版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
1、会计学1天津大学概率论与数理统计随机变量函天津大学概率论与数理统计随机变量函数数问题的提出问题的提出在实际中,人们常常对随机变量的函数更感兴趣在实际中,人们常常对随机变量的函数更感兴趣. .42d求截面面积求截面面积 A A = = 的分布的分布. .例如,已知圆轴截面直径例如,已知圆轴截面直径 d d 的分布,的分布,已知已知t=tt=t0 0 时刻噪声电压时刻噪声电压 V V的分布,的分布,求功率求功率 W=VW=V2 2/R/R ( (R R为电阻)的分布等为电阻)的分布等. .这这类类问题无论在实践中还是在理论上都是重要的问题无论在实践中还是在理论上都是重要的. .问题的一般提法问题的
2、一般提法?)(的分布的分布变量变量的分布求得随机的分布求得随机量量如何根据已知的随机变如何根据已知的随机变XfYX 第1页/共30页Ch2-3方法方法 将与Y 有关的事件转化成 X 的事件求求 随机因变量Y= g ( X )的密度函数 或分布律)(yfY问题问题 已知已知 r.v. X 的d.f.)(xfX或分布律.第2页/共30页Ch2-4设 r.v. X 的分布律为, 2 , 1,)(kpxXPkk由已知函数 g( x)可求出 r.v. Y 的所有可能取值,则 Y 的概率分布为, 2 , 1,)()(:ipyYPikyxgkki离散型离散型 r.v.函数的分布函数的分布第3页/共30页1
3、1、一维离散型随机变量函数的概率分布律、一维离散型随机变量函数的概率分布律例例1:已知已知XPX-1 0 10.20.10.7求:求:Y=2X的概率分布律的概率分布律YPY-2 0 2 0.20.1 0.7 12 3YkkXXP Xxp kyg xYg X设随机变量 的概率分布律为, ,若 是一元单值实函数,则 也是一个随机变量,如何求 的概率分布律?第4页/共30页设随机变量X的概率分布律为求Y=2X2 +1的概率分布律。解例2由题设可得如下表格 X1 0 1 2pk 0.2 0.3 0.4 0.1x-1012Y=2x2+13139概率0.20.30.40.1所以,y=2x2+1的概率分布律
4、为 Y 1 3 9 pY 0.3 0.6 0.1第5页/共30页一般地一般地12 kXxxx12 XkPppp12() ()()()kYg Xg xg xg x: ,1,2,3,kiiikk g xyYg XP YyP g Xyp i或第6页/共30页例例3 3:设随机变量:设随机变量X X的概率分布律为的概率分布律为解Y -1 0 1 PY 2/15 1/3 8/15 1 2 3 Xn231111 2222XnPsin2YX求的概率分布律。第7页/共30页第8页/共30页2,0, 1, .例 4: 设求 随 机 变 量;的 分 布 . XNXYX0 111 22YPY答案第9页/共30页二、
5、连续型随机变量函数的概率密度二、连续型随机变量函数的概率密度 设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为 ,求随,求随机变量机变量Y=g(X)(g连续连续)的概率密度的概率密度. )(xfX第一步第一步 求出求出Y的分布函数的分布函数 的表达式的表达式 ;)(yFY第二步第二步)()(yFyfYY 1 1一般方法一般方法分布函数法分布函数法 yxgXlXyYdxxfdxxflXPyFy)()()(因为FY(y)=PYy=Pg(X)y,设ly=x|g(x)y则第10页/共30页)()(yFyfyY ,2828 yyfX第二步第二步 由分布函数求概率密度由分布函数求概率密度. .d)(28 x
6、xfyX ., 0, 4280,212881)(其其他他所所以以yyyfY ., 0,168,328其其他他yy.82., 0, 40,8)(的概率密度的概率密度求随机变量求随机变量其他其他的概率密度为的概率密度为设随机变量设随机变量XYxxxfXX第一步第一步 . )(82yFXYY的分布函数的分布函数求求)(yYPyFY 82yXP 28yXPxxfyXd)(28 解解例例2).()( . 2)( . 1yFyfyFYYY ;求求第11页/共30页, ( )PPYyFyYyaXby解:先求分布函数。对任意实数2, 例5:设随机变量,求的概率密度函数。 XNYaXb 0( )PYXaybyb
7、FyXFaa当时,所以, 222()11( )2y b aaYXybfyfeaaa 第12页/共30页 01 1YXaybybFyPXPXaaybFa当时 ,222()11( )2y b aaYXybfyfeaaa 综上得 2,YN aba第13页/共30页22( ,), (0), (, () )XNYaXb aYN aba 设则2( ,),(0,1)XXNN 若则n 推论n 定理正态随机变量的线性函数服从正态分布。-正态随机变量的标准化 第14页/共30页.)()(),(),(max(),(),(min(的反函数的反函数是是其中其中xgyhgggg ., 0, )()()(,)(,),()(
8、,),(其他其他概率密度为概率密度为其其变量变量型随机型随机是连续是连续则则的可导函数的可导函数内严格单调内严格单调为为又设函数又设函数中中其其的具有概率密度的具有概率密度设随机变量设随机变量yyhyhfyfXgYxgxxfXXYX定理定理2.2.公式法公式法第15页/共30页证:只证证:只证g g (x)0(x)0的情况。此时的情况。此时g(x)g(x)在在(-,+ )(-,+ )严格单调增加,它的反函数严格单调增加,它的反函数h(y)h(y)存在,且在存在,且在(,)严格单调增加,可导,现在先来求严格单调增加,可导,现在先来求Y Y的分布函的分布函数数F FY Y(y)(y)。 yhXdx
9、xf因为因为Y=g(X)Y=g(X)在在(,)取值,故当取值,故当yy时,时, F FY Y(y)=PYy=0(y)=PYy=0;此定理的证明与前面的解题思路类似此定理的证明与前面的解题思路类似. .当当yy时,时, F FY Y(y)=PYy=1(y)=PYy=1;当当yy0(x)0(或恒有或恒有g g (x)0)(x)0),此时此时 )(, )(max,)(, )(minbgagbgag 若若g g (x)0, (x)0, 同理可证同理可证 其其他他0)()()( yyhyhfyfXY若若g(x)不是单调函数不能用此定理不是单调函数不能用此定理.第17页/共30页第18页/共30页 , (
10、 )( )( ) | ( )|XYXXfxyg xYg Xfyfh yh yh yy g x公式法:一般地,若 是单调可导函数,则其中是的反函数。注注:1 1 )只有当只有当g(x)g(x)是是x x的单调可导函数时,才可用以的单调可导函数时,才可用以上公式推求上公式推求Y Y的的概率概率密度函数。密度函数。 2 2) 注意定义域的选择。注意定义域的选择。第19页/共30页 (0,1), 1 22ln例6:设随机变量求的概率密度函数;的概率密度函数. XXUYeYX 1, 0,1 ;(0,1),0, XxXUfx解:因为所以 其他. 10,0 0XYYeyFyP Yy因为所以,当时, 0Yfy
11、 从而,第20页/共30页 0XYyFyP YyP ey当时,lnlnXP XyFy 1/ , 0ln1;1ln0, ln0 ln1;YXyyfyfyyoryy1/ , 1,0, 01 .yyeyor ye 1/, 1, 0, .YYyyefy综上得 的概率密度函数为:其他第21页/共30页 22lnYF yP YyPXy2yP Xe21yXFe 21, 0, 20, .yYYeyfy综上得 的概率密度函数为:其他20, 0;1, 0.yyey 第22页/共30页例例7.7.设设X X U(-1,1),U(-1,1),求求Y=XY=X2 2的分布函数与概率密度。的分布函数与概率密度。 dxxf
12、yFxxgyxxfyxXYX22)(01121其它ydxFyyY21其它01021)( )(yyyFyfYY当y0时0)(yFY当0y1时当y1时1)(yFYyy第23页/共30页 222112()30dXYXxyxfxYg XXFyP YyP Xyfxx ,解:其他; 2101,=d33yYyyyFyPyXyx当时0( )0YyFy当时,;4( )1YyFy当时,; 1114d11 =0dd33yYXyyyyFyfxxyxx当时 ,2. U1,2 ,例8设求的分布函数与概率密度函数。XYX第24页/共30页1013d()1()14d60 YYyyFyfyyyy,;,;,其 他 .0 0 ;2
13、013()1, 1431, 4yYyyyFyyy, , ;Y所以,随机变量 的分布函数为:概率密度函数为:第25页/共30页例9:设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数为2的指数分布,每当设备出现故障时就自动关机,而在无故障的情况下,设备工作8小时便自动关机,试求该设备每次开机至关机这段工作时间Y的分布函数。 例:设随机变量X服从参数为2的指数分布,令Y=minX,8,求随机变量Y的分布函数第26页/共30页第27页/共30页0 -1 分 布二 项 分 布 B ( n ,p )泊 松 分 布 P ( )离离 散散 型型 分分 布布 律律归 一 性分 布 函 数 与 分 布 律 的 互 变概概 率率 计计 算算分分 布布 函函 数数归 一 性概概 率率 计计 算算单单 调调 性性正 态 分 布 的 概 率 计 算均 匀 分 布 U (a ,b )正 态 分 布
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 2024年汽车冷却风扇合作协议书
- 一年级小学生洗碗写话10篇
- Thalidomide-5-piperazine-C-piperidine-CO-C8-NH2-生命科学试剂-MCE
- Tetradecyl-palmitate-Myristyl-palmitate-生命科学试剂-MCE
- Terazosin-hydrochloride-Standard-生命科学试剂-MCE
- Tectochrysin-Standard-生命科学试剂-MCE
- 统考版2025届高考地理一轮复习综合集训21人口的数量变化和人口的合理容量含解析
- 2024-2025学年高中物理第四章机械能和能源第4节机械能守恒定律教案2粤教版必修2
- 2025届新教材高考地理一轮复习第十一单元不同类型区域的发展第二节资源枯竭地区的发展-以德国鲁尔区为例产业结构转型地区的发展-以珠三角地区为例学案鲁教版
- 2024-2025版高中地理第三章地理信息技术的应用单元素养评价含解析中图版必修3
- 2024时事政治考试题库(100题)
- DL∕T 5776-2018 水平定向钻敷设电力管线技术规定
- 23001料仓制作安装施工工艺标准修改稿
- 学习的最高境界叫巅峰学习状态
- 3211 城市公交企业安全风险分级管控指南
- 行政管理 外文翻译 外文文献 英文文献 全球媒体和政治:跨国沟通制度和公民文化
- 北京市房屋建筑和市政基础设施工程危险性较大的分部分项工程安全管理实施细则
- 议论文段落写作——茹清平
- (完整版)驾驶员违章违规处罚办法
- “六项机制”工作实施方案
- 精神病问诊过程示例
评论
0/150
提交评论