土力学与数值方法：土的强度理论

1、第三章：土的强度理论 在土体上施加剪切荷载，会在土体内部形成不连续在土体上施加剪切荷载，会在土体内部形成不连续面（或破裂面），或者由于剪切荷载的增大导致土体变面（或破裂面），或者由于剪切荷载的增大导致土体变形增大，最终的结果是使土体达到破坏或塑性化。为此，形增大，最终的结果是使土体达到破坏或塑性化。为此，在以土强度控制的岩土工程领域，就有必要掌握判别土在以土强度控制的岩土工程领域，就有必要掌握判别土体是否达到破坏或塑性屈服的基准。针对某种土体，如体是否达到破坏或塑性屈服的基准。针对某种土体，如果根据实验建立土体的破坏条件，则可以根据土体实际果根据实验建立土体的破坏条件，则可以根据土体实际的受力

2、状态判定土体的破坏程度。因此，将判别土体发的受力状态判定土体的破坏程度。因此，将判别土体发生破坏的条件或满足这种条件的数学表达式称为土的破生破坏的条件或满足这种条件的数学表达式称为土的破坏准则。坏准则。 通常，在简单应力条件下，可以通过试验的方法确通常，在简单应力条件下，可以通过试验的方法确定土的强度，但在复杂应力条件下试验就比较困难，因定土的强度，但在复杂应力条件下试验就比较困难，因此，常用的方法是根据简单应力条件下得到的结果，结此，常用的方法是根据简单应力条件下得到的结果，结合理论分析的方法建立复杂应力条件下的破坏条件，即合理论分析的方法建立复杂应力条件下的破坏条件，即破坏时应力状态数学表

3、达式，通称为强度理论或土的破破坏时应力状态数学表达式，通称为强度理论或土的破坏准则。常见的强度主要有：坏准则。常见的强度主要有： 经典强度理论经典强度理论 广义强度理论广义强度理论 表现土的破坏准则的物理量一般可以用应力量或应表现土的破坏准则的物理量一般可以用应力量或应变量，但考虑到材料的塑性理论通常是采用应力量，为变量，但考虑到材料的塑性理论通常是采用应力量，为此，在土的破坏准则里，通常采用以应力量表示的不变此，在土的破坏准则里，通常采用以应力量表示的不变量的函数作为土的破坏准则的数学表达式。量的函数作为土的破坏准则的数学表达式。0)(321,J,JJf 另外，应力不变量通常是用主应力表示的

4、，所以土另外，应力不变量通常是用主应力表示的，所以土的破坏准则也可以表示成主应力的形式：的破坏准则也可以表示成主应力的形式： 以上破坏准则的主应力表达式，在数学上即为以三以上破坏准则的主应力表达式，在数学上即为以三个主应力为坐标轴的主应力空间的曲面方程，一般将该个主应力为坐标轴的主应力空间的曲面方程，一般将该曲面称为破坏曲面。如果建立以三个主应力为坐标轴的曲面称为破坏曲面。如果建立以三个主应力为坐标轴的坐标体系，则表示当作用在土体上的三个主应力所代表坐标体系，则表示当作用在土体上的三个主应力所代表的点位于该破坏面上时，该点处于极限状态或临界状态。的点位于该破坏面上时，该点处于极限状态或临界状态

5、。 对于物体的破坏，一般对于各向同性的物质在静水对于物体的破坏，一般对于各向同性的物质在静水压力作用下不会发生破坏，但是，对于各向异性的物体压力作用下不会发生破坏，但是，对于各向异性的物体即使在静水压力作用下也会发生破坏。另外，如果施加即使在静水压力作用下也会发生破坏。另外，如果施加等方拉力，那么不管是各向同性还是各向异性都将导致等方拉力，那么不管是各向同性还是各向异性都将导致破坏。破坏。0)(321,F3.1 3.1 强度条件的形式强度条件的形式 强度理论或破坏准则的主要内容涉及材料破坏机理强度理论或破坏准则的主要内容涉及材料破坏机理的说明，数学模型的建立、模型参数规律的研究等。其的说明，数

6、学模型的建立、模型参数规律的研究等。其中数学模型常称为强度条件或破坏条件。中数学模型常称为强度条件或破坏条件。 建立强度理论的基本思路如下：建立强度理论的基本思路如下：通过简单试验，得到在简单应力条件下的强度条件；通过简单试验，得到在简单应力条件下的强度条件；通过理论将这些结果进一步推广到复杂应力状态上去，通过理论将这些结果进一步推广到复杂应力状态上去，得到普遍形式的强度条件。得到普遍形式的强度条件。l 第一种形式第一种形式主应力空间主应力空间以主应力为坐标轴形成的应力空间；以主应力为坐标轴形成的应力空间；屈服面屈服面主应力空间某曲面，某点主应力位于曲面上主应力空间某曲面，某点主应力位于曲面上

7、时，表示材料已发生或将要发生塑性变形，当位于它所时，表示材料已发生或将要发生塑性变形，当位于它所包围的区域内时，该点处于弹性状态；包围的区域内时，该点处于弹性状态；破坏面破坏面对于应变硬化材料，屈服面随塑性变形的增对于应变硬化材料，屈服面随塑性变形的增大而逐渐扩大，到达一定程度时材料发生破坏，此时的大而逐渐扩大，到达一定程度时材料发生破坏，此时的应力状态构成破坏面。应力状态构成破坏面。破坏面的数学表达式就是强度条件：破坏面的数学表达式就是强度条件：0)(0)(321fffijf,k,f,kf应变应变应力应力应变应变应力应力 关于屈服与破坏的概念，可以根据以上两个图形作进一步的说关于屈服与破坏的

8、概念，可以根据以上两个图形作进一步的说明，假如某物体的应力明，假如某物体的应力- -应变曲线如作图示，此时，当应力小于屈服应变曲线如作图示，此时，当应力小于屈服值时，应力值时，应力- -应变满足线性关系，一旦应力大于屈服值，只有应变继应变满足线性关系，一旦应力大于屈服值，只有应变继续增大而应力不再增加，也即是向破坏或屈服迁移；但土体的应力续增大而应力不再增加，也即是向破坏或屈服迁移；但土体的应力- -应变曲线常呈现右图示形式，应力应变曲线常呈现右图示形式，应力- -应变超过比例界限后，随着塑性应变超过比例界限后，随着塑性应变的增加应力会继续增大，即应变硬化过程。应变的增加应力会继续增大，即应变

9、硬化过程。l 第二种形式第二种形式应力不变量：应力不变量：32122231332212222321123IIIxyzzxyyzzzxyzxyzyxzxyzxyxzzyyxmzyxii应力张量应力张量ij可以分解为应力球张量可以分解为应力球张量mij和应力偏量和应力偏量sij= ij- mij之和，定义应力偏量之和，定义应力偏量sij的不变量：的不变量：3212223213232221222222232112)()()(61)6()()()(61210sssssssssJssJsssssssJxyzzxyyzzzxyzxyzyxzxyzxyxzzyyxijijzyxii主应力（主应力（ 1， 2

10、， 3），主应力不变量（），主应力不变量（ I1， I2， I3），偏应力不变量（），偏应力不变量（ J1， J2， J3）是可以互相确定的，）是可以互相确定的，都可以表示一点的应力状态，强度条件也可以写成以下都可以表示一点的应力状态，强度条件也可以写成以下用应力不变量表示的形式：用应力不变量表示的形式：0)(0)(321321ffff,k,J,JJf,k,I,IIfl 第三种形式第三种形式等倾线（等压线）等倾线（等压线）L L在主应力空间里，在主应力空间里，L L线与三个坐线与三个坐标轴等倾，其方向余弦均为标轴等倾，其方向余弦均为 ，在等倾线上的三个主，在等倾线上的三个主应力相等。应力相等。

11、偏平面偏平面与等压线正交的平面：与等压线正交的平面：平面平面通过坐标原点通过坐标原点的偏平面的偏平面31/r33210321设主应力空间三个坐标轴的单位基向量为设主应力空间三个坐标轴的单位基向量为e1、e2、e3，则，则空间任一点空间任一点P（1，2，3）的应力向量可以表示为：）的应力向量可以表示为：等倾线的单位向量：等倾线的单位向量：OP在等倾线上的分量在等倾线上的分量OP”为静水应力分量：为静水应力分量：OP在在平面上的分量平面上的分量OP为应力偏量分量：为应力偏量分量：332211eeeOP321313131eeenmnOPOP3)(313212222JOPOPOP将坐标轴将坐标轴1，2

12、，3向向平面上投影，可以得到三根夹角平面上投影，可以得到三根夹角互为互为120的轴的轴1，2，3，它们与相应的原坐标轴之，它们与相应的原坐标轴之间的夹角余弦为间的夹角余弦为 。在在平面上取平面上取xy坐标系统，其中坐标系统，其中y轴与轴与2轴重合。轴重合。为确定为确定P（1，2，3）在）在平面上投影点平面上投影点P的坐标（的坐标（x，y），可以先考虑（），可以先考虑（1，0，0）、）、 （0，2，0）、）、 （0，0，3）三点在）三点在平面上的坐标（平面上的坐标（x1，y1），（），（x2，y2），），（x3，y3），则有：），则有：2/3321321yyyyxxxx将点（将点（1，0，0）向

13、）向平面投影，投影点必然落在平面投影，投影点必然落在1轴上，轴上，且距离原点距离为且距离原点距离为 ，再将它向，再将它向x，y轴投影，得到：轴投影，得到：同样原理，可以得到：同样原理，可以得到：则则P点在点在平面上的投影点平面上的投影点P的坐标为：的坐标为：2/316cos1203222cos3032111111/yx2/30222/yx6223333/yx62)(2231231yx31312231xytan且有且有：Lode角角Lode参数参数根据以上的坐标体系，空间任一点根据以上的坐标体系，空间任一点P的应力状态的静水压的应力状态的静水压力分量和应力偏量分量的大小分别由力分量和应力偏量分量

14、的大小分别由m，J2确定，应力确定，应力偏量分量的方向由偏量分量的方向由确定，即由组合（确定，即由组合（I1，J2， ）或组）或组合（合（ m， J2， ）也能表示一点的应力状态，相应的破）也能表示一点的应力状态，相应的破坏条件可以写成：坏条件可以写成：在土力学中，常用广义剪应力和广义剪应变反映复杂应在土力学中，常用广义剪应力和广义剪应变反映复杂应力条件下的受剪状态：力条件下的受剪状态：0)(21ff,k,JIf21323222122132322212)-()-()-(3232)-()-()-(213sJJq定义广义正应力定义广义正应力p= m应力组合（应力组合（p，q， ）也可以表示一点的应

15、力状态，破）也可以表示一点的应力状态，破坏条件可以写成以下形式：坏条件可以写成以下形式：mp)(313210)(ff,kp,q,fl 破坏曲线破坏曲线破坏面与偏平面或破坏面与偏平面或平面构成的交线称偏平面或平面构成的交线称偏平面或平面上平面上的破坏曲线。的破坏曲线。当采用常规三轴试验时，当采用常规三轴试验时， 2= 3，此时，此时，=-1，即不考，即不考虑中间主应力虑中间主应力2的影响，破坏条件为：的影响，破坏条件为：0)(ffp,q,kf可以在可以在p、q平面上研究平面上研究破坏曲线破坏曲线3.2 3.2 经典强度理论经典强度理论经典强度理论一般是建立在无内部摩擦，且抗拉强度等经典强度理论一

16、般是建立在无内部摩擦，且抗拉强度等于抗压强度的基础上的，不能直接用于土，但它是建立于抗压强度的基础上的，不能直接用于土，但它是建立土的强度理论的基础。土的强度理论的基础。l Tresca破坏准则破坏准则Tresca提出的最大剪应力理论，认为材料破坏取决于最提出的最大剪应力理论，认为材料破坏取决于最大剪应力。大剪应力。当材料的单轴抗拉强度等于单轴抗压强度且强度值为当材料的单轴抗拉强度等于单轴抗压强度且强度值为R时，时，kf=R/2，即：，即：fk231maxfkR231当主应力大小次序不确定的情况下，可用以下形式：当主应力大小次序不确定的情况下，可用以下形式：以以 为例，说明破坏与为例，说明破坏

17、与m，和，和3无关，在应无关，在应力空间中，表现为力空间中，表现为2个平行于个平行于3轴和等倾线的平面，按照轴和等倾线的平面，按照同样的原理，其余两个式子分别表示为平行于同样的原理，其余两个式子分别表示为平行于1轴和轴和L线、线、平行于平行于2轴和轴和L线的平面，这样，由线的平面，这样，由6个平面构成一个以个平面构成一个以L线为轴线的正六棱柱面，破坏面与线为轴线的正六棱柱面，破坏面与平面的交线（破坏平面的交线（破坏曲线）是一个正六边形。曲线）是一个正六边形。对于土，参数对于土，参数kf可以通过无侧限压缩试验得到，因可以通过无侧限压缩试验得到，因1=qu，2= 3=0， kf= qu/2，用不排

18、水三轴试验时，用不排水三轴试验时， kf= f=cu。0-)(-)(-)(221222232231133221RRRRRR或或或R21321321因为破坏曲面是柱体，所反映因为破坏曲面是柱体，所反映的结果即表示抗压强度与抗拉的结果即表示抗压强度与抗拉强度相等。强度相等。l Mises破坏准则破坏准则 因因Tresca准则在不知道主应力大小次序的情况下应准则在不知道主应力大小次序的情况下应用不便，且没有反映中间主应力的影响，因此，用不便，且没有反映中间主应力的影响，因此，Mises提提出了用外接圆柱面代替六棱柱面。出了用外接圆柱面代替六棱柱面。因为圆的半径为因为圆的半径为 ，所以圆方程为：，所以

19、圆方程为：式中式中r为应力偏量的大小：为应力偏量的大小：则则Mises准则可以写成：准则可以写成：或或破坏面与破坏面与平面的交线（破坏曲线）是一个圆（平面的交线（破坏曲线）是一个圆（Mises圆）圆）2/3R3222/Rr223212322212)(31Jr2223fk/RJ22132322212)()()(R 在平面应变条件下，例如假定中间应力在平面应变条件下，例如假定中间应力2=0，则，则Mises准则可以写成以下形式：准则可以写成以下形式：上式即下图所示的长轴为上式即下图所示的长轴为 ，短轴为，短轴为 的椭圆，同的椭圆，同时，在这种情况下时，在这种情况下Tresca准则的破坏曲线为图示内

20、接六准则的破坏曲线为图示内接六角形。角形。22331212RR2R3/2133.3 3.3 广义强度理论广义强度理论l Mohr-Coulomb破坏准则（破坏准则（M-C准则）准则）过一点的某个平面上剪应力达到该面的抗剪强度，则该过一点的某个平面上剪应力达到该面的抗剪强度，则该点发生破坏。点发生破坏。当参数当参数c、不变时，一点的破坏取决于该点的最大、最不变时，一点的破坏取决于该点的最大、最小主应力小主应力1、3，利用应力圆可以得到一点的极限平衡，利用应力圆可以得到一点的极限平衡条件：条件：tancf03312222131313131cossinsincossinsincoscotsincJI

21、fccf上式中的上式中的Lode角：角：在在平面上取平面上取xy坐标系，空间坐标系，空间P（1，2，3）在）在平面上平面上的投影点的投影点P的坐标：的坐标：根据定义：根据定义：3233231233sin323331JJJJ或sin62)(2231231yx0321sss,smii6)s3(s-6ss2s)s(s223131231yx上式是普遍成立的，对于上式是普遍成立的，对于平面平面m=0的应力点应仍然成的应力点应仍然成立。立。在在平面，平面， m=0，强度条件成为：，强度条件成为：上式即为破坏面与上式即为破坏面与平面的交线，即平面的交线，即平面上的破坏曲线，平面上的破坏曲线，如果投影点如果投

22、影点P(x，y)在破坏曲线上，则该点坐标应满足上在破坏曲线上，则该点坐标应满足上式，将坐标表达式代入上式，得到：式，将坐标表达式代入上式，得到：该方程在该方程在xy坐标平面上显示为不等边六边形，即坐标平面上显示为不等边六边形，即M-C准准则在则在平面上的破坏曲线为不等边六边形，因土的强度随平面上的破坏曲线为不等边六边形，因土的强度随静水压力静水压力m的增大而提高，因此的增大而提高，因此M-C准则的破坏面为不准则的破坏面为不等角的六棱锥面，中心线与等角的六棱锥面，中心线与L线重合。线重合。sincos223131sscssycx62sincos平面破坏曲线平面破坏曲线破坏面破坏面M-C强度理论考

23、虑了静水压力对强度的影响以及强度理论考虑了静水压力对强度的影响以及SD效应效应（抗压强度不等于抗拉强度），但没有考虑中间应力的（抗压强度不等于抗拉强度），但没有考虑中间应力的影响。（在解决平面应变问题或不等压固结问题时与实影响。（在解决平面应变问题或不等压固结问题时与实际不符，际不符，参见前面破坏曲线方式的形式，仅与参见前面破坏曲线方式的形式，仅与 s1 及及 s3 有关有关）l 广义广义Mises破坏准则破坏准则M-C准则是比较可靠的，但作为屈服面其锥尖和棱角使准则是比较可靠的，但作为屈服面其锥尖和棱角使计算复杂，为此，提出了很多改进方法，广义计算复杂，为此，提出了很多改进方法，广义Mise

24、s准则准则就是在就是在Mises准则的基础上考虑静水压力的影响，即准则的基础上考虑静水压力的影响，即Mises准则的推广形式：准则的推广形式：2221333330sincossinsinckkJIff平面应变条件平面应变条件M-C破坏条件破坏条件广义广义Mises准则在主应力空间为准则在主应力空间为M-C六边形锥体的内切圆六边形锥体的内切圆锥，因此该强度条件是锥，因此该强度条件是M-C强度条件的下限。强度条件的下限。通常也将取通常也将取、k参数的广义参数的广义Mises准则称为准则称为Drucker-Prager准则（准则（D-P准则），因此，准则），因此，D-P准则可以看成是对准则可以看成是

25、对M-C准则的拟合，而拟合可以采用多种方式：准则的拟合，而拟合可以采用多种方式：在在M-C准则中令准则中令=/6，等于采用，等于采用M-C锥体的内角圆锥，锥体的内角圆锥，相应的参数为：相应的参数为：在在M-C准则中令准则中令=-/6，等于，等于采用采用M-C锥体的外角圆锥，相应锥体的外角圆锥，相应的参数为：的参数为：sincossinsin336332ck，sincossinsin336332ck，D-P准则考虑了静水准则考虑了静水压力和中间应力对强压力和中间应力对强度的影响，但没有考度的影响，但没有考虑抗拉与抗压强度的虑抗拉与抗压强度的不同（不同（SD效应）。效应）。l Lade-Dunca

26、n破坏准则破坏准则D-P准则没有考虑准则没有考虑Lode角角的影响，的影响，Lade-Duncan提出了提出了适于砂土的适于砂土的Lade-Duncan破坏准则（破坏准则（L-D准则）：准则）：L-D准则的破坏曲线为准则的破坏曲线为外接外接M-C准则六角形的准则六角形的曲边三角形。曲边三角形。0127131333203121232331IkJIJfk/IIff/fffsin或破坏曲线破坏曲线3.4 3.4 强度理论的实验验证强度理论的实验验证 对于以上所讨论的破坏准则，是否适合于土体则需对于以上所讨论的破坏准则，是否适合于土体则需要通过必要的试验进行验证。实验时，通过实测土体破要通过必要的试验

27、进行验证。实验时，通过实测土体破坏时的应力并绘制破坏曲线，并检查该破坏曲线与破坏坏时的应力并绘制破坏曲线，并检查该破坏曲线与破坏准则的拟合程度。但是，一般土的破坏曲线是定义在平准则的拟合程度。但是，一般土的破坏曲线是定义在平均主应力一定的平面上均主应力一定的平面上（平面或与此平行的平面平面或与此平行的平面），而实际的剪，而实际的剪切试验并不一定能保证土体破坏的应力状态保持一定的切试验并不一定能保证土体破坏的应力状态保持一定的条件。条件。 针对以上问题，通常的做法是根据破坏时的主应力针对以上问题，通常的做法是根据破坏时的主应力1f、2f、3f 在主应力空间的位置在主应力空间的位置F点与坐标原点点

28、与坐标原点O点连点连成直线，该连线与成直线，该连线与1+2+3=3的平面上的交点为的平面上的交点为F点，点，根据试验结果绘制根据试验结果绘制F点在点在1+2+3=3平面上的轨迹，并平面上的轨迹，并根据该轨迹来讨论试验结果与破坏曲线之间的关系。其根据该轨迹来讨论试验结果与破坏曲线之间的关系。其原理在于，原理在于，Mohr-Coulomb准则，广义准则，广义Tresca准则、广义准则、广义Mises准则所显示的破坏曲面在主应力空间都是准则所显示的破坏曲面在主应力空间都是静水压力轴为对称轴的角锥或圆锥表面，这些破坏曲面静水压力轴为对称轴的角锥或圆锥表面，这些破坏曲面与与1+2+3=一定平面的交线（破

29、坏曲线）的形状与平均一定平面的交线（破坏曲线）的形状与平均主应力无关都是相似的主应力无关都是相似的（即使改变平均主应力，仍应保持形状的相似性，即使改变平均主应力，仍应保持形状的相似性，即实际即实际F处破坏曲线与设定平面处破坏曲线与设定平面1+2+3=一定一定上的破坏曲线具有相似性上的破坏曲线具有相似性）。根据。根据下图所示，主应力空间的原点下图所示，主应力空间的原点O与破坏时的应力状态与破坏时的应力状态F点点连线连线OF的长度为：的长度为：其方向余弦分别为：其方向余弦分别为：由此可知直线由此可知直线OF的直线方程为：的直线方程为：根据上式，该直线方程也可写成以下形式：根据上式，该直线方程也可写成以下形式：232221fffRRRRfzfyfx/,/,/321fffRRR332211ffff3132121ABCOOFFABC平面的法线平面的法线1231+ 2+ 3=3xy破坏时的应力在正八面体面上的投影破坏时的应力在正八面体面上的投影该直线与平面该直线与平面1+2+3=3平面交点平面交点F的