay bx(k) + ay bz i + az bx j + az by( i)= ( ay bz az by) i+( az bx ax bz) j+ ( ax by ay bx) k得公式:a b =( aybz azby) i+( azbx axbz) j+ ( axby ay bx) kzyxzyxbbbaaakji例3: 求垂直于向量 a = 2, 2, 1和b = 4, 5, 3的向量c.解: a b 同时垂直于a、b354122kjiba而=

11、6i + 4j + 10k 8k 6j 5i= i 2j + 2k取 c = a b = 1, 2 , 2.显然, 对于任意 0R, c = ,2, 2 也与a、b垂直.例4: 已知ABC的顶点分别是A(1, 2, 3), B(3, 4, 5), C(2, 4, 7), 求ABC的面积.xyzABCo解: 由向量积的定义.|21ACABSABC而AB = 2, 2, 2AC = 1, 2, 4所以421222kjiACAB= 4i 6j + 2k于是|21ACABSABC142)6(421222第五节第五节 曲面及其方程曲面及其方程1. 定义: 若曲面S与三元方程F (x, y, z) =0有

12、如下关系:(1) S上任一点的坐标满足方程F (x, y, z) =0;(2) 不在S上点的坐标都不满足方程F (x, y, z) =0;那末, 方程F (x, y, z) =0叫做曲面S的方程, 而曲面S叫做方程F (x, y, z) =0的图形.F (x, y, z) = 0 Sxyzo M01. 球面考虑球心为M0(x0, y0, z0), 半径为R的球面. 即: (x x0)2 + (y y0)2 + (z z0)2 = R2 (1)称方程(1)为球面的标准方程. M R特别: 当球心在原点O(0, 0, 0)时, 球面方程: x2 + y2 + z2 = R2 对于球面上任一点M(x

13、, y, z), 都有|M M0|2 =R2.解: 原方程可改写为(x 1)2 + (y + 2)2 + z2 = 5故: 原方程表示球心在M0(1, 2, 0), 半径为 的球面.5例1: 方程 x2 + y2 + z2 2x + 4y = 0表示怎样的曲面?xyzo2. 柱面:例如: 考虑方程x2 + y2 = R2所表示的曲面.在xoy面上, x2 + y2 = R2 表示以原点O为圆心, 半径为R的圆.xoy面上的圆 x2 + y2 = R2 叫做柱面的准线.平行于 z 轴的直线 L 叫做柱面的母线.曲面可以看作是由平行于 z 轴的直线L沿xoy面上的圆x2 + y2 = R2 移动而

14、形成, 称该曲面为圆柱面.olM(x, y, 0)(1) 定义: 平行于定直线并沿定曲线C移动直线 L 形成的轨迹叫做柱面.定曲线C叫做柱面的准线.动直线 L 叫做柱面的母线.例2: 方程 y2 =2x 表示.母线平行于 z 轴的柱面, 它的准线是xoy面上的抛物线y2 =2x,该柱面叫做抛物柱面.oxzyy2 =2x例例2: 方程 xy = 0表示.母线平行于 z 轴的柱面, 它的准线是xoy面上的直线xy = 0, 所以它是过z轴的平面.xy = 0zxyo(2) 母线平行于坐标轴的柱面方程.1 方程F (x, y) =0 表示: 母线平行于 z 轴的柱面, 准线为xoy面上的曲线 C: F (x, y) = 0 .2 方程F (x, z) =0 表示: 母线平行于 y 轴的柱面, 准线为xoz面上的曲线 C: F (x, z) = 0 .3 方程F (y, z) =0 表示: 母线平行于 x 轴的柱面, 准线为yoz面上的曲线 C: F (y, z) = 0 .3. 旋转曲面(1) 定义: 以一条平面曲线C绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面, 这条定直线叫旋转曲面的轴.yxzooC例如: 已知yoz面上一条曲线C, 方程为f (y, z) = 0, 曲线C绕 z 轴旋转一周就得一个旋转曲面.设M0(0, y0, z0)是C上任意一点, 则有F( y0,