定积分在几何中的应用

1、第七章第七章 定积分的应用定积分的应用我们已经利用定积分解决一些应用问题的计算我们已经利用定积分解决一些应用问题的计算, 如：如：变力沿直线所做的功变力沿直线所做的功 badxxFW)(已知质点的运动速度，求质点的运动路程已知质点的运动速度，求质点的运动路程 badttvs)( badxxfA)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积 dA面积元素面积元素ab xyo)(xfy xdxx 用用A 表表示示小小区区间间,xxx 上上曲曲边边梯梯形形的的面面积积，则则dxxfdAA)( ，7.1 定积分的元素法定积分的元素法用定积分来计算的量用定积分来计算的量U具有以下特点：具有以下特点：1量量U与函数与函

2、数 f(x)及及x的变化区间的变化区间 a, b有关。有关。 若若 f(x)常数，则常数，则 U= f(x)(ba)。1量量U对区间具有可加性。即：把对区间具有可加性。即：把a，b分成若干分成若干 部分区间，部分区间， 则则 U相应地被分成了许多部分量之和。相应地被分成了许多部分量之和。1在区间在区间 a, b的任一个子区间的任一个子区间x, x+x 上，上， 部分量部分量Uf (x)x。设设U U是可用定积分表达的量，则计算量是可用定积分表达的量，则计算量U U的步骤为：的步骤为：定积分的元素法定积分的元素法 选择函数选择函数 f(x)，并确定自变量，并确定自变量 x 的变化区间的变化区间a

3、, b; 在在a, b内考虑典型小区间内考虑典型小区间x, x+dx，求出相应于这，求出相应于这个小区间的部分量个小区间的部分量U的近似值的近似值 f(x)dx。称。称f(x)dx为量为量U的元素，记为的元素，记为dU= f(x)dx。 计算计算 U= badxxf)(应用方向：应用方向： 平面图形的面积、体积及平面曲线的弧长；平面图形的面积、体积及平面曲线的弧长；功、水压力、功、水压力、 引力和平均值等引力和平均值等7.2 7.2 定积分的几何应用定积分的几何应用一、平面图形的面积一、平面图形的面积0 直角坐标系情形直角坐标系情形0 极坐标系情形极坐标系情形xyo)(xfy abxyo)(1

4、xfy )(2xfy ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfA)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfxfA)()(12xxxx .d)()(d,d)(d:12xxfxfAxxfA 面面积积元元素素xx 一、平面图形的面积一、平面图形的面积1、直角坐标系情形、直角坐标系情形例例 1 1 计算由两条抛物线计算由两条抛物线xy 2和和2xy 所围成的所围成的图形的面积图形的面积.2xy 2yx 例例 2 2 计算由曲线计算由曲线xxy63 和和2xy 所围成所围成的图形的面积的图形的面积.2xy xxy63 例例 3 3 计计算算由由曲曲线线xy22 和和直直线线4 xy所所围围成成

5、的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点).4 , 8(),2, 2( 422xyxyxy22 4 xy dxxxdA)2(21 dxxxdA)4(22 .1882220121 dAdAAAA选选 为积分变量为积分变量y4, 2 ydyyydA 242.1842 dAA如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程 )()(tytx 曲边梯形的面积曲边梯形的面积.)()(21 ttdtttA （其其中中1t和和2t对对应应曲曲线线起起点点与与终终点点的的参参数数值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有连连续续导导数数，)(ty 连连续续.例例 4 4

6、 求求椭椭圆圆12222 byax的的面面积积. 设由曲线设由曲线)( r及射线及射线 、 围成一曲边扇围成一曲边扇形，求其面积这里，形，求其面积这里，)( 在在, 上连续，且上连续，且0)( xo d d 面积元素面积元素 ddA2)(21 曲边扇形的面积曲边扇形的面积.)(212 dA )( r2、极坐标系情形、极坐标系情形例例 5 5 求求双双纽纽线线 2cos22a 所所围围平平面面图图形形的的面面积积.xy 2cos22a 1A例例 6 6 求求心心形形线线)cos1( ar所所围围平平面面图图形形的的面面积积)0( a. d例例7 求求r = a sin3 所围的面积。所围的面积。

7、求在直角坐标系下、参数方程形式求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的（注意恰当的选择积分变量选择积分变量有助于简化有助于简化积分运算）积分运算）小结小结2 2、曲线、曲线 sin2 r与与 2cos2 r所围图形公共部分所围图形公共部分 的面积的面积 S（ ） ；） ；（A A）23112 ； （B B）41324 ；（C C）21312 ； （D D）2316 . .1 1、 曲曲线线xyln 与与直直线线ex1 ，ex 及及0 y所所围围成成 的的区区域域的的面面积积 S（ ） ；（A A）)11(2e ； （B B）ee1 ；

8、（C C）ee1 ； （D D）11 e . .思考思考AD 设曲线设曲线)(xfy 过原点及点过原点及点)3 , 2(，且，且)(xf为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与与x轴和曲线轴和曲线)(xfy 围成的面积是另一条平围成的面积是另一条平行线与行线与y轴和曲线轴和曲线)(xfy 围成的面积的两围成的面积的两倍，求曲线方程倍，求曲线方程.3、 解答解答1S2Sxyo)(xfy ),(yx122SS xdxxfS02)( xdxxfxySxyS021)()( 2)(0

9、0 xxdxxfxydxxf,2)(30 xydxxfx 两边同时对两边同时对 求导求导xyxyxf 22)(3yyx 2积分得积分得,2cxy 因因为为曲曲线线)(xfy 过过点点)3 ,2(29 c,292xy 因因为为)(xf为为单单调调函函数数所以所求曲线为所以所求曲线为.223xy 202110102120.)2)(1();)2)(1()2)(1();)2)(1()2)(1();)2)(1()2)(1(dxxxxDdxxxxdxxxxCdxxxxdxxxxBdxxxxAxxxxy为为：轴轴所所围围图图形形的的面面积积可可表表与与例例：曲曲线线. 2, 1,0 xxx解解：交交点点dx

10、xxxdxxxxA 2110)2)(1()2)(1( A 2110)2)(1()2)(1(dxxxxdxxxx二、二、 体积体积0 旋转体的体积旋转体的体积0 已知平行截面面积的立体体积已知平行截面面积的立体体积 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台1、旋转体的体积、旋转体的体积一一般般地地，如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线线)(xfy 、直直线线ax 、bx 及及x轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体

11、体，体体积积为为多多少少？取取积积分分变变量量为为x，,bax 在在,ba上任取小区上任取小区间间,dxxx ，取取以以dx为为底底的的窄窄边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转而而成成的的薄薄片片的的体体积积为为体体积积元元素素，dxxfdV2)( xdxx xyo旋转体的体积为旋转体的体积为dxxfVba2)( )(xfy y例例 1 1 连连接接坐坐标标原原点点O及及点点),(rhP的的直直线线、直直线线hx 及及x轴轴围围成成一一个个直直角角三三角角形形将将它它绕绕x轴轴旋旋转转构构成成一一个个底底半半径径为为r、高高为为h的的圆圆锥锥体体，计计算算圆圆锥锥体体的的体体积积rhPxoa aoy

12、x例例 2 2 求星形线求星形线323232ayx )0( a绕绕x轴旋转轴旋转构成旋转体的体积构成旋转体的体积.由由连连续续曲曲线线)()(21xfyxfy 、直直线线ax 、bx 所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为多多少少？ xyo)(1xfy )(2xfy ab 类似地，如果旋转体是由连续曲线类似地，如果旋转体是由连续曲线)(yx 、直线、直线cy 、dy 及及y轴所围轴所围成的曲边梯形绕成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，轴旋转一周而成的立体，体积为体积为xyo)(yx cddyy2)( dcV例例 3 3 求求摆摆线线)si

13、n(ttax ，)cos1(tay 的的一一拱拱与与0 y所所围围成成的的图图形形分分别别绕绕 x 轴轴、y 轴轴旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积.a 2a )(xy补充补充 如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线线)(xfy 、直直线线ax 、bx 及及x轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕y轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为dxxfxVbay| )(|2 利用这个公式，可知上例中利用这个公式，可知上例中dxxfxVay| )(|220 20)sin()cos1()sin(2ttadtatta 2023)cos1)(sin(2dtttta.633a 例例

14、4 4 求求由由曲曲线线24xy 及及0 y所所围围成成的的图图形形绕绕直直线线3 x旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积.解解取取积积分分变变量量为为y,4 , 0 y体积元素为体积元素为dyQMPMdV22 dyyy)43()43(22 ,412dyy dyyV 40412.64 3dyPQMxoab2、平行截面面积为已知的立体的体积、平行截面面积为已知的立体的体积xdxx 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算个立体的体积也可用定积分来计算.

15、)(xA表表示示过过点点x且且垂垂直直于于x轴轴的的截截面面面面积积，)(xA为为x的已知连续函数的已知连续函数,)(dxxAdV .)( badxxAV立体体积立体体积例例 5 5 一一平平面面经经过过半半径径为为R的的圆圆柱柱体体的的底底圆圆中中心心，并并与与底底面面交交成成角角 ，计计算算这这平平面面截截圆圆柱柱体体所所得得立立体体的的体体积积.RR xyo解解 取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为222Ryx 垂垂直直于于x轴轴的的截截面面为为直直角角三三角角形形x截面面积截面面积,tan)(21)(22 xRxA 立体体积立体体积dxxRVRR tan)(2122 .tan323 R 例例 6 6 求求以以半半径径为为R的的圆圆为为底底、平平行行且且等等于于底底圆圆半半径径的的线线段段为为顶顶、高高为为h的的正正劈劈锥锥体体的的体体积积.解解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为,222Ryx xyoRx垂垂直直于于x轴轴的的截截面面为为等等腰腰三三角角形形截面面积截面面积22)(xRhyhxA 立体体积立体体积dxxRhVRR 22.212hR 思考题思考题