人教版高一 第三章《本章综合与测试》获奖说课导学案

1、章末复习课网络构建核心归纳1.函数表示法函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等.解析法：必须注明函数的定义域.图象法：描点法作图时要确定函数定义域，化简函数的解析式，观察函数特征.列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.分段函数：由于分段函数在不同的定义域上函数的表达式不同，故分段函数可将不同的函数融合在同一题目中，体现知识的重组.2.函数性质研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手，分析函数的图象及其变化趋势.3.函数最大(小)值求函数最值问题，常利用二次函数的性质(配方法)；利用图象；或利用函数单调性，如果函数 f(x)在区间a，b上单调递增

2、，在b，c上单调递减，则函数 yf(x)在 xb 处有最大值 f(b)，最小值为 f(a)与 f(c)中的较小者.4.解决函数应用题关键在于理解题意， 提高阅读能力.一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面，要不断拓宽知识面.要点一求函数的定义域求函数定义域的类型与方法(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合.(2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义.(3)复合函数问题：若 f(x)的定义域为a，b，f(g(x)的定义域应由 ag(x)b 解出；若 f(g(x)的定义域为a，b，则 f(

3、x)的定义域为 g(x)在a，b上的值域.注意：a.f(x)中的 x 与 f(g(x)中的 g(x)地位相同；b.定义域是指 x 的范围.【例 1】(1)函数 f(x)2x21x(2x1)0的定义域为()A.，12B.12，1C.12，12D.，12 12，1(2)已知函数 yf(x1)的定义域是1，2，则 yf(13x)的定义域为()A.13，0B.13，3C.0，1D.13，1解析(1)由题意知1x0，2x10，解得 x1 且 x12，即 f(x)的定义域是，12 12，1.(2)由 yf(x1)的定义域是1，2，则 x12，1，即 f(x)的定义域是2，1，令213x1，解得 0 x1，

4、即 yf(13x)的定义域为0，1.答案(1)D(2)C【训练 1】若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”， 那么函数解析式为 yx2， 值域为1， 4的“同族函数”共有()A.7 个B.8 个C.9 个D.10 个解析由题意知，问题的关键在于确定函数定义域的个数.函数解析式为 yx2，值域为1，4，当 x1 时，y1；当 x2 时，y4，则定义域可以为1，2，1，2，1，2，1，2，1，1，2，1，1，2，1，2，2，1，2，2，1，1，2，2，因此“同族函数”共有 9 个.答案C要点二求函数的解析式求函数解析式的题型与相应的解法(1)已知形如 f(g

5、(x)的解析式求 f(x)的解析式，使用换元法或配凑法.(2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数，使用待定系数法).(3)含 f(x)与 f(x)或 f(x)与 f1x ，使用解方程组法.(4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法.【例 2】(1)已知 f(x1)2x5，则 f(x)的解析式为_.(2)设 f(x)是定义在 R 上的函数，且满足 f(0)1，并且x，yR，都有 f(xy)f(x)y(2xy1)，则 f(x)_.解析(1)法一(换元法)设 x1t，则 xt1，f(t)2(t1)52t7，f(x)2x7.法二(配凑法)f(x1)2x52(x1)7，所以

6、 f(x)2x7，即函数的解析式为 f(x)2x7.(2)法一由已知条件得 f(0)1，又 f(xy)f(x)y(2xy1)，设 yx，则 f(xy)f(0)f(x)x(2xx1)1，所以 f(x)x2x1.法二令 x0，得 f(0y)f(0)y(y1)，即 f(y)1y(y1)，将y 用 x 代换得 f(x)x2x1.答案(1)f(x)2x7(2)x2x1【训练 2】根据如图所示的函数 f(x)的图象，写出函数的解析式.解当3x1 时，函数 f(x)的图象是一条线段(右端点除外)，设 f(x)axb(a0)，将点(3，1)，(1，2)代入，可得 f(x)32x72；当1x1 时，同理，可设

7、f(x)cxd(c0)，将点(1，2)，(1，1)代入，可得 f(x)32x12；当 1x2 时，f(x)1.综上所述，f(x)32x72，3x1，32x12，1x1，1，1x2.要点三分段函数1.求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值.当出现 f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值.2.已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要检验.3.在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的各段上，然后求出在相应各段定义域上自变量的

8、取值范围，再求它们的并集即可.【例 3】设 f(x)x，0 x1，2（x1） ，x1.若 f(a)f(a1)，则 f1a ()A.2B.4C.6D.8解析当 0a1，f(a) a，f(a1)2(a11)2a，f(a)f(a1)， a2a，解得 a14.f1a f(4)2(41)6.当 a1 时，a12，f(a)2(a1)，f(a1)2(a11)2a，2(a1)2a，无解.当 a1 时，a12，f(1)0，f(2)2，不符合题意.综上，f1a 6.答案C【训练 3】(1)已知 f(x)2x，x0，f（x1） ，x0，则 f43 f43 等于()A.2B.4C.2D.4(2)函数 f(x)x，x2

9、，x1，2x4，3x，x4，若 f(a)0，f（x1） ，x0，f43 f431f13 f131f23 23243，f43 24383，f43 f43 43834.(2)当 a2 时，f(a)a3，此时不等式的解集是(，3)；当2a4 时，f(a)a13，此时不等式无解；当 a4 时，f(a)3a3，此时不等式无解.故 a 的取值范围是(，3).答案(1)B(2)( ，3)要点四函数的概念与性质函数单调性与奇偶性应用的常见题型(1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性.(2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间.(3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式.(4)利用函数的单调性和奇偶性求参

10、数的取值范围.【例 4】已知函数 f(x)mx223xn是奇函数，且 f(2)53.(1)求实数 m 和 n 的值；(2)求函数 f(x)在区间2，1上的最值.解(1)f(x)是奇函数，f(x)f(x)，mx223xnmx223xnmx223xn.比较得 nn，n0.又 f(2)53，4m2653，解得 m2.因此，实数 m 和 n 的值分别是 2 和 0.(2)由(1)知 f(x)2x223x2x323x.任取 x1，x22，1，且 x1x2，则 f(x1)f(x2)23(x1x2)11x1x223(x1x2)x1x21x1x2.2x1x21，x1x21，x1x210，f(x1)f(x2)0

11、，即 f(x1)0，0，x0，x2mx，x0是奇函数.(1)求实数 m 的值；(2)若函数 f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数 a 的取值范围.解(1)设 x0，所以 f(x)(x)22(x)x22x.又 f(x)为奇函数，所以 f(x)f(x)，所以 x1，a21，所以 1a3，故实数 a 的取值范围是(1，3.要点五函数的图象及应用(选用)作函数图象的方法(1)描点法求定义域；化简；列表、描点、连线.(2)变换法熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转.特别提醒：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图.【例 5】已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x0 时，f(x)x22x

12、.(1)现已画出函数 f(x)在 y 轴左侧的图象，如图所示，请把函数 f(x)的图象补充完整，并根据图象写出函数 f(x)的增区间；(2)写出函数 f(x)的值域.解(1)由 f(x)为偶函数可知，其图象关于 y 轴对称，如图所示，作出已知图象关于 y 轴对称的图象，即得该函数的完整图象.由图可知，函数 f(x)在(，1)上单调递减，在(1，0)上单调递增，在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以函数 f(x)的增区间是(1，0)，(1，).(2)由题意知，当 x0 时，f(x)的最小值为 f(1)(1)22(1)1.由偶函数的性质可得 f(x)1，即函数的值域为1，).【训练 5

13、】对于任意 xR，函数 f(x)表示x3，32x12，x24x3 中的较大者，则 f(x)的最小值是_.解析首先应理解题意， “函数 f(x)表示x3，32x12， x24x3 中的较大者”是指对某个区间而言，函数 f(x)表示x3，32x12，x24x3 中最大的一个.如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点 A(0，3)，B(1，2)，C(5，8).从图象观察可得函数 f(x)的表达式：f(x)x24x3（x0） ，x3（0 x1） ，32x12（15）.f(x)的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点 B(1，2)，所以 f(x)的最小值是2.答案2要点六幂函数的应用幂函数 yx的性质

14、(1)当0 时，图象都通过点(0，0)，(1，1)；在第一象限内，函数值随 x 的增大而增大；在第一象限内，1 时，图象是向下凸上升的；01 时，图象是向上凸上升的；在第一象限内，过点(1，1)后，图象向右上方无限伸展.(2)当0 时，图象都通过点(1，1)；在第一象限内，函数值随 x 的增大而减小，图象是向下凸的；在第一象限内，图象向上与 y 轴无限接近，向右与 x 轴无限接近；在第一象限内，过点(1，1)后，|越大，图象下降的速度越快.【例 6】已知幂函数 f(x)x12p2p32(pN)在(0，)上是增函数，且在定义域上是偶函数.(1)求 p 的值，并写出相应的函数 f(x)的解析式.(

15、2)对于(1)中求得的函数 f(x)，设函数 g(x)qf(f(x)(2q1)f(x)1，问是否存在实数 q(q0，解得1p2 对任意 xR 恒成立，求实数 c 的取值范围.解(1)幂函数 f(x)xm22m3(mZ)为偶函数，且在(0，)上是增函数，则m22m3 为偶数，且m22m30，得1m2 恒成立， 则 c12， 即 c3.故实数 c 的取值范围为(3，).要点七函数的应用【例 7】食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来了一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农业合作社每年投入 200 万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入 20

16、万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往种菜经验，发现种西红柿的年收入 P(单位：万元)、种黄瓜的年收入 Q(单位：万元)与投入 a(单位：万元)满足 P804 2a，Q14a120，设甲大棚投入为 x(单位：万元)，每年两大棚的收益为 f(x)(单位：万元).(1)f(50)的值；(2)试问如何安排甲乙两个大棚的投入，才能使总收益 f(x)最大？解(1)因为甲大棚投入 50 万元，则乙大棚投入 150 万元，所以 f(50)804 25014150120277.5.(2)f(x)804 2x14(200 x)12014x4 2x250，依题意得x20，200 x2020 x180，故

17、 f(x)14x4 2x250(20 x180).令 t x2 5，6 5，则 f(x)14t24 2t25014(t8 2)2282，当 t8 2，即 x128 时，f(x)max282，所以投入甲大棚 128 万元，乙大棚 72 万元时，总收益最大，且最大收益为 282万元.【训练 7】为纪念重庆黑山谷晋升国家 5A 级景区五周年，特发行黑山谷纪念邮票，从 2017 年 11 月 1 日起开始上市.通过市场调查，得到该纪念邮票在一周内每 1 张的市场价 y(单位：元)与上市时间 x(单位：天)的数据如下：上市时间 x 天126市场价 y 元5210(1)分析上表数据， 说明黑山谷纪念邮票的市场价 y(单位： 元)与上市时间 x(单位：天)的变化关系，并判断 y 与 x 满足下列哪种函数关系，一次函数；二次函