大学物理质点运动学的教案

1、第1讲：质点运动学一一基本概念（20分钟）（05分钟）（20分钟）（55分钟）内容：绪论、§ 1-11 .绪论2 .力学的研究对象及其分类3 .参照系，坐标系和质点4 .描述质点运动的四个物理量要求：1 . 了解物理学的研究对象及其分类；2 . 了解力学的研究对象及其分类；3 .理解参照系、坐标系和质点的概念;4 .掌握描述质点运动的四个物理量；重点与难点：1 .描述质点运动的四个物理量；2 .微积分（Calculus）的应用。作业：问题：P24: 1, 2, 3, 5习题：P25: 1, 3, 8预习：§ 1-2 , § 1-3 , § 1-4绪论一、

2、物理学及其研究对象：1 .什么是物理学？自然界是由物质组成的，一切物质都在不停地运动着。在自然界中，既没 有不运动的物质，也没有脱离物质的运动。自然界有许多运动形式，如机械运 动、电磁运动、分子热运动、原子和原子核运动、化学运动和生物运动等等。 所有这些运动既相互联系，又相互区别(在本质上)。物理学就是研究物质运动 中最普遍、最基本的运动形式的一门学科。物理学是研究物质的运动形态与相互作用的基本规律的科学。物理学的研 究目的在于认识物质运动的普遍规律。物理学是研究自然界基本规律的科学，它的英文单词“Physics ”来源于希腊文，原义是自然。中文的含义是“物”(物质的结构、性质)和“理” (物

3、质的运动、变化规律)，与现代观点相吻合。2 .物理学的研究对象：机械运动力学(Classical Mechanics)分子热运动热学(Thermodymics)电磁运动电磁学、光学(Electromagnetics、Optics)原子和原子核运动一一原子物理学、原子核物理学(Atomics Physics)基本粒子运动：基本粒子物理学(Fundamental Particle物理理论的三部分内容：概念：通常是抽象的、不能 直接感知；假设：关于这些概念(物理 量)的数学表示；关系：一个或一组方程，用 于表示物理量之间的关系。Physics)3 .物理学的分类：物理学理论分为五大块：经典力学(Cl

4、assical Mechanics 热力学(Thermodynamics) 电磁学(Electromagnetics ) 相对论(Relativity ) 量子力学(Quantum Mechanics ) 按照研究的方法，可分为：理论物理，实验物理和计算物理。4 .大学物理学课程的任务和目的在大学物理中，物理学的研究内容包括：力学、热学、电磁学、振动与波、 光学、相对论与近代物理学等。1)学习物理学的基本原理、基本思想和基本方法；2)学习力学、热学、电磁学、光学和近代物理等基本知识；3) 了解物理学的最新进展及其在自然科学中的地位和作用；4) 了解物理学知识的广泛应用。5) 学习物理学的困难1

5、)物理学内容广泛：涵盖力学、热学、光学、电磁学等领域；2)时空跨度大：从经典到近代，从宏观到微观和宇观；3)方法变化大：从中学的常量问题到应用矢量和微积分处理复杂的变量问题。二、学习物理学的意义：进入科学技术的任何一个领域，都必须敲开物理学的大门。1 .物理学是一门科学(素质课)。物理学本身是一门严谨的学科体系，它有系三个提高科学实验的能力抽象思维的能力 计算能力统的理论和方法，学习物理学可以培养我们自身的理论修养、逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力，学会科学的思想方法和研究问题的方法。2 .物理学是基础课。物理学的知识在我们日常生活中随处可见，物理学也是后继专业课程的基础课。3 .物理学是

6、必修课。物理学也是工科专业的一门必修课。上大学的好处：大学的课程设置一培养人才大学的资源设施大学的影响即：1.学习物理学有好处；2 .需要学习物理学；3 .必须学习物理学。*大学物理课程的地位、性质和目的大学物理是一门必修公共基础课；通过本课程的学习：(1)使学生较全面系统地获得自然界各种基本运动形式及其规律的知识；(2)培养学生的科学思想和研究方法，使学生在科学实验、 逻辑思维和解决问题的能力等方面都得到基本而系统的训练。大学物理教学的目的就是让学生打下坚实的物理基础，提高学生的科学素 养，开阔思路及激发其探索和创新精神，增强学生自我更新知识的能力，以适 应飞速发展的科技时代的种种要求。在课

7、程的教学过程中，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能 力、逻辑推理能力和自学能力，并特别注意培养学生具有灵活运用所学知识去 综合分析问题和解决问题的能力。*课程的学习方法(1)态度上重视，认真听课，不懂就问；(2)做好预习、听课、复习几个环节；(3)完成足够的思考题和习题；三、几点要求：1 .课前尽量预习；2 .上课认真听讲，要求记笔记，不懂的内容要及时问；3 .课后认真复习，作业要独立完成，按时交作业；4 . 一些基本的概念要求记住，重要的公式要求会推导。关于记笔记：最简单的就是把主要的内容抄下来。1)书上的东西不是自己的，只有自己写的东西才有可能是自己的；2)有助于培养自己的思考能

8、力，避免外界干扰；3)复习有依据。要求记笔记，并用一本质量较好的笔记本记笔记。关于做习题：美国物理学家费曼：习题能够充实课堂讲授。使讲过的概念更加实际和更加完整和更加易于记忆。作业要求：完成一定数量的作业习题是为了熟练掌握、灵活运用基本物理概念和原理，提高分析解决问题的能力。长期坚持认真地做好每一道习题还有助于培养严谨 的科学作风，提高清晰的论证和表述能力。为了同学们高标准地完成物理作业，提出如下基本要求：1 .按时交作业；2 .要写“已知”、“求”、“解”或抄题或题号；3 .使用定理、定律要注明对象与条件；4 .要有必要的图示；5 .先给出文字解，再代入数据，给出数值解(保留三位有效数字)；

9、6 .字迹工整、清晰，不要乱涂、乱改、乱画，保持作业本干净。(1)认真复习；(2)弄清题意；(3)画示意图；(4)明确根据；(5)先求文字解；(6)对结果进行必要的讨论。赵凯华：怎样学习物理学？1)勤于思考：用自己的语言陈述物理学的概念、定义、公式中的符号和本身的物理意义，自己推公式，掌握它们成立的条件，关键步骤和推导的技巧；2)悟物穷理：多提问题，建立自己的物理图象。在大学物理的学习中，除了学习物理学事实、定律、方程和解题技巧外， 还必须努力从整体上掌握物理学，要了解各个分支间的联系。在学习中，对于 基本物理定律的优美、简洁、和谐以及辉煌应有所体会，要学习鉴赏物理学的 普适程度，了解其适用范

10、围；还要学习区别理论和应用，物理思想和普适程度，一般规律和特殊事实，主要效应与次要效应，传统推理与现代推理等。四、计划：大学物理包括理论课和实验课，教学大纲规定理论课128学时，实验课56学时。实验课由实验室负责。本学期理论课：64学时，讲力学、热力学、电学内容，其中力学：32 学时，包括习题课：4学时热力学：14学时，包括习题课：2学时电学：16 学时，包括习题课：2学时机动： 2 学时课程学习方法：讲课习题讨论课作业自学、写小论文答疑期中测验、期末考试五、成绩计算：考试成绩：70%-闭卷考试平时成绩：10 %作业、课堂表现小论文：20 要求有自己的观点平时成绩主要以平时作业完成情况、课堂纪

11、律和回答问题情况以及中期考查情况综合定量评定。具体是：(1)采用固定座位，分班对号就座；课堂违纪一次扣1分；迟到、早退1次扣分；旷课1节扣1分；(2)缺交一次作业扣 1分；迟交作业一次扣分；欠作作业1题扣分；(3) 10分扣完为止。六、教材与参考书教材：物理学（第四版）（上、中、下）、马文蔚，高等教育出版社参考书：1 .物理学学习指南、马文蔚，高等教育出版社2 .大学物理学（力学、热学、电磁学）、张三慧主编，清华大学出版社3 .基础物理学、陆果，高等教育出版社4 .大学物理学、卢德馨，高等教育出版社5 .大学物理习题讨论课指导，沈慧君，王虎株，清华大学出版社6 .漆安慎力学基础7 .）赵凯华电

12、磁学、学习指南8 .南开大学大学普通物理网上教学系统，9 .同济大学工科大学物理学习辅导系统，10 .装备指挥设备技术学院大学物理网络教学系统，第一部分力学一、什么是力学（Mechanics ） ?物理学研究自然界中最基本的现象和规律，一切物理现象都是物质运动的表现。在物质的各种运动形式中，最简单、最基本的一种运动是物体之间或物体各部分之间相对位置的变化，称为机械运动（ Mechanical Motion ）。机械运动 是一切物理运动中最简单的运动；机械运动的例子很多，如车辆的行驶、机器 的转动、星体的运动等。质点的曲线运动是机械运动中最基本的形式。力学就是研究机械运动及其规律的科学。力学是其

13、他学科的基础。二、力学的分类：根据研究内容的不同，力学分为静力学、运动学和动力学三部分。运动学（Kinematics -研究物体运动的规律；动力学（Dynamics）研究物体运动的原因；静力学（Statics ）研究物体平衡时的规律。运动学研究的是如何描述物体的运动，以及各运动学量之间的关系，它不涉及引起和改变运动的原因；动力学研究的是物体运动与物体间相互作用的内在联系；静力学研究的是物体在相互作用下的平衡问题。根据研究对象的不同，力学又可分为质点力学和刚体力学。质点力学一一研究对象为质点：1, 2, 3章刚体力学一一研究对象为刚体：4章三、数学工具一一微积分和矢量牛顿和莱布尼兹在研究经典力学

14、的过程中，同时创立了微积分（Calculus ）,可见在处理力学问题中微积分的重要性。此外，矢量（ Vector ）在力学中也是 一个重要的数学工具。四、本部分内容：第一章质点运动学第二章牛顿定律第三章动量守恒定律和能量守恒定律第四章刚体的转动第五章万有引力场第十八章相对论第五章不讲。第一章质点运动学运动学是研究物体位置随时间变化规律的力学内容。本章主要内容有：1 .三个概念：参考系、坐标系、质点2 .四个物理量：位置矢量、位移、速度、加速度3 .四种运动：直线运动、曲线运动、斜抛运动、圆周运动本章的内容绝对不是高中物理内容的简单重复，它包含许多新的物理思想 和数学方法，一定要重视。包才4节：

15、§11质点运动的描述§12加速度为恒量时的运动方程§ 1 3圆周运动§ 1-4相对运动§ 1-1质点运动的描述一、参考系 坐标系质点1 .参考系1)运动的绝对性与相对性 (Relativity)(1)运动的绝对性：在自然界中所有的物体都在不停地运动，绝对不动的物体是没有的。例如：放在桌子上的书相对于桌子是静止的，但它却随地球一起绕太阳运动，这就是运动的绝对性。(2)运动的相对性：描述物体的运动或静止总是相对于某个选定的物体而言的， 即在观察一个物体的运动，总是选取其他的物体作为标准。选取的参考物不同，对物体运动的描述也是不一样的，这就是运动的相

16、对性。汽车的运动：车上的人和地面上的人2)参考系(Reference system )的定义：为描述物体的运动而选择的标准物(或物体组)称为参考系。3)说明：(1)参考系的选择是任意的，主要根据问题的性质和研究方便而定。物体相对于地球的运动一一以地球为参考系物体相对于太阳的运动一一以太阳为参考系(2)在描述物体的运动时，必须指明参考系。 参考系不同，对同一物体运动的描述是不同的。例如，匀速运动的火车上落下一物体以火车作为参考系：自由落体运动，直线以地面作为参考系：平抛运动，抛物线/ 月亮以太阳为参照系(3)若不指明参考系，则认为以地面为参考系。以地球为参照系2 .坐标系1)引入坐标系的必要性：

17、为了定量确定物体相对于参考系的位 置，需要在参考系上选定一个固定的坐标系。坐标系的原点一般选在参考系上，并取通过原点标有单位长度的有向直线 作为坐标轴。2)物理学中常用的坐标系一一直角坐标系(Rectangular Coordination )x方向单位矢量：iy方向单位矢量：jz方向单位矢量：k如 A (1,2,4 ) , i +2j +4 k规定选用右手系。坐标系的选择是任意的， 主要由研究问题的方便而定。 坐标系的选择不同, 描述物体运动的方程是不同的，但对物体运动的规律是没有影响。3)说明：(1)坐标系是由参考系抽象而成的数学框架；(2)常用的坐标系是直角坐标系，还有其它坐标系，如极坐

18、标系(Polar Coordination )、柱坐标系(Cylindrical Coordination )、球坐标系(Spherical Coordination ) 和自然坐标系J , *了(Natural Coordination ) 等；'(3)物体的运动不能脱离空间，也不能脱离时间；/因此要定量描述物体的运动，还要建立适当的时间11坐标轴。时间轴上的点表示时刻，它与物体的某一位置相对应；两个时刻之间 的间隔表示时间，它与物体位置的某一变化过程相对应。* 笛卡儿(Rene Descartes , 1596 1650)法国哲学家、物理学家、数学家、生理学家。解析几何的创始人。笛

19、卡儿对物理的发展曾做出很大贡献：否认真空的存在，论述了动量守恒 问题，提出宇宙永远保持着同量的运动，还推导出了抛体的轨迹，发现了光的 折射的基本定律。在光学理论上坚持光的微粒说和光是一种压力的观点。笛卡儿最杰出的成就是在数学上创立了解析几何学。1637年，在创立了坐标系后，成功地创立了解析几何学。他的这一成就为微积分的创立奠定了基础。笛卡儿的成就还有许多，如发展了质量和时间是和空间的三个量纲一样重 要的基本量纲的见解；第一个提出了近代惯性原理；在数学上最早论述了椭圆 曲线画法；在生理学上首先提出了神经传导和反射机能的理论等。恩格斯曾评 价他说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数；有了变数，运动进入

20、了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了”。3 .质点(Particle , Mass Point )1)质点的引入任何物体都有大小和形状。一般说来，物体在运动时它各部分的位置变化 是不同的，物体的运动情况是非常复杂的。例如，平直公路上行驶的汽车，车身：平动车轮：平动，转动2质点的概念一一把物体看成一个只有一定质量的几何点质点是一个理想化的力学模型，当物体的大小和形状忽略不计时，可以把 物体当做只有质量没有形状和大小的点，这就是质点。3)说明：(1)质点的概念是在考虑主要因素而忽略次要因素引入的一个理想化的力学模型。突出重要因素，选取适当的模型代替实际物体，

21、这不仅对于学习物理学， 而且对于学习其它一切科学技术，都是一种极为重要的方法；(2) 一个物体能否当做质点，并不取决于它的实际大小，而是取决于研究问题的性质。例如：地球绕太阳公转：地球可当做质点地球自转：地球不可当做质点附：地球公转轨道平均半径：108 km地球半径：6370 km两者之比：x 104(3)当一个物体不能当作质点时，可以把整个物体看作是由许多质点组成的质 点系(System of Particle )。分析这些质点的运动，就可以弄清楚整个物体的 运动。因此研究质点的运动是研究实际物体复杂运动的基础。4 .时间和时刻一个过程对应的时间间隔称时间，某一瞬时称时刻。二、位置矢量、运动

22、方程、位移1 .位置矢量(Position Vector )1)位置矢量的基本概念：要描述一个质点的运动，首要问题是如何确定质点相对于参考系的位置。可以在参考系上取一点O称之为原点，从原点r = xi + yj zk大小:方向:2)说明：位置矢量是矢量：有大小和方向;位置矢量具有瞬时性：运动质点在不同时刻的位置矢量是不同的;位置矢量具有相对性： 位置矢量的大 小和方向，与参考系以及坐标系的原 点的选择有关。在不同的参考系中， 同一质点的位置矢量是不同的。单位：米(m)3)质点的运动方程和轨迹质点运动时，它相对坐标原点 。的位 置矢量r是随时间变化的。因此，r是时 间的函数，即r = r (t)

23、矢量式x x(t)或y y(t) 标量式z z(t轨迹是直线：直线运动轨迹是曲线：曲线运动这就是质点运动方程，它包含了质点运动的全部信息。运动学的重要任务之一，就是找出各种具体运动所遵循的运动方程，或者 说知道运动方程，也就可以解决质点的运动问题。质点运动时，在坐标系中描绘的线称为质点运动的轨迹。即在运动方程的 分量式中，消去时间t得f(x, y, z)=0。O到质点所在的位置 P的有向线段能唯一地确定质点相当于参 考系的位置。因而定义从原点。到质点所在的位置 P点的有向 线段r,叫做位置矢量或位矢。它是矢量，有大小和方向。例1 .自由落体运动的运动方程为例2.平抛运动的运动方程1 .22 g

24、tvot1 .22 gt从上运动方程中消去t轨迹方程2v22 .位移（Displacement ）1位移的概念一一描述质点位移变化的物理量：质点运动，从始点 A到终点Bo它相对于原点的位置矢量由rA变化到rb,我们把由始点A到终点B的有向线段 AB定义为质点的位移矢量，简称位移， 用A r表不。2）位移的计算由矢量计算可知a+A r=rBA r =r b -aJUX-Si O大小: 或即位移A r等于终点B与始点A的位置矢 | A r |=|AB| 方向：A一BrA= xAi + Na j ZAk ,B=XBi +yBj ZBkZAk)大小:cos方向:coscos(Xb XA)i (Nb y

25、A)j (ZbZA)k2XB (XB2Na2ZbZa(y(ZB a (XBi+yBj ZBk) (XAi+yAj3）位移与路程的区别：位移是矢量：是指位置矢量的变化;路程是标量：是指运动轨迹的长度。4）路程AS与位移大小的区别而位移大小是质点实际移动的直线距离,路程是At内走过的轨道的长度，AS表示。即使在直线运动中,位移和位矢均为矢量，但路程为标量，路程用 位移和路程也是截然不同的两个概念。*当 At一o 时， r S。5）说明：位移是矢量：有大小和方向；位移具有瞬时性：运动质点在不同时刻的位移是不同的；位移具有相对性：在不同的参考系中，同一质点的位移是相同的。单位：米（nj）小结：位移是位

26、置矢量的增量，是与运动过程有关的物理量，它是时间间隔的 函数，与位置矢量不同的是，一旦参考系确定，位移和坐标系原点的选择无关。*关于“米”的定义：19世纪：通过巴黎的地球子午线长度的四千万分之一定义为一米；1889 年：国际计量大会（ General Conference on Weight and Measures ） 上，通过用钳钺合金米尺上两刻度线的距离为一米。（国际米原器：精度为百万分之一。）1960年：国际计量大会规定，米等于氟一86原子的2p10和5d5能级间跃迁辐射的真空波长的1,650，倍的长度。1983年：国际计量大会规定，1米是光在真空中， 在1/299,792,458S

27、的时 间间隔内运行路程的长度。三、速度（Velocity 描述质点位置随时间变化的快慢和方向的物理量 1.平均速度：t1时刻，质点的位置矢量r1（t1）t2时刻，质点的位置矢量r2（t2）位移r2代2）Ml）所用时间A t= t 2- t 1定义A t时间内的平均速度为一 r r2 1 v -tt2 t1平均速度是矢量，大小为 | A r |/ At ,表 示质点在确定时间间隔内运动的快慢程度，方向就是质点在这段时间内位移的方向。说明：平均速度与质点的位移和所用的时 间有关。因而在叙述平均速度时，必须指明是 哪一段时间内或哪一段位移内的平均速度。2 .瞬时速度一一精确地描述质点在某一时刻或某一

28、位置运动快慢和运动方向 定义：平均速度的极限值称为瞬时速度，简称速度，用 v表示。rv lim tot 即位置矢量（或位移）drdt对时间的一阶导数。vyVzdx dt dy dt dzdt速度是矢量，大小简称速率（speed）,方向为沿轨道上质点所在位置的切 线并且指向前进的一方。3 .标量式dr dx. dy-dZ1v i + j +kdt dt dt dt标量式:vxi + vy j + vzk4 .关于速度的说明：1)速度是矢量，即有大小又有方向，二者只要有一个变化，速度就变化v=const匀速运动v丰const变速运动2)速度具有瞬时性：运动质点在不同时刻的速度是不同的；3)速度具有

29、相对性：在不同的参考系中，同一质点的速度是不同的。4)速度的单位：m - s-1*常用的初等函数导数公式：(C)0(x)1n xn 1 nxsin xcosxcosxsin xtgx2sec xxexeln x1/xarcsinx 1/ 1 x2arctgx 1 /1 x2*时间的单位：秒(s)1hour=60min 1min=60sec*关于“秒”的定义1 .地球自转一周所需时间的1/86400 ;2 . 1967年，1秒是葩-133原子基态的两个超精细能级之间跃迁所对应辐射的70个周期的持续时间。四、加速度(Acceleration -描述质点速度变化快慢的物理量加速度的概念最先是由Gal

30、ileo提出的。*伽利略(Galileo Galilei, 15641642)杰出的意大利物理学家和天文学家，实验物理学的先驱者。提出著名的相对性原理、惯性原理、抛体的运动定律、摆振动的等时性等。 伽利略捍卫哥白尼日心说。关于两门新科学的对话和数学证明对话集 书，总结了他的科学思想以及在物理学和天文学方面的研究成果。伽利略所取得的巨大成就，开创了近代物理学的新纪元。历史证明了伽利略在科学事业上的成功。1979年11月10日罗马教皇正式承认，对伽利略的审判是不公正的。1.平均加速度：t1时刻，P1点，质点的速度 v1 (t1)v V2(t2) V1U与所用时间Aa表不t2时刻，P2点，质点的速度

31、 V2(t2)定义A t = t 2- t 1时间内的速度的增量表木质点在t= t 2- t 1的比值叫做质点的平均加速度，用- v v2 vla - t t2 t1平均加速度是矢量， 大小为|Av|/ At, 确定时间间隔内速度改变的快慢程度，方向就是质点在这段时间内速度增量的方向。说明：在叙述平均加速度时，必须指明是哪一段时间内或哪一段位移。2 .瞬时加速度一一精确地描述质点在某一时刻或某一位置运动变化的快慢a表不'。limt 0tdv d2r瓦 dt7定义：平均加速度的极限值称为瞬时加速度，简称加速度，用即加速度为速度对时间的一阶导数或位置矢量（或位移）对时间的二阶导数。方向：速

32、度增量的极限方向，在曲线运动中，总是指向曲线的凹侧。.d2z j+/k3 .标量式 222d rd xd ya-i +rdt2dt2dt2 axi + ay j + azk标量式:axayazdvx 正 dVydtdVzdt4.关于加速度的说明:d2x 正 d2y dt2 d2z dt1）加速度是矢量，即有大小又有方向，二者只要有一个变化，加速度就变化 a=const 匀变速运动a丰const 非匀变速运动对于直线运动：当加速度的方向与速度的方向相同时，加速运动；当加速 度的方向与速度的方向相反时，减速运动。并不是说，加速度为正就是加速运 动，加速度为负就是减速运动。因为加速度的正负与坐标系的

33、选择有关。对于曲线运动：加速度的方 向和速度的方向不一定相同：当 而者成锐角时，速率增加；成钝 角时，速率减小；成直角时， 速 率不变。加速度的方向总是指向 曲线凹的一方。2）加速度具有瞬时性：运动质点在不同时刻的加速度是不同的；3）加速度具有相对性：在不同的参考系中，同一质点的加速度是不同的。4）加速度的单位：m - s-2 小结：1 .在描述质点运动的四个物理量中，位置矢量和速度是描述质点状态的物理量，而位移和加速度是反映质点运动状态变化的物理量。2 .质点运动学的两类问题是：（1）第一类问题：已知质点的运动方程，求质点在任意时刻的速度和加速度，从而得知质点运动的全部情况一一用微分方法求解

34、；（2）第二类问题：已知质点在任意时刻的速度（或加速度）以及初始状态，求质点的运动方程（第一类问题的逆运算）一一用积分方法求解。例3. 一个质点在x轴上作直线运动，运动方程为x=2t3+4t2+8,式中x的单位为米，t的单位为秒，求（1）任意时刻的速度和加速度；（2）在t=2s和t=3s时刻，物体的位置，速度和加速度; 在t=2s到t=3s时间内，物体的平均速度和平均加速度。解:（1）由速度和加速度的定义式，可求得dx d 2t3 4t2 v -dtdtdv d 6t2 8ta - dt dt(2) t =2s 时_3x 2 24v 6 22 8a1228t =3s 时x2334v6328a123812t2286t 8t840m2 40m s 132m s 232 8 90m13 78m s 1244m sx 98 4058m st 3 278 403 238m例4.匀速直线运动1） 特点： v=const2）加速度：a 0 dt3）位移和位置矢量t=t0时，x=x0dx由vdt得dx vdtxt积分dxvdtx0t0