泰勒公式和泰勒级数ppt课件

1、一一 幂级数幂级数 nnnxxa)(00 nnnxa 0laannn 1limnnnxa 0定理定理1 如果幂级数如果幂级数的系数满足条件的系数满足条件| |那么那么 (1)当当0 l 0和和R20 , 那么那么= f(x) g(x).的收敛半径的收敛半径 R minR1, R2. 0nnnxa2 设幂级数设幂级数 的收敛半径的收敛半径R0, 则在收敛区则在收敛区间间(R, R)内内, 其和函数其和函数S(x)是连续函数是连续函数. 0nnnxa若级数若级数 在端点收敛在端点收敛, 则则S(x)在端点单侧连续在端点单侧连续. 1nnxna 0n xnnndtta00)()(0 nnnxa 0n

2、nnxa3 幂级数幂级数 的和函数的和函数S(x)在收敛区间在收敛区间(R, R)内可导内可导, 并可以逐项求导任意次并可以逐项求导任意次, 且求导后级数的收且求导后级数的收敛半径不变敛半径不变.即即 f(x) =x (R, R) 0nnnxa4 幂级数幂级数 的和函数的和函数S(x)在收敛区间在收敛区间(R, R)内内可积可积, 并可逐项求积分并可逐项求积分, 且积分后级数的收敛半径不变且积分后级数的收敛半径不变. xdttS0)(dttaxnn 0.110 nnnxnax (R, R) 即即n=1 0n(an xn) 注注 : 常用已知和函数的幂级数常用已知和函数的幂级数;110 xxnn

3、 ;11)1(202xxnnn 2111)1 (1)(xxnxnnnn 31111)1 (2)() 1(xxxnnnnnn ;11)(0 xxnn (1)(1x1)(2)(3)(4)(5)二、麦克劳林二、麦克劳林(Maclaurin)公式公式三、泰勒级数三、泰勒级数一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立7.6 泰勒泰勒(Taylor)公式与泰勒级数公式与泰勒级数一次多项式一次多项式在微分的应用中有近似计算公式在微分的应用中有近似计算公式:假设假设 f (x0)存在存在, 则在则在 x0点附点附近有近有f (x) = f(x0) + f (x0) (xx0)f (x) f(x0) + f (x0)

4、 (xx0)+ o(x x0)需要解决的问题需要解决的问题如何提高精度如何提高精度?如何估计误差如何估计误差?缺乏缺乏: 1. 精确度不高精确度不高;2. 误差不能定量的估计误差不能定量的估计.希望希望: 在在x0点附近点附近, 用适当的高次多项式用适当的高次多项式Pn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+an(xx0)n f (x) 一、泰勒公式一、泰勒公式猜测猜测2 若有相同的切线若有相同的切线3 若弯曲方向相同若弯曲方向相同近似程度越来越好近似程度越来越好 n次多项式系数的确定次多项式系数的确定 1 若在若在x0点相交点相交Pn(x0)= f (x0)Pn (x0)= f (x

5、0)Pn (x0)= f (x0)y=f(x)假设假设 Pn(k)(x0)= f (k)(x0)y=Pn (x)xoyx0!)(0)(nxfann 即有即有Pn(x) =a0 +a1(xx0)+a2(xx0)2+an(xx0)n假设假设 Pn(k)(x0)= f (k)(x0)Pn (n) (x) =n! an Pn (x)=a1+2a2(xx0)+3a3(xx0)2+nan(xx0)n1Pn (x)=2a2+32a2(xx0)+n(n 1)an(xx0)n2a0 = f(x0),2a2=f (x0),n!an=f(n)(x0), k=0, 1, 2, 3, , n令令x = x0得得a1=f

6、(x0),! 2)(02xfa a0 = f(x0),a1=f(x0),!)(0)(kxfakk ! 2)(0 xf !)(0)(nxfnk=0, 1, 2, 3, , n代入代入Pn(x)中得中得Pn(x)=f(x0)+f (x0)(xx0)+ (xx0)2 + + (x x0)nPn(x) =a0 +a1(xx0)+a2(xx0)2+an(xx0)n称为函数称为函数 f (x)在在x0处的泰勒多项式处的泰勒多项式.k=0, 1, 2, 3, , n称为泰勒系数称为泰勒系数!)(0)(kxfakk f(x) = Pn(x) + o(xx0)n .200)(! 2)(xxxf 10)1()()

7、!1()()( nnnxxnfxR nnxxnxf)(!)(00)( 其中其中定理定理1 (泰勒中值定理泰勒中值定理) 若函数若函数f(x)在在x0点的某邻点的某邻域域UR (x0)内具有直到内具有直到n+1阶连续导数阶连续导数, 则当则当x取取UR (x0)内任何值时内任何值时, f (x)可按可按(xx0)的方幂展开的方幂展开为为f (x)=f(x0)+f (x0)(xx0)+( 在在x0与与x之间之间)+Rn(x) 公式公式(1)称为函数称为函数 f (x)在在x0处的泰勒公式处的泰勒公式.(1) Rn(x)称为拉格朗日称为拉格朗日(Lagrange)余项余项.泰勒系数泰勒系数!)(0)

8、(kxfakk k=0, 1, 2, , n 是唯一的是唯一的.10)()!1( nxxnnnxxnxf)(!)(00)( 200)(!2)(xxxf 设设 f (x)= f(x0)+f (x0)(xx0)+k 证证由于由于f(x)在在UR (x0)内具有内具有n+1阶连续导阶连续导数数,作辅助函数作辅助函数 (t)=f(x) f(t)+f (t)(x t)+2)(!2)(txtf )()!1()(!)(1)( nnntxnktxntf (x)=0= (x0), 不妨设不妨设 x0 x时同理可证时同理可证,10)1()()!1()()( nnnxxnfxR nnxnfxf!) 0(! 2) 0

9、()(2 1)1()!1()()( nnnxnfxR 其中其中f (x)=f(0)+f (0) x+1 当当x0=0时时, ( 在在0与与x之间之间)或令或令 = x, 0 1, 那么那么+Rn(x) .1)1()!1()()( nnnxnxfxR 称为函数称为函数 f (x)的麦克劳林的麦克劳林(Maclaurin)公式公式.200)(! 2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)( 2 f (x) f(x0)+f (x0)(xx0)+其误差为其误差为: Rn(x) 解解)(!0 xRkxnnkk 1)!1()( nxnxnexR 例例1* 求求f(x)=e x 在在x=0的的n阶泰勒公

10、式阶泰勒公式.因为因为 f (n)(x)=e x, n=1, 2, 3, 所以所以 f (n)(0)=e 0=1, n=1, 2, 3, 于是于是 f(x)=e x 在在x=0的的n阶泰勒公式为阶泰勒公式为:)(!1! 2112xRxnxxennx 其中其中0 1. 定义定义 如果函数如果函数f (x)在在x0的某邻域内是存在任意阶的某邻域内是存在任意阶导数导数,则幂级数则幂级数称为函数称为函数f (x)在在x0处的泰勒级数处的泰勒级数.200)(! 2)(xxxf = f(x0) + f (x0)(x x0) nnxxnxf)(!)(00)(二、泰勒级数二、泰勒级数 000)()(!)(nn

11、nxxnxf称为函数称为函数 f (x)的麦克劳林级数的麦克劳林级数. nnxnfxfxff!) 0(! 2) 0() 0() 0()(2 0)(!)0(nnnxnf问题问题: 泰勒级数在收敛区间是否收敛于泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?不一定不一定.解解),2sin()()( nxxfn,2sin)0()( nfn2 例例2* 求求 f(x)=sinx 在在x=0的泰勒级数的泰勒级数.当当n=2k时时, f (2k)(0)=sin(k )=0, k=0,1,2,当当n=2k+1时时, f (2k+1)(0)=sin (k + ) = (1)k , 得得因因)!12(|)!32(|lim

12、|)()(|lim12321 nxnxxuxunnnnnn=0, 于是于是 R=+ , 0)(!)0(nnnxnf 012)!12()1(kkkkx)22)(32(lim2 nnxn 012)!12()1(nnnnx定理定理2 f(x)在在x0点的泰勒级数在点的泰勒级数在UR (x0)内收敛于内收敛于f (x) 在在UR (x0) 内内, Rn(x)0. )!12()1(! 51! 311253nxxxxnn|)!32()(|lim| )(|lim32)32( nnnnnxnfxR )!32(|lim32 nxnn=0,所以所以 sin x = 0 0)(lim xRnn 0)(!)0(nnn

13、xnf 012)!12()1(nnnnx 012)!12()1(nnnnx其中其中收敛区间为收敛区间为: (, +). x(, +).|)!32(sin|lim32)32( nnnxn 即即xyO麦克劳林多项式逼近麦克劳林多项式逼近sin x! 33xxy ! 5! 353xxxy ! 7! 5! 3753xxxxy ! 9!7! 5! 39753xxxxxy )!12()1(!5!3sin12153nxxxxxnny=sinxy=x7.7 初等函数的幂级数展开式初等函数的幂级数展开式一、直接法一、直接法(泰勒级数法泰勒级数法)二、间接法二、间接法三、常见函数的幂级数展开式三、常见函数的幂级数

14、展开式步骤步骤:0)(lim xRnn(1) 求求 f (n)(x), n=0,1,2, (4) 讨论讨论?并求出其收敛区间并求出其收敛区间.(3) 写出幂级数写出幂级数利用泰勒公式或麦克劳林公式将利用泰勒公式或麦克劳林公式将f(x)展开为幂级数展开为幂级数nnnxxnxf)(!)(010)( 若为若为0, 则幂级数在此收敛区间内等于函数则幂级数在此收敛区间内等于函数 f(x); 若不为若不为0, 则幂级数虽然收敛则幂级数虽然收敛, 但它的和不是但它的和不是 f(x).一、直接法一、直接法(泰勒级数法泰勒级数法)(2) 计算计算 an= f (n)(x0), n=0,1,2, 解解 0!nnn

15、x1)!1( nxxne 例例1 将将 f(x)=e x 在展开成在展开成 x的幂级数的幂级数.因因 f (n)(x)=e x, n=1, 2, 3, , f (n)(0)=e 0=1, 于是于是 f(x)=e x 在在x=0的麦克劳林级数为的麦克劳林级数为: nxnxx!1! 2112其中其中1)1()!1()()( nnnxnxfxR 0 1|)!1(|lim| )(|lim1 nxnnnxnexR )!1(|lim1 nxennx =0, 所以所以 e x =1+x+ 0!nnnxx+ . nxnx!1! 2120)(lim xRnn收敛区间为收敛区间为: (, +)nnkknnnnnb

16、nabbakknnnbannbnaaba 1221!) 1() 1(! 2) 1()(二项展开式二项展开式+ +nxn 1+x n(1+x)n=1+nx+kxnknnnxnn!) 1() 1(! 2) 1(2 (1+x) = 1+x+ nxnnx!) 1() 1(! 2) 1(2 ?解解|lim1 nnnaaR例例2 将将 f(x)=(1+x ) 展开成展开成 x的幂级数的幂级数.n=0,1,2, f (n)(0)= (1)(2) (n+1)=1, 0)(!)0(nnnxnf得得(1+x)(n) =(1)(2)(n+1)(1+x)( n) , 0!) 1() 1(nnxnn |1|limnnn 注意注意: 当当x=1时时, 级数的收敛性与级数的收敛性与 的取值有关的取值有关. 1, 收敛区间为收敛区间为: ( 1, 1). 1 0, 收