线性代数—二次型(课件)资料讲解

1、线性代数二次型(课件)第一节第一节 基本概念基本概念定义定义一、二次型及其矩阵一、二次型及其矩阵称为一个称为一个( (n元元) )二次型二次型. .的的二二次次齐齐次次多多项项式式个个变变量量含含有有nxxxn,21),(21nxxxfnnxxaxxaxa223223222222 2nnnxa nnxxaxxaxxaxa11311321122111222 本书本书只讨论只讨论实二次型实二次型，即系数全是实数的二次型。，即系数全是实数的二次型。 ),(21nxxxfnnxxaxxaxa223223222222 2nnnxa nnxxaxxaxxaxa11311321122111222 由由于于i

2、jjixxxx ，具具有有对对称称性性，若若令令ijjiaa ，ji ，则则 ijjijiijjiijxxaxxaxxa 2，ji ， 于是于是上述二次型上述二次型可以写成可以写成如下求和如下求和形式形式 nnxxaxxaxxaxa11311321122111 nnxxaxxaxaxxa22322322221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa ,11 ninjjiijxxa),(21nxxxfnnxxaxxaxa223223222222 2nnnxa nnxxaxxaxxaxa11311321122111222 ),(21nxxxf ninjjiijnxxaxxxf1121),(

3、记记,212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaA,21 nxxxX则则上述上述二次型可以用矩阵形式表示为二次型可以用矩阵形式表示为 ,),(21AXXxxxfTn A称为二次型称为二次型 的矩阵。的矩阵。 ),(21nxxxfA的秩称的秩称为为该二次型的秩该二次型的秩。,),(21AXXxxxfTn A称为二次型称为二次型 的矩阵。的矩阵。 ),(21nxxxfA是一个是一个实实对称矩阵。对称矩阵。 事实上，由一个实对称矩阵也可构造唯一的实事实上，由一个实对称矩阵也可构造唯一的实二次型，也就是说，实二次型与实对称矩阵是互相二次型，也就是说，实二次型与实对称矩阵是互相唯一确定的，

4、所以，研究二次型的性质可以转化为唯一确定的，所以，研究二次型的性质可以转化为研究研究A所具有的性质。所具有的性质。 例例1 1设二次型设二次型 3131212322213216422),(xxxxxxxxxxxxf 求二次型的矩阵求二次型的矩阵A和二次型的秩。和二次型的秩。解解, A211 1 223 3 1 132311212A 710410311,100410311 所以所以r(A)=3，即二次型的秩等于即二次型的秩等于3。例例2 2求求二次型二次型 2332211321)(),(xaxaxaxxxf 的矩阵的矩阵A和二次型的秩，和二次型的秩，解解其其中中321,aaa不不全全为为零零。

5、2332211321)(),(xaxaxaxxxf 2321321),( aaaxxx,),(),(321321321321 xxxaaaaaaxxx所以二次型所以二次型 f 的矩阵为的矩阵为),(321321aaaaaaA ,232313322212312121 aaaaaaaaaaaaaaa.1)(r A二、线性变换二、线性变换dcybxyax 222 cossinsincosyxyyxx选选择择适适当当的的 ，消消去去交交叉叉项项, ,可可使使上上面面的的方方程程化化为为 ,22dybxa 上上述述yx ,由由yx ,的的线线性性表表达达式式给给出出，通通常常称称为为线线性性变变换换。一

6、一般般有有下下面面的的定定义义。 在平面解析几何中，为了确定二次方程在平面解析几何中，为了确定二次方程 所表示的曲线的性态，通常利用转轴公式：所表示的曲线的性态，通常利用转轴公式： 定义定义关系式关系式 nnnnnnnnnnxcycycxycycycxycycycx22112222121212121111称称为为由由变变量量nxxx,21到到nyyy,21的的一一个个线线性性变变换换。 记记,21 nxxxX,212222111211 nnnnnncccccccccC,21 nyyyY则上述线性变换可以写成矩阵形式：则上述线性变换可以写成矩阵形式：.CYX ,22112222121212121

7、111 nnnnnnnnnnxcycycxycycycxycycycx.CYX C 称为称为该该线性变换的线性变换的矩阵矩阵。 若若0 C，则则此此线线性性变变换换称称为为可可逆逆线线性性变变换换。 如果如果C 为正交矩阵，为正交矩阵，则则此线性变换此线性变换称为称为正交变换正交变换。 cossinsincosyxyyxx容易验证，转轴公式容易验证，转轴公式是一个正交变换。是一个正交变换。三、矩阵的合同关系三、矩阵的合同关系将将可可逆逆线线性性变变换换CYX ， 代代入入二二次次型型AXXxxxfTn ),(21，得得 AXXT)()(CYACYT YACCYTT)( ,ACCBT 其中其中,

8、BYYT 由由于于A是是实实对对称称阵阵，则则ACCBT 也也是是实实对对称称阵阵，于于是是BYYT是是一一个个以以nyyy,21为为变变量量的的实实二二次次型型。 由于由于C是可逆矩阵，所以是可逆矩阵，所以A和和B秩相等秩相等, ,从而两个从而两个二次型的秩相等。二次型的秩相等。 设设BA,是是两两个个n阶阶矩矩阵阵，如如果果存存在在n阶阶可可逆逆矩矩阵阵C，使使得得 ACCBT ，则则称称A与与B合合同同, ,记记为为 A B. . 定义定义 与矩阵的相似关系类似，矩阵之间的合同关系与矩阵的相似关系类似，矩阵之间的合同关系也也具有以下性质具有以下性质。 (1)(1)反身性：反身性：(2)(2)对称性：对称性：(3)(3)传递性：传递性：对对任任何何方方阵阵A，总总有有 ； A A若若 ，则则有有 ； A BB A若若 , ,且且 , ,则则有有 . . A BB CA C证明证明 只证只证(3)(3)，其余留作练习。，其余留作练习。,11ACCBT ,22BCCCT 2112)( CACCCCTT , )()(21