定积分的概念与性质ppt课件

1、不定不定积分积分定定积分积分概念概念性质性质 计算计算 运用运用5.2 微积分根本公式5.3定积分的换元积分法与分部积分法5.4 广义积分5.5定积分的运用5.1 定积分的概念与性质了解与掌握定积分的概念与性质了解与掌握定积分的概念与性质 ；掌握牛顿莱布尼兹公式掌握牛顿莱布尼兹公式 ；本章根本要求本章根本要求了解变上限积分函数的概念，会求变上限积分函数了解变上限积分函数的概念，会求变上限积分函数的导数；的导数； 了解定积分概念产生的背景了解定积分概念产生的背景 ；约约1010学时学时掌握定积分的换元积分法与分部积分法掌握定积分的换元积分法与分部积分法 ；了解无穷限积分的概念，会求简单的无穷限积

2、分；了解无穷限积分的概念，会求简单的无穷限积分；掌握定积分的几何意义掌握定积分的几何意义 。掌握定积分在经济上与几何上的运用，会求简单的掌握定积分在经济上与几何上的运用，会求简单的实践运用问题实践运用问题 。新课引入新课引入? ? 我们以前学过图形的面积计算，请我们以前学过图形的面积计算，请大家回想一下，有哪些计算公式？大家回想一下，有哪些计算公式？ 正方形、矩形、三角形、梯形、圆、正方形、矩形、三角形、梯形、圆、椭圆等。椭圆等。5.1 定积分的概念与性质规那么规那么图形图形A? ?不规那么图形不规那么图形如图如图的面积如何求？的面积如何求？? ?)(xfy )(xgy ax bx 1. 曲边

3、梯形的面积曲边梯形的面积1A2A上述图形的面积可归结为以下两个图上述图形的面积可归结为以下两个图形的面积之差，即形的面积之差，即12AAA把这类几何图形定义为曲边梯形把这类几何图形定义为曲边梯形A)(xfy ax bx ax bx )(xfy bx ax )(xgy )(xgy 由延续曲线由延续曲线)0)()(xfxfy所围的平面图形称为曲边梯形。所围的平面图形称为曲边梯形。与三条直线与三条直线如何求曲边梯形的面积？如何求曲边梯形的面积？?Abyx0a)(xfy ax bx 用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积bxax ,轴及 x根本思绪根本思绪:例如例如如何才干使如何

4、才干使 这种近似代取更准确这种近似代取更准确当曲边梯形的底边趋近于零时当曲边梯形的底边趋近于零时,矩形面积无限地趋近于曲边梯形的面积矩形面积无限地趋近于曲边梯形的面积求曲边梯形的详细方法求曲边梯形的详细方法:将曲边梯形分成无穷多个小的曲边梯形将曲边梯形分成无穷多个小的曲边梯形在每个小曲边梯形处作一个矩形近似代取小的曲边梯形在每个小曲边梯形处作一个矩形近似代取小的曲边梯形1. 1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积abxyoabxyo 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积形面积四个小矩形四个小矩形九个小矩形九个小矩形用矩阵面积近似求由例.积。所围成的

5、平面图形的面直线曲线0, 1, 0,32yxxxy 察看以下演示过程，留意当分割加细时，矩形察看以下演示过程，留意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系面积和与曲边梯形面积的关系分割点上和下和积分近似值311.05556230.1304351.00095430.0697671.00027630.0476191.00013830.0361451.00007103 0.0291261.00005123 0.02439021.00003处理步骤：处理步骤：在区间在区间a,b内插入内插入n-1个分点个分点 ：把区间把区间a,b分成分成n个小区间个小区间第第i个小区间的长度记为个小区间的长度记为

6、(1,2, )ix in, ,即即bxxxxxxxannii11210011211 , , , ,iinnx xx xxxxx1(1,2, )iiixxxin 1.1.曲边梯形面积的求法曲边梯形面积的求法(1)(1)分割分割ix2x1x1ixbaix在第在第i个小区间上任取一点个小区间上任取一点 矩形的面积矩形的面积相应小曲边梯形的面积相应小曲边梯形的面积用以用以,即即 ( )ifix( )iifxiA为宽，为宽，为高的小为高的小近似替代近似替代( )(1,2, )iiiAfxin (2)(2)近似替代以直代曲近似替代以直代曲ix2x1x1ixbaiiiixx1ix( )ifiix2x1x1i

7、xbai(4)(4)取极限取极限令令11max,nxxx, ,那那么么(3)(3)近似求和近似求和11()nnniiiiiAfx01lim()niiiAfx将将n n个小矩形面积之和个小矩形面积之和)(1iniifx作为曲边梯形面积的近似值，即作为曲边梯形面积的近似值，即四个步骤：分割、近似替代、近似求和、取极限近于零每个小区间的长度均趋时当,0? ?且且tb( ),vv t设某物体作变速直线运动设某物体作变速直线运动,知速度知速度( )0,v t 如何计算物体从时辰如何计算物体从时辰ta到时辰到时辰所经过的路程？所经过的路程？思绪：在一个很短的时间间隔iitt,1内，以iitt,1内恣意一时

8、辰的瞬时速度近似替代该区间内恣意一点的速度，即以匀速代变速。2.2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程处理步骤：处理步骤：第第i个小区间的长度记为个小区间的长度记为 把时间区间把时间区间a,b分成分成n个小区间个小区间01211iinna tttttttb 011211 , , , , , iinnt tt ttttt1(1,2, )iiitttin (1)(1)分割分割在区间在区间a,b内插入内插入n-1个分点个分点 ：(3)(3)近似求和近似求和(2)(2)近似替代近似替代( (以匀速代变速或以不变代变以匀速代变速或以不变代变) )( )(1,2, )iiisvtin11()nnniii

9、iisvtniiitvS10)(lim(4)(4)取极限取极限, ,那那么么令令init1max,1iiitt任取的瞬时速度以时刻i iv近似替代iitt,1区间内恣意一点的速度，即以匀速代变速。2.2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程01lim()niiiAfx1.1.曲边梯形的面积：曲边梯形的面积：niiitvS10)(lim?Abyx0a)(xfy ax bx 0ytb( ),vv t速度速度从时辰从时辰ta到时辰到时辰所经过的路程所经过的路程:四个步骤：分割、近似替代、近似求和、取极限 以上两个问题虽然研讨对象不同，但是从数量关系上看都是以上两个问题虽然研讨对象不同，但是从数量关系

10、上看都是要求某种整体的量，且处理问题所用的思想方法也一样，经过：要求某种整体的量，且处理问题所用的思想方法也一样，经过： 分割分割把整体的问题分成部分问题；把整体的问题分成部分问题； 近似替代近似替代在部分上在部分上“以直代曲或以不变代变以直代曲或以不变代变 求出部分的近似值；求出部分的近似值； 近似求和近似求和得到整体量的一个近似值；得到整体量的一个近似值； 取极限取极限得到整体量的准确值得到整体量的准确值. . 以上四步在数量上都归结为对某一函数以上四步在数量上都归结为对某一函数 )(xf施行构造一样的数学运算施行构造一样的数学运算确定一种特殊的确定一种特殊的和式和式“iniixf1)(在

11、科学技术和消费实践中还有许多问题也都可以归结为求这种在科学技术和消费实践中还有许多问题也都可以归结为求这种和式的极限，如今抛开其问题的实践意义，将它们数量关系上和式的极限，如今抛开其问题的实践意义，将它们数量关系上的本质特性加以概括，笼统出来得出定积分的定义的本质特性加以概括，笼统出来得出定积分的定义. .的极限的极限. .定义定义51 )(xfy , a b , a b1nbxxxxxxxannii11210011211 , , , ,iinnx xx xxxxx1(1,2, )iiixxxin n 设函数设函数 在区间在区间 上有定义，在上有定义，在 中插入个分点，中插入个分点，把区间分成

12、把区间分成 个小区间个小区间每个小区间的长度依次为每个小区间的长度依次为01( )lim( )nbiiaif x dxfx在每个小区间在每个小区间 上任取一点上任取一点 ，作函数值作函数值 与小区间长度与小区间长度 的乘积的乘积 ，并作，并作和式和式称为积分和式称为积分和式记记 ，假设当，假设当 时，和式的极限时，和式的极限 存在，那么称这个极限值为函数存在，那么称这个极限值为函数 在在上的定积分上的定积分简称积分简称积分，记作，记作 ，即，即1, iixx1()iiiixx( )ifix( )iifx1( )niiifx11max,nxxx001lim( )niiifx( )f x , a

13、b( )baf x dxbaxxfd)(iniixf10)(lim积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和称为积分区间,ba定理定理51 闭区间闭区间a,b上的延续函数上的延续函数f(x)必可积必可积 。定理定理52 在闭区间在闭区间a,b上只需有限个延续点，且上只需有限个延续点，且有界的延续函数有界的延续函数f(x)必可积必可积 。阐明阐明. 定积分定积分的值与区间的值与区间的分法以及点的分法以及点的取法无关；的取法无关；2. 定积分只与被积函数和积分区间有关，而与积分定积分只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量用什么字母表示无关，即有变量用什么字母表示无关，即有3.规定规定( )

14、baf x dx , a bi( )baf x dx( )baf t dt( )baf u du( )( )baabf x dxf x dx aadxxf0)(.由延续曲线)(xfy )0)(xf轴及直线xbxax ,轴所围成的曲边梯形的面积：badxxfA)(.5.作变速直线运动的物体)(tvv 内所经过的路程为：在时间段ba,dttvSba)(AA(1)Axxfxfbad)(,0)(baxxfxfd)(,0)(2)A有时为正，有时为负时有时为正，有时为负时(3)( )f x54321d)(AAAAAxxfbaabyx1A2A3A4A5A课堂练习课堂练习 ：用定积分的几何意义计算。：用定积分

15、的几何意义计算。?4)4(202dxx?)2(badx?) 1() 3(10dxxab23?) 1 (21dx3dxxSa3sin)(dxxSb013)(433110)()()()(dxxfdxxfdxxfSc 课堂练习课堂练习2 ：用定积分表示阴影部分的面积。：用定积分表示阴影部分的面积。性质性质1性质性质2可以推行可以推行 ( )( )d( )d( )dbbbaaaf xg xxf xxg xx( )d( )dbbaakf xxkf xx( k 为常数)性质性质 ( 积分区间可加性积分区间可加性)( )d( )d( )dbcbaacf x xf x xf x x)(Rcabbadxxfxf

16、)()(aadxxf0)(abdxba性质性质性质性质 在区间在区间 , a b上上 , a b最小值和最大值最小值和最大值,那么那么 上上在区间在区间性质性质假设假设mM( )f x分别是分别是和和( )( )f xg x( )( )bbaaf x dxg x dx()( )()bamb af x dxM b a( )yf x( )yg x上连续，在区间设,)(aaxf 为奇函数，则若)(xfaadxxf0)( 为偶函数，则若)(2xfdxxfdxxfaaa0)(2)(性质性质(2)奇函数的图像关于原点对称奇函数的图像关于原点对称(1)偶函数的图像关于偶函数的图像关于y轴对称轴对称 00(

17、)( )( )aaaaf xdxf xdxf xdx0A A 00( )( )( )aaaaf xdxf xdxf xdx022( )aA AAf xdx( )yf x0yxaaAA( )yf x0yxaaAA例例2 2不计算定积分的值，比较以下定积分大小不计算定积分的值，比较以下定积分大小 (1)由于当由于当1100(1)xdxxdx与2211(2)ln(1)xdxx dx与01x ,xx1100 xdxxdx所以所以时，时，(2)由于当由于当12x ln(1),xx时，时， ?cos21111dxxx ?4sin22222dxxxxx例例0 0 2121)1ln(dxxxdx所以课堂练习课

18、堂练习 ：1比较定积分比较定积分 与与 的大小的大小40sin xdx40cosxdx答案：答案： 4400sincosxdxxdx2比较定积分与比较定积分与 的大小的大小10 xdx10dxex答案：答案： )10 xdx10dxex性质性质 ( 积分中值定理积分中值定理 )( )( )(),()baf x dxfb aab假设函数假设函数( )f x , a b , a b,i通常我们称通常我们称1( )( )baff x dxb a( )f x , a b使得使得至少存在一点至少存在一点上上上延续，那么在区间上延续，那么在区间在闭区间在闭区间上的平均值。上的平均值。 在在为函数为函数积分中值定理的几何