因数和倍数(数的整除的性质)五年级

1、因数和倍数（数的整数性）因数和倍数因数和倍数 1.1.能被能被2 2整除的数的特征：个位数为：整除的数的特征：个位数为：0,2,4,6,80,2,4,6,8 例如：例如：10,22,34,4610,22,34,46，5858，2.能被能被5整除的数的特征：个位数为：整除的数的特征：个位数为：0,5 例如：例如：10,35.能被能被2和和5整除的数的特征：个位数字为整除的数的特征：个位数字为0的整数的整数 例如：例如：10，50,100.因数和倍数因数和倍数 4 4能被能被3 3（或（或9 9）整除的数的特征：各个数位上的数字之和是）整除的数的特征：各个数位上的数字之和是3 3（或（或9 9）的

2、倍数的整数。）的倍数的整数。 例如：例如：39:3+9=12,39:3+9=12,（整除（整除3 3），），99:9+9=1899:9+9=185.5.能被能被2,3,52,3,5整除的数的特征是：各个数字为整除的数的特征是：各个数字为0 0，且各个数位，且各个数位上的数字之和是上的数字之和是3 3的倍数的整数。的倍数的整数。 例如：例如：390:3+9=12390:3+9=12，个位为，个位为0.3000.3006.6.能被能被4,254,25整除的数的特征：末两位能被整除的数的特征：末两位能被4,254,25整除的整数。整除的整数。 例如：例如：2100,3 100因数和倍数因数和倍数 7

3、.7.能被能被8,125整除的数的特征：数的末三位能被整除的数的特征：数的末三位能被8,125整除的整数，整除的整数，如：如：21000,310008.能被能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差整除的数的特征：这个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）是（大减小）是11的倍数。的倍数。如：如： 例题一在例题一在 里填上适当的数字，使：里填上适当的数字，使：（1）34 能同时被能同时被2,3,4,5,整除；整除；要使同时被要使同时被2,5整除，个位只能为整除，个位只能为0要使能被要使能被3整除，整除，3+4=7,7+2或或7+5,或或7+8要使能被要使能

4、被4整除，末两位要能整除整除，末两位要能整除4，因此十，因此十位数为：位数为：2或者或者8因此：可以为：因此：可以为：3420，3480 例题一在例题一在 里填上适当的数字，使：里填上适当的数字，使：（2）7 36 能被能被24整除；整除； 24=3X8（1）因此这个数可以同时能被）因此这个数可以同时能被3和和8整除整除被被8整除的特征是：末三位数能被整除的特征是：末三位数能被8整除，因此个位数整除，因此个位数当个位为当个位为0时，时，360能被能被8整除；整除；能被能被3整除的特征：整除的特征：7+3+6+0=16，16+2,16+5,16+8因此千位数可以是因此千位数可以是2,5,8 所以

5、可以为：所以可以为：72360,75360,78360。（2）当个位为）当个位为8时，时，368能被能被8整除，整除，能被能被3整除的特征：整除的特征：7+3+6+8=24,24+3=27,24+6=30,24+9=33 所以可以为：所以可以为：73368,76368,79368。 1.五位数五位数8 41 中的中的 内填什么数字，才能被内填什么数字，才能被3整整除且含有约数除且含有约数5，写出这些数。，写出这些数。 含有约数含有约数5 5可以转化为这个数可以同时被可以转化为这个数可以同时被3 3和和5 5整除，整除，因此能被因此能被5 5整除，个位只能是整除，个位只能是0 0或者或者5 5(

6、1)(1)当个位是当个位是0 0时，各个位数之和：时，各个位数之和：8+4+1+0=138+4+1+0=13 13+2,13+5,13+8 13+2,13+5,13+8 所以可以是：所以可以是：82410,85410,8841082410,85410,88410（2 2）当个位是）当个位是5 5时，时，各个位数之和：各个位数之和：8+4+1+5=18, 18+0,18+3,18+6,18+9所以可以是：所以可以是：80415,83415,86415,89415. 2，在，在358后面补上三个数字，组成一个六位数，使它后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能被能被3,4,5整除，且这个数值尽可能

7、小。整除，且这个数值尽可能小。 358 358 要使能被要使能被5 5，4 4同时整除，个位数同时整除，个位数 只能为只能为0 0要使能被要使能被4 4整除，十位最小为整除，十位最小为2 23+5+8+2+0=183+5+8+2+0=18，因此百位最小为，因此百位最小为0 0因此这个数为因此这个数为358020358020 3.既能被既能被2整除，又是整除，又是3的倍数，还有约数的倍数，还有约数5的最小两的最小两位数是多少？最大又是多少？位数是多少？最大又是多少？转化为：同时被转化为：同时被2,3,52,3,5整除整除最小两位数为最小两位数为3030，最大为，最大为9090 例题二：四位数例题

8、二：四位数7 2 能同时被能同时被2,3,5整除，这样的整除，这样的四位数有几个？分别是多少？四位数有几个？分别是多少？ 同时被同时被2 2，5 5整除，尾数只能是整除，尾数只能是0 0 分别是分别是70207020，73207320，76207620，7920 7920 1.个位数是个位数是5，且能被，且能被9整除的三位数共有多少个？整除的三位数共有多少个？ 解：设这个三位数为解：设这个三位数为AB5AB5， A+B+5 A+B+5的和应是的和应是9 9的倍数的倍数（1 1）A+B=4 A+B=4 当当A=4A=4时，时，B=0B=0 当当A=3A=3时，时，B=1B=1； 当当A=1A=1

9、时，时，B=3B=3当当A=2A=2时，时，B=2 4B=2 4种种（2 2）A+B=13 A+B=13 当当A=4A=4时，时，B=9B=9； 当当A=9A=9时，时，B=4B=4；当当A=8A=8时，时，B=5B=5； 当当A=5A=5时，时，B=8B=8； 当当A=7A=7时，时，B=6B=6； 当当A=6A=6时，时，B=7B=7。6 6种种共有共有4+6=104+6=10种种 2.求一个首位数字为求一个首位数字为5的最小六位数，使这个数能被的最小六位数，使这个数能被9整除，且各位数字均不相同。整除，且各位数字均不相同。解：设这个数为：解：设这个数为：5ABCDE5ABCDE要使这个数

10、最小应该是要使这个数最小应该是501234501234，但是，但是5+0+1+2+3+4=155+0+1+2+3+4=15不能整除不能整除9 9因此把因此把4 4改成改成7 7，5+0+1+2+3+7=185+0+1+2+3+7=18能整除能整除1818； 因此这个数是：因此这个数是：501237 501237 3.四位数字四位数字6A3B能被能被2,3,5整除，这样的四位数有几整除，这样的四位数有几个？分别是多少个？分别是多少? 解：能同时被解：能同时被2 2，5 5整除，个位数必须为整除，个位数必须为0 0， 被被3 3整除的：整除的：6+3+0=96+3+0=9 因此百位可以为：因此百位

11、可以为：0 0，3 3，6 6，9 9 最后可以为：最后可以为：60306030，63306330，66306630，6930 6930 例题三：有一个两位数不能被例题三：有一个两位数不能被3,6,9整除，加上整除，加上8后就后就能被能被3,6,9整除了，请问这个两位数最大是多少整除了，请问这个两位数最大是多少?被被3 3，6 6，9 9 整除的最大数为整除的最大数为9090，因此原来两位数为因此原来两位数为90-8=8290-8=82 2有一个有一个4位数，千位上的数字和百位上的数字都被擦位数，千位上的数字和百位上的数字都被擦掉了，知道这个数十位上的数字是掉了，知道这个数十位上的数字是1，千

12、位上的数字是，千位上的数字是2.又知道这个数如果减去又知道这个数如果减去7能被能被7整除，减去整除，减去8能被能被8整除，整除，减去减去9能被能被9整除。求这个四位数。整除。求这个四位数。解：设这个数为解：设这个数为AB12AB12能被能被7 7，8 8，9 9同时整数的特征：同时整数的特征：能被能被8 8整除整除:B:B可以为：可以为：1 1，3 3，5 5，7 7，9 9能被能被9 9整除：整除：AB=51AB=51，AB=33AB=33，AB=15AB=15，AB=87AB=87，AB=69AB=69在在51125112，33123312，15121512，87128712，691269

13、12中唯有中唯有15121512能整除能整除7 7。因此这个数是：因此这个数是：15121512。 1.已知一个五位数是已知一个五位数是154ab，能被，能被72整除，求整除，求a与与b的的积。积。解：解：72=8X972=8X9因此这个因此这个5 5位数能被位数能被8 8和和9 9同时整除同时整除被被8 8整除的特征的后三位数能被整除的特征的后三位数能被8 8整除，整除，1540015400，15 15 4804801+ 5+4+0+0=101+ 5+4+0+0=10，不能整除，不能整除9 91+5+4+8+0=181+5+4+8+0=18，能整除，能整除9 9，因此这个数为，因此这个数为1

14、548015480 0X8=0 0X8=0 3，用，用1,2,3.8,9这这9个数字组成数字不重复的三位数。个数字组成数字不重复的三位数。第二个数是第一个数的第二个数是第一个数的2倍，第三个数是第一个数的倍，第三个数是第一个数的3倍。倍。在所有的三位数中，最大的一个数与最小的一位数只差在所有的三位数中，最大的一个数与最小的一位数只差是多少？是多少？能组成最大的三个数可能是能组成最大的三个数可能是987987，984984，981981因为因为987=329X3987=329X3，9 9用了两次，不符合题意。用了两次，不符合题意。 984=328x3= 984=328x3=，8 8用了两次，不符

15、合题意。用了两次，不符合题意。 981=327X3 981=327X3，得第一个数是，得第一个数是327327 第二个数为：第二个数为：327X2=654327X2=654因此这三个数为：因此这三个数为：327327，654654，981 981 例题例题4：商店里有：商店里有6只不同的货箱，分别装有货物只不同的货箱，分别装有货物15,16,18,19,20,31千克。两个顾客买走其中的千克。两个顾客买走其中的5箱货物，箱货物，而一个顾客买的货物重量是另一个顾客的而一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，商店里倍，商店里剩下的那箱货物重量是多少千克？剩下的那箱货物重量是多少千克？ 解：顾客买走

16、的货物应是解：顾客买走的货物应是3 3的倍数的倍数 6 6箱的总重量为：箱的总重量为：15+16+18+19+20+31=11915+16+18+19+20+31=119（千（千克），克），1191193=3.23=3.2剩下的货物应是除以剩下的货物应是除以3 3也要余也要余2 2因此这个数为因此这个数为20 20 1，把一张纸剪成，把一张纸剪成6块，从所得的纸片中取出若干块，块，从所得的纸片中取出若干块，每块各剪成每块各剪成6块；再从所有的纸张中取出若干块，每块块；再从所有的纸张中取出若干块，每块各剪成各剪成6块块如此进行下去，到剪完某次停止。所有如此进行下去，到剪完某次停止。所有的纸片总数

17、有可能是的纸片总数有可能是2000,2001,2002,2003这四个数中这四个数中的（的（ ）。 剪成剪成6 6块块 ，比原来只增加，比原来只增加5 5块，如此下去，最后块，如此下去，最后的数一定是的数一定是5 5的倍数的倍数+ +上上1 1 ，因此是，因此是2001 2001 2，一位后勤人员买了，一位后勤人员买了72台微波炉，可是台微波炉，可是 由于他吸烟由于他吸烟不小心，火星落在账本上，把这笔账的总数烧去两个数不小心，火星落在账本上，把这笔账的总数烧去两个数字。账本是这样的：字。账本是这样的：72台微波炉，共（台微波炉，共（ ）679（ ）（ ( )为被烧掉的数字，微波炉单价为整数）请

18、把（为被烧掉的数字，微波炉单价为整数）请把（ ）处数填补上，并求出微波炉的单价。处数填补上，并求出微波炉的单价。 这个数是这个数是72=8X972=8X9 这个数既能被这个数既能被8 8整除，也能被整除，也能被9 9整除整除 被被8 8整除的特征是末三位数能被整除的特征是末三位数能被8 8整除，个位数为整除，个位数为 2 2，792792，能整除，能整除8 8。能被能被9 9整除的特征：整除的特征：3+6+7+9+2=27,3+6+7+9+2=27,能整除能整除9 9因此总价为：因此总价为：3679236792单价为：单价为：367923679272=51172=511（元）（元） 3.希希买了希希买了9支铅笔，支铅笔，2支圆珠笔，支圆珠笔，3本练习本和本练习本和5块橡块橡皮，她看到圆珠笔每只皮，她看到圆珠笔每只3角角9分，橡皮每块分，橡皮每块6分，其余她分，其余她没注意，售货员要她付没注意，售货员要她付3元元8角，希希马上说：角，希希马上说：“阿姨你阿姨你算错了。算错了。”请问售货员的账算错了没？为什么？请问售货员的账算错了没？为什么？。 1某文具店有钢笔和毛笔共某文具店