第十九章量子物理

1、第十九章量子物理对微观粒子领域的研究（1）微观粒子运动有着与宏观物体运动不同属性和规律。（2）经典的物理理论遇到困难和挑战。（3）建立描写微观世界物质基本运动规律的理论量子论（量子力学）。* 学习建议（1）实验现象经典理论的困难新的理论（假设） （2）不同于经典物理的全新思维和方法，领悟微观粒子的属性 一、热辐射1现象：任何温度下，由于原子，分子运动而电磁辐射能量的现象。 2热辐射的研究： （1）热辐射与温度波长等有关（ ）T ,（2）热辐射的两个物理量辐出度（T）:单位面积,单位时间,所辐射的各种波长电磁能量总和,有)(TM 0 d)( )(TMTM3研究（绝对）黑体辐射的重要性黑体模型吸收

2、一切外来电磁辐射 开有小孔的空腔上小孔口表面 单色辐出度（ ）： 单位面积、单位时间内，单位波长范围内所辐射的电磁能量： d ,T)()(TMTM)(d4黑体辐射的研究装置（图示）实验结果黑体辐射定律（1）斯特藩玻耳兹曼定律 0 4)()(TdTMTM4281067. 5KmW黑体的辐出度与黑体的热力学温度四次方成正比。 （2）维恩位移定律 bTm kmb 310898. 2 当黑体温度升高时，与单色辐出度峰值对应的波长向短波方向移动 以上两个定律，虽然用经典理论导出，然而在一定范围内较好地与结果相符 例：实验测得太阳 ，若把太阳作为黑体，试估计（1）太阳表面温度；（2）太阳每单位表面上所发射

3、的功率nmm490 解： （1）由，bTm KbTm31090. 5 得（2）由得即为单位面积上发射功率4TM M271087. 6 mWM经典理论的困难瑞 利 金 斯 公 式（经典电磁理论和经典统计理论）kTcM42 当，出现“紫外灾难”（）)( )( , 0TM)(TMo5普朗克量子假设 辐射黑体的分子、原子运动，可看作谐振子，它发射和吸收辐射能量是某些分立状态，是最小能量的整数倍，即 ,2 ,nhhhsJhnnh341063. 6 , , 2 , 1 能量量子数)(TMo2n讨论：讨论：（1）理论结果与实验结果相符假设的正确12)(52kThcedhcdTM（2）“量子”的概念 量子（化

4、）：微观世界的一个特殊概念，按某种规律取分立值的物理量如：电荷量子（化） 1,2,n 101.60 -19 C ene, 2 , 1 1063. 6 34nsJhnh 能量量子（化）（3）普朗克假设的重大意义 与经典理论有本质的不同（连续分立能级） 微观世界运动有着不同的属性和规律（1900年12月14日量子论的诞生） 例：质量 m=0.3kg 物体，悬挂于的弹簧上，若振幅，由于有摩擦等耗散能量求（1）能量减少是连续的还是不连续的（2）计算该弹簧振子最初的量子数 130 mNkmA1 . 0 ? n解：该振子频率Hzmk5 . 021 又，最初能量为 JkAE22105 . 121（ 1 ）

5、若 系 统 能 量 是 量 子 化 ，其能量减少是以最小单元减少，其占有h322102.221kAhE无法测量和辨别出其不连续性！即仍可视为能量连续减 少。（2）量子数301045 En在能量范围内，可视能量是连续的，不显示“分立”，也就是不必考虑其不连续性！J2105 . 10 二、光电效应：光照射下，电子从金属表面逸出（光电子）的现象 1实验规律（1）截止频率：对某一种金属只有当入射光频率大于某一频率时，电子才能从金属表面逸出（红限）（2）遏止电势差：与入射频率具有线性关系 （3）光电效应“瞬时性”：（驰豫时间）s9102经典理论的困难，（光的波动理论）“电子受光照作受迫振动，吸收能量后逸

6、出表面”，无法解释上述实验结果！3爱因斯坦的光量子假想光束可以看成由微粒（光子）构成的粒子流（光量子），在真空中以运动，频率为的光子能量为chWmvh221由此得爱因斯坦方程式中为逸出功， 为电子从表面上逸出时初动能 W221mv讨论：（1）方程符合能量守恒定律（2）光子假说和方程可以解释光电效应的规律4光的波粒二象性（1）光既有波动性，又有粒子性，即具有波粒二象性（2）讨论光的传播时波动性 讨论光与微观粒子相互作用时粒子性（3）光的波粒二象性光具有波动性和粒子性两个侧面，是微观粒子的基本属性，在某些情况下突出显示某一个侧面作为粒子，有和能量），（，mvpvmE对于光 ，则有或 00 mcEp

7、/ mcp c ,作为波有：hphE，所以两者关系为20222cmcpE 由相对论知* 普朗克常量把光的波动性和粒子性 联系起来了！),(三、康普顿效应 1在射线散射中除了有原波长射线外，还有比原波长较长的射线，这种波长改变的散射，称为康普顿效应。X2实验及其结果 ,00有关与散射角外除3经典理论的困难经典电磁波理论经典电磁波理论受迫振动受迫振动频率（波长）相同频率（波长）相同),(pE4光子学说的解释(定性)：入射光的光子能量为动量为与自由电子相碰撞后的能量为，则)(000hE 000ehp 0hhE0定量 （能量） （动量） 碰撞前 0 )(20000000，电子）（，光子cmechpeh

8、h 碰撞后 )( 2反冲电子，电子，光子vmmcehheh 00eh vm 所以由能量守恒得 2200mchcmh 动量守恒 vmeheh00解得： 2sin2)cos1 (2000cmhcmh 其中 mcmh1201043. 2讨论： （1）解释散射现象（2）改变量很小，只有对入射光的波长很小（短波）情况下才能观察到 （3）与散射物质有关eh 00eh vm例：波长为的射线，其散射角，求（1）波长改变；（2）反冲电子能量 （3）反冲电子动量m100102 . 0 X2 m10010224. 0eV107 . 6 106 .10)(3190000JhchchchhEE（2）反冲电子能量由能量守

9、恒：mcmh12201043. 22sin2 解： （1）eh 00eh vmp（3）反冲动量由动量守恒（图示）2141 752. 0cossincos0phph2122202hp12104 . 4smkgeh 00eh vmp四、氢原子的玻尔理论 1氢原子光谱：线光谱，不是连续光谱2实验规律)( , 5 , 4 , 3 )(246.356222巴末耳 nnmnn（里得伯）5 , 4 , 3 )121(122nnR1710097. 1 mR3经典理论的困难 )()(连续光谱氢原子光谱线不稳定氢原子结构的稳定性4玻尔氢原子理论的假设（1）电子在一定轨道上运动，但不辐射电磁波，处于稳定状态，且有一

10、定能量（定态假设）（2）电子绕核运动轨道，在下述条件下稳定，即电子角动量满足1,2 2nhnmvrL 主量子数（量子化条件）（3）电子从定态跃迁到定态时，发射光子)(iEifEE fiEEh（电子处在一系统不连续的能量状态）（电子处在一系统不连续的能量状态）三条假设的应用（1）电子轨道半径电子绕核运动 nr220241nnnrermv 由于电子运动角动量满足2hnrmvnn nnmrnhv2 所以 , 3 , 2 , 1 2124220nnrnmehrn得 其中，即为的轨道半径（玻尔半径）mmehr1122011029. 5 1 n（2）原子能级nE)41(21202nnnremvE 3 ,

11、2 , 1 182122204 nnEnhmeEn原子能量 所以得 其中 （基态能量n=1，n1为激发态）eVhmeE6 .13822041 即原子能量是不连续的分立的能级（3）氢原子光谱 fiEEh)11(8223204ifnnhmeifnn 与实验结果一致5讨论：（1）氢原子能级公式是正确的立的能级实验证实原了中存在分与量子力学的结果相同pIo)(0vU9.48.97.14 级证实原子中存在分立能图图实验结果实验装置)(0UIp弗兰克弗兰克赫芝实验赫芝实验（2）氢原子理论对类氢原子（一阶电子的原子和离子）适用（3）局限性：不能解释多电子原子等光谱现象半径典半量子的凑合五、实物粒子的波粒二象

12、性 1 提 出 ： “ 整 个 世 纪 以 来 ， 在光 学 上 ， 比 起 波 动 的 研 究 方 面来说，是过于忽视了粒子的研究方面，在物质粒子理论上，是否发生了相反的错误呢？是不是我们把关于粒子的图象想得太多，而过分地忽视了波的图象”。2 德布罗意假设“一切实物粒子都具有波粒二象性一切实物粒子都具有波粒二象性”那么实物粒子的波长，（频率）为多少呢，现用类比方法引出： hEmvh 2 chmhphE光子实物粒子 22021 , cvmmmvpmcEhEmvhph/所以实物粒子波长为 （德布罗意波，物质波）),(Epm粒子性 波动性),(例：小球 ， 其波长为多少？110 smvkgm310

13、10mmvhph33106 . 6mph141098. 1 cmeUv 2一电子经加速后的波长 VU100 kg)1011. 9(31 m若一粒子 16sm100 . 5vkg107 . 627 m，eUmv 221 因 为 所以 m102 . 1210 emvhph讨论：讨论：实物粒子波动性在什么情况下显示3德布罗意波的实验证明（1）戴维孙革末电子衍射 电子具有波动性结论出现明显选择性实验显示探测器中电流实验装置如图:kd sinemUdkh21sin emUh2 （2）GP汤姆孙电子衍射实验 （3）其它实验粒子（质子，中子，等）的衍射现象4德布罗意波的统计解释光波与物质波对比所以：粒子在某

14、处附近出现的概率与该处波的强度（振幅的二次方）或正比光子出现的概率少光子数出现多处暗亮光子波振幅的二次方成正比小处波强度大暗亮波动 )(:)(:)()(:光的衍光的衍射现象射现象德布罗意波统计解释“在某处德布罗意波的强度与粒子在该处出现的概率成正比”。六、不确定关系 1问题：对具有波粒二象性的粒子如何研究其运动？用什么物理量来确定其运动？按以往方法，在质点运动中，我们采用质点确定的位矢和速度（动量）来研究其运动状态，对二象性粒子可行吗？2不确定关系首先：电子通过狭缝时，如果欲确定其位置，则其最大位置不确定度为bx 其次：电子通过狭缝时，其速度（动量）在沿轴方向分量的不确定度为x（单缝中央明纹半

15、角宽度 ）hpb又sinbhbpppx sin设电子沿轴通过狭缝射向屏，在屏上形成单缝衍射图象，如图所示oy所以电子通过狭缝，其坐标和动量都存在各自的不确定范围，且有hpxx 考虑到一般情况，有hpxx 该式称为不确定关系不确定关系，其表明对微观粒子位置（坐标）的不确定度越小，则在该坐标方向上动量的不确定度越大。即动量越不准确。反之亦然。结论结论：对于微观粒子不能同时用确定的位置和确定的动量来描述其运动！3讨论（1）这是微观粒子具有波动性的反映是二象性的必然结果（2）普朗克常量是一个判据（如同光速c）,ph hpxx 若 （在具体某一问题中），则即可不考虑微观粒子的波动性，可以同时准确确定粒子

16、的位置和动量，反之不然！0h0,0 px14100 . 2 smkgp（3）例：设子弹，其动量不确定量为求其位置的不确定量,10103kgm 1200 smvpp%01. 0 解： 因为 10 . 2 smkgmvpmphx30434103 . 3100 . 21067. 6 所以因此，子弹可以用位置和动量来描述其运动！（足够精确！）132108 . 1smkgp128108 . 1smkgmvp解 mphx23234107 . 3108 . 11067. 6所以 又例：一电子 ， ，其中计算其位置不确定量为多大kgm311011. 91200smvpp%01. 0在经典（宏观）运动中， 较小

17、，但在微观范围运动中，其值远大于原子的线度，因此其位置不能确定！x结论： （）经典理论，量子理论之间的一个“判据” （）经典物理的局限性和适用范围七、量子力学简介微观粒子具有波粒二象性又遵循不确定关系；因此不能用经典的方法（ 以及）来描述和研究，那么vr ,dtvdmF ?怎样微观粒子的运动方程又何描述微观粒子的运动状态如 1波函数：描述微观粒子的运动状态的物理量类比 )(2cos),(xvtAtxy)(2xvtiAey 或写成（实数）（1）引入：微观粒子具有波动性，有hphE )(20),(xvtietx)(20pxEthie 所以 （2）波函数物理意义前述德布意波的统计意义指出 粒子数分布

18、（粒子出现的概率）粒子的德布罗意波的强度波函数的平方所以：在空间某处波函数的二次方与粒子在该处出现的概率成正比波函数的统计意义（3）几点说明(a) 波函数本身没有意义，只有其二次方才有意义（统计意义）(b) 或称为概率密度，粒子出现在某点附近处单位体积元中的概率2*(c) 归一化条件 由上知，在某点附近体积元中，粒子出现的概率为dVdVdV*|2 1|2dV则有： 2薛定谔方程：微观粒子所遵循的运动方程不是由基本原理、定律等严密推导而得，是与波动现象类比而建立起来的，它正确与否，只能由实验来验证)(20),(pxEthietx 设质量为，动量为，能量为E的自由粒子，沿轴运动，其波函数为mpx（

19、1）可以得到一维自由粒子含时的薛定谔方程thixmh 282222（）（2）若粒子在势场中，可得pE一维运动粒子在势场中 含时薛定谔方程)(kpEEEpE)(20),(pxEthietx thiExmhp282222（）（3）若微观粒子的仅是坐标函数与时间无关，将式Ethipxhieetx220),( )()(tx写成代入式（2）得0)()()(82222xEEdxxdmhp其中 （仍称波函数） pxhiex20)( )(x（2）方程解得，波函数为 ，则0)()(8)(2222xEEhmdxxdp或写成 这就是一维运动粒子的定态薛定谔方程讨论：讨论：Ethiextxtx2)()()(),( （

20、1）定态是指：势能函数，系统能量，粒子的概率密度均不随时间而改变pEE*, （3）波函数连续，单值，有限且归一化标准化条件 （4）为使方程解的合理（边界条件，标准化条件等），自然得到量子条件 （2）写出 的函数式，代入方程解pE)(x一维定态薛定谔方程的应用（1）微观粒子运动所遵循的运动规律求波函数及其它)(x例1、一维无限深方势阱问题（电子在金属中的运动）)(00)(0,阱内阱外或axEpxaxEp已知： 能量可以取任意值内各处概率相等粒子在a0按经典理论：从量子力学来看问题如何呢？0由定态方程知：阱外)0(082222EphmEdxd阱内 oax 令 222/8hmEkkxAxsin)(a

21、nk ) !0(3 , 2 , 1且为正值 nn0222kdxd所以kxBkxAxcossin)(其解为, 00)0(, 0Bx则由边界条件：0)(,aax又由边界条件0sin)(kaAaA不可为零！0sin kanka 所以xanAxsin)(aadxdx0021*1212 aAaA2即axxanax0sin2)(再由归一化条件确定A讨论：讨论：（1）粒子能量不能连续取任意值，只能取分立值能量量正化 因为 2228hmEk 22sin2)(xanaxxana2sin2 3 , 2 , 18222nmahnE所以 2218mahE 粒子最小能量不等于零 （2）粒子的概率密度E)4( n) 3(

22、 n)2( n) 1( nE 图示，粒子在势阱中各处概率密度分布，可知在时粒子分布不均匀4 , 3 , 2 , 1 n242322214n3n2n1n43210 x2/ax ax （4）对应原理 当增加大时，粒子分布逐趋均匀，在时粒子在势阱中概率各处相同。n2218) 12(mahnEEEnn02nEEhn 势阱中两相邻能级差为 当很大时 这时能量量子化效应不显著，可以认为能量是连续的对应原理：对应原理：当量子数很大时，量子力学与经典力学的结论将趋于一致；经典力学是量子力学在高量子数条件下的近似结果。例 2 、 一 维 方 势 垒 ， 隧 道 效 应粒子势能分布axxaxEpopxE和0 00

23、 )(x)(xEp0pEoa写出定态薛定谔方程：（1）在区域除入射波外，有反射波；区域 08122212hmEdxd区域 0)(8222222hEpoEmdxd区域 08322232hmEdxd可以解得这表明)()(),(321xxx和x)(toax)(xEp0pEoa （3）区域中，即使，仍有波函数，表示粒子穿透势垒进入区域隧道效应。poEE )(3x（2）在区域，即使当粒子能量时，波函数仍出现，粒子有一定概率处于区poEE )(2x 重大意义：重大意义：隧道效应STM（扫描隧道显微镜）纳米科学，生命科学。x)(toa八、氢原子的量子理论简介0)(8z22222222EpEhmyx 1氩原子

24、中电子如何运动，遵循何种规律？reEpo42 其中 2解方程得到的重要结论（1）能量量子化能量量子数（主量子数）（主量子数）, 2 , 1812242nhmenEon*其结果与波尔理论一致，但不是人为假设，而是必然的结论！ 不需要人为假设个值且取1,0nl（2）角动量量子化角量子数2hnL *与波尔理论比较：eV6.1312nEn), 1,1(激发态基态 nn) 1(, 2 , 1 , 02) 1(nlhllL（角量子数有n个） （3）空间量子化和磁量子数（角动量在轴分量量子化，在空间取向）LlmhmLllz2, 1, 02（磁量子数，有个）) 12( l即表示：即使角动量量值相同，由于角动量

25、是一个矢量，其在空间可以有不同的取向，且取向是量子化的。例：，则1 l222)1(hhllL 11, 0,1 和时ml由上可知，其矢量在空间取向有三种可能，即：L22, 0hLzhLzLz 和得如图所示结论：结论：氢原子中电子的（稳定）状态，可以用一组量子数来描述),(lmln讨论：讨论：（1）氢原子中电子的概率分布在量子力学中没有轨道概念，代之的是空间概率分布。解得的电子波函数，对应一组量子数，可确定电子出现在原子核周围的概率密度。如n=1（基态），电子出现在处附近的概率最大，与波尔理论一致。0 lmro1010529. 0 （2）量子力学中无“轨道”的概念，但保留这一名词。 九、电子自旋，原子中电子壳层结构1电子自旋，自旋磁量子数（第四个量子数）经典图像：电子作绕核运动外，还绕自身轴旋转（微观粒子的共同属性）电子自旋角动量的量子化2) 1(hSSS 21 S ，自旋角动量量子