微分中值定理复习ppt课件

1、二、二、 导数运用导数运用习题课一、一、 微分中值定理及其运用微分中值定理及其运用中值定理及导数的运用 第四章 : 拉格朗日中值定理 )()(bfaf一、一、 微分中值定理及其运用微分中值定理及其运用1. 1. 微分中值定理及其相互关系微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 0)(fxyoab)(xfy )()()()()()(FfaFbFafbfabafbff)()()()()()(bfafxxF10) 1(! ) 1(1)(nnnxxf 柯西中值定理 xxF)(xyoab)(xfy 泰勒中值定理 )()()(000 xxxfxfxfnnnxxxf)(00)(!10n:2. 微分中值定理的主要运

2、用微分中值定理的主要运用(1) 研讨函数或导数的性态研讨函数或导数的性态(2) 证明恒等式或不等式证明恒等式或不等式(3) 证明有关中值问题的结论证明有关中值问题的结论:3. 有关中值问题的解题方法有关中值问题的解题方法利用逆向思想 , 设辅助函数 . 普通解题方法普通解题方法:(1)证明含一个中值的等式或根的存在证明含一个中值的等式或根的存在 ,(2) 假设结论中涉及到含中值的两个不同函数 ,(3) 假设结论中含两个或两个以上的中假设结论中含两个或两个以上的中值值 ,可用原函数法找辅助函数可用原函数法找辅助函数 .多用罗尔定理多用罗尔定理,可思索用可思索用柯西中值定理 .必需多次运用中值定理

3、中值定理 .(4) 假设知条件中含高阶导数假设知条件中含高阶导数 , 多思索用泰勒公式多思索用泰勒公式 ,(5) 假设结论为不等式假设结论为不等式 , 要留意适当放大或减少的技要留意适当放大或减少的技巧巧.有时也可思索对导数用中值定理有时也可思索对导数用中值定理 .:例例1. 设函数设函数在在)(xf),(ba内可导内可导, 且且,)(Mxf证明证明在在)(xf),(ba内有界内有界. 证证: 取点取点, ),(0bax 再取异于再取异于0 x的点的点, ),(bax对对xxxf,)(0在以为端点的区间上用拉氏中值定理为端点的区间上用拉氏中值定理, 得得)()()(00 xxfxfxf)(0之

4、间与界于xx)()()(00 xxfxfxf00)()(xxfxf)()(0abMxfK(定数)可见对恣意可见对恣意, ),(bax,)(Kxf即得所证即得所证 .:例例2. 设设在在)(xf 1 ,0内可导内可导, 且且,0) 1 (f证明至少存在一点证明至少存在一点)(f, ) 1 ,0(使使上延续上延续, 在在) 1 ,0()(2 f证: 问题转化为证.0)(2)(ff设辅助函数设辅助函数)()(2xfxx 显然显然)(x在在 0 , 1 上满足罗尔定理条件上满足罗尔定理条件, 故至故至, ) 1 ,0(使使0)()(2)(2ff即有即有)(f)(2 f少存在一点少存在一点:例例3.,)

5、(,)(内可导，在，上连续在设babaxf且且,0ba 试证存在试证存在).(2)(fbaf使, ),(,ba证证: 欲证欲证,2)()(fbaf因因 f ( x ) 在在 a , b 上满足拉氏中值定理条件上满足拉氏中值定理条件,故有故有),(, )()()(baabfafbf,)(2上满足柯西定理条件在及又因baxxf),(,2)()()(22bafabafbf将代入将代入 , 化简得化简得故有故有),(2)(fbaf),(,ba即要证即要证.2)()(22fababf:例例4. 设实数设实数满足下述等式满足下述等式naaa,1001210naaan证明方程证明方程在在 ( 0 , 1)

6、内至少有一内至少有一个实根个实根 .010nnxaxaa证: 令,)(10nnxaxaaxF那么可那么可设设121012)(nnxnaxaxaxF, 1,0)(,上连续在显然xF且且)0(F由罗尔定理知存在一点由罗尔定理知存在一点, ) 1 ,0(使使,0)(F即即.10010内至少有一个实根），（在nnxaxaa,) 1,0(内可导在,0) 1 (F:例例5.设函数设函数 f (x) 在在0, 3 上延续上延续, 在在(0, 3) 内可导内可导, 且且 , 1)3(, 3)2() 1 ()0(ffff使, )3, 0(. 0)(f分析: 所给条件可写为1)3(, 13)2() 1 ()0(f

7、fff(03考研) 试证必存在试证必存在 想到找一点 c , 使3)2() 1 ()0()(fffcf证证: 因因 f (x) 在在0, 3上延续上延续, 所以在所以在0, 2上延续上延续, 且在且在0, 2上有最大值上有最大值 M 与最小值与最小值 m, 故故Mfffm)2(),1 (),0(Mmfff3)2() 1 ()0(由介值定理由介值定理, 至少存在一点至少存在一点 使, 2, 0c3)2() 1 ()0()(fffcf1, 1)3()( fcf,)3,(,3,)(内可导在上连续在且ccxf由罗尔定理知由罗尔定理知, 必存在必存在 . 0)(, )3, 0()3,(fc使:,2)(

8、xf例例6. 设函数设函数在在)(xf 1 ,0上二阶可导上二阶可导, ) 1 ()0(ff且且证明证明. 1)( xf证:, 1,0 x由泰勒公式得由泰勒公式得)0(f) 1 (f两式相减得两式相减得221221)()1)()(0 xfxfxf 221221)()1)()(xfxfxf 221221)()1 ()(xfxf 22)1 (xx)1 (21xx 1,0,1x)(xfxxf)( 221)(xf ) 10() 10()1)()1)()(221 xfxxfxf:二、二、 导数运用导数运用1. 研讨函数的性态研讨函数的性态:增减增减 , 极值极值 , 凹凸凹凸 , 拐点拐点 , 渐近线渐

9、近线 ,曲率曲率2. 处理最值问题处理最值问题 目的函数的建立与简化目的函数的建立与简化 最值的判别问题最值的判别问题3. 其他运用其他运用 :求不定式极限求不定式极限 ;几何运用几何运用 ;相关变化率相关变化率;证明不等式证明不等式 ;研讨方程实根等研讨方程实根等.4. 补充定理补充定理 (见下页见下页):设函数设函数)(, )(xgxf在在上具有上具有n n 阶导数阶导数, ,),a且且) 1,2, 1 ,0()()() 1 ()()(nkagafkk)()()()2()()(axxgxfnn那么那么当当ax 时时. )()(xgxf证: 令, )()()(xgxfx那那么么; ) 1,

10、1 ,0(0)()(nkak)(0)()(axxn利用利用)(x在在ax 处的处的 n 1 阶泰勒公式得阶泰勒公式得)(x)(xa因此因此ax 时时. )()(xgxf0nnaxn)(!)()(定理定理.:的延续性及导函数的延续性及导函数例例7. 填空题填空题(1) 设函数上连续，在),()(xf的则)(xf其导数图形如下图其导数图形如下图,单调减区间为单调减区间为 ;极小值点为极小值点为 ;极大值点为极大值点为 .)(xf ),0(),(21xx),(),0,(21xx21, xx0 x提示提示:)(xf根据的正负作的正负作 f (x) 的表示图的表示图. 单调增区间为单调增区间为 ;o2x

11、1xyxox)(xf1x2x:o)(xfx .在区间在区间 上是凸弧上是凸弧 ;拐点为拐点为 ),0(),(21xx)(f,( ,)x(f,x( ,)x(f,x(002211提示提示:)()(xfxf 的可导性及根据的正负作的正负作 f (x) 的表示图的表示图. 形在区间形在区间 上是凹弧上是凹弧; 那么函数那么函数 f (x) 的图的图 (2) 设函数设函数上可导，在),()(xf的图形如下图的图形如下图,),(),0,(21xx)(xf o2x1xyx2x)(xf 1x:ln)1ln()()(1xxxfxf例例8. 证明证明在在xxxf)1 ()(1),0(上单调添加上单调添加.证证:)

12、1ln()(ln1xxxfln)1ln(xxx11ln)1ln()11()(xxxxxfx令令,ln)(ttF在在 x , x +1 上利用拉氏中值定理上利用拉氏中值定理,111xxx) 10(1ln)1ln(xxxxx11故当故当 x 0 时时,0)( xf从而从而)(xf在在),0(上单调增上单调增.得得:例例9. 设设在在)(xf),(上可导上可导, 且且证明证明 f ( x ) 至多只需一个零点至多只需一个零点 . 证证: 设设)()(xfexx那么那么 )()()(xfxfexx0,0)()(xfxf故)(x在),(上延续单调递增, 从而至多只需一个零点 .又因,0 xe因此)(xf

13、也至多只需一个零点 .思索思索: 假设题中假设题中0)()(xfxf改为,0)()(xfxf其它不变时, 如何设辅助函数?)()(xfexx:例例10. 求数列求数列nn的最大项的最大项 .证: 设),1()(1xxxfx用对数求导法得用对数求导法得)ln1()(21xxxfx令令,0)( xf得, ex x)(xf )(xfe), 1e),(e0ee1由于由于)(xf在在),1只需独一的极大点只需独一的极大点,ex 因此在因此在ex 处处)(xf也取最大值也取最大值 .又因又因,32 e442 且,33nn为数列故33中的最大项中的最大项 .极大值列表判别列表判别:例例11. 证明证明. )

14、0(1arctan)1ln(xxxx证证: 设设xxxxarctan)1ln()1 ()(, 那么0)0(211)1ln(1)(xxx)0(0 x故故0 x时时, )(x单调添加单调添加 , 从而从而0)0()(x即即)0(1arctan)1ln(xxxx思索: 证明) 10(arcsin)1ln(11xxxxx时时, 如何设辅助如何设辅助函数更好函数更好 ?xxxxxarcsin1)1ln()1 ()(2提示提示:例例12. 设设,0)0(f且在且在),0上上)(xf 存在且单调存在且单调递减递减 , 证明对一切证明对一切0,0ba有有)()()(bfafbaf证: 设, )()()()(x

15、fafxafx那那么么0)0()()()(xfxafx)0(0 x所以当所以当时，0 x)(x0)0(令令,bx 得得0)()()()(bfafbafb即所证不等式成立即所证不等式成立 .:例例13. ,10:时当证明 x.112xxex证: 只需证) 10(01)1 (2xxexx,1)1 ()(2xexxfx设0)0(f则, 1)21 ()(2xexxf0)0( f) 10(04)(2 xexxfx利用一阶泰勒公式利用一阶泰勒公式, 得得2!2)()0()0()(xfxffxf ) 10(0222xxe故原不等式成立故原不等式成立.:例例14. 证明当证明当 x 0 时时,.) 1(ln)

16、 1(22xxx证: 令,) 1(ln) 1()(22xxxxf那么0) 1 (fxxxfln2)(0) 1 ( fxxfln2)( ,121x02) 1 ( f32) 1(2)(xxxf xx1, ) 1(2x法1 由)(xf在在1x处的二阶泰勒公式处的二阶泰勒公式 , 得得)(xf2) 1(!2) 1 ( xf3) 1(!3)( xf2) 1( x332) 1(31xxx在, 0( 0故所证不等式成立故所证不等式成立 .与与 1 之间之间):法法2 列表判别列表判别:,) 1(ln) 1()(22xxxxf0) 1 (f2ln2)(1xxxxf0) 1 ( f,1ln2)(21 xxxf0

17、2) 1 ( f32) 1(2)(xxxf x)(xf )(xf )(xf )(xf1)1,0(), 1(0020,0)(0 xfx时故当即.) 1(ln) 1(22xxx:法法3 利用极值第二判别法利用极值第二判别法.,0)(1的唯一根是易知xfx的唯一为)(1xfx 故故0) 1 (f也是最小值 ,因此当0 x时,0)(xf即22) 1(ln) 1(xxx,) 1(ln) 1()(22xxxxf0) 1 (f2ln2)(1xxxxf0) 1 ( f,1ln2)(21 xxxf02) 1 ( f，极小点,0) 1 ( f且1yox22) 1(ln) 1(xxxy:例例15. 求求)0()1a

18、rctan(arctanlim2ananann解法解法1 利用中值定理求极限利用中值定理求极限原式)1(11lim22nanann之间）与在1(nana221) 1(limannnna(两边夹):解法解法2 利用泰勒公式利用泰勒公式令,arctan)(xxf那么,11)(2xxf22)1 (2)(xxxf )()0()0()0()(22!21xoxfxffxf )(2xox原式原式2lim nn)0()1arctan(arctanlim2ananann22112)() 1(limnnnonnnaa)1(2nona) 1(1(12nona:解法解法3 利用罗必塔法那么利用罗必塔法那么)0()1arctan(arctanlim2ananann原式21arctanarctanlimxxbxaxxt1令20arctanarctanlimtt bt at:同步辅导P84A2、713 4、15，B1，8，11， 课本P114，14A2、7，则在点处设12)ax()a(f)x(flimax;)a(f)x( f )A(0的导数存在，且的导数不存在；)x( f )B(;)x( fC取得最小值）（.)x( fD取得最大值）（0002)(f,)