郭中珍2.5.3切线长定理

1、义务教育课程标准实验教科书义务教育课程标准实验教科书SHUXUE 九年级下九年级下湖南教育出版社湖南教育出版社证明一条直线是圆的切线的常见证明一条直线是圆的切线的常见的两种方法；的两种方法；l当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称简称“连半径，证垂直连半径，证垂直”l当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证明圆心到直线的距离等于半直线的垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径。简称径。简称“做垂直。证半径做垂直。证

2、半径”直线直线l就是所求作的切线就是所求作的切线,如图如图OAl过圆过圆O上一点上一点A画圆画圆O的切线的切线.过圆过圆O上一点上一点A的切线的切线l与半径与半径OA有什么关系有什么关系?据切线的性质定理据切线的性质定理, l OA,由此受到启发由此受到启发,过点过点A作一条直线作一条直线l与与OA垂直垂直,据切线的判定定理据切线的判定定理,L 就是圆就是圆O的切线的切线.连结连结OA;过点过点A作直线作直线l与与OA垂直垂直.问题问题1 1、经过平面上一个已知点，作已知、经过平面上一个已知点，作已知圆的切线会有怎样的情形？圆的切线会有怎样的情形？OOOP PPA问题问题2 2、经过圆外一点、

3、经过圆外一点P P，如何作已知，如何作已知O O的的切线？切线？ 知识延伸知识延伸 已知：O及其外一点P 求作：过P点的O的切线 作法： 1.连结OP ，以OP为直径作圆，交O于A、B两点。 2.作直线PA或PB ，则PA、PB即是所作。 证明：连结OA、OB ， 因为OP为直径 所以OAP=90度，OBP=90度 所以直线AP、BP为O的切线。 过圆外一点作圆的切线，这点过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的和切点之间的线段线段的长，叫做这点的长，叫做这点到圆的到圆的切线长。切线长。OPAB 若从若从O O外的一点引两外的一点引两条切线条切线PAPA，PBPB，切点分别切点分别是是A A、B

4、 B，连结连结OAOA、OBOB、OPOP，你能发现什么结论？并证你能发现什么结论？并证明你所发现的结论。明你所发现的结论。APO。BPA = PBOPA=OPB证明：证明：PAPA，PBPB与与O O相切，点相切，点A A，B B是切点是切点 OAPAOAPA，OBPB OBPB 即即OAP=OBP=90 OA=OB，OP=OP RtRtAOPRtAOPRtBOP(HLBOP(HL) ) PA = PB OPA=OPB 知识延伸知识延伸 从从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。线

5、的夹角。OPAB切线长定理：切线长定理：PA、PB分别切分别切 O于于A、BPA = PBOPA=OPB 从圆外一点引圆的两条切线，它们从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。分两条切线的夹角。 切线长定理切线长定理几何语言几何语言: :反思反思：切线长定理为证明：切线长定理为证明线段相等线段相等、角相角相等等提提 供了新的方法供了新的方法OPAB例1已知已知，如图，如图，PA、PB是是 O的两条切线，的两条切线，A、B为切点为切点.直线直线 OP 交交 O 于点于点 D、E，交，交 AB 于于 C.（1）写出图中所有

6、的垂直关系；）写出图中所有的垂直关系；（2）写出图中所有的全等三角形）写出图中所有的全等三角形.（3）如果）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径求半径 OA 的长的长.AOCDPBE解：解：(1) OAPA , OBPB , OPAB(2) OAP OBP , OCA OCB ACP BCP.(3) 设设 OA = x cm , 则则 PO = PD + x = 2 + x (cm) 在在 RtOAP 中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得 PA 2 + OA 2 = OP 2 即即 4 2 + x 2 = (x + 2 ) 2 解得解得 x = 3 cm 所以，半径所以

7、，半径 OA 的长为的长为 3 cm. 切线长定理的基本图形的研究切线长定理的基本图形的研究PA、PB是是 O的两条切线，的两条切线，A、B为切点，直线为切点，直线OP交于交于 O于点于点D、E，交，交AB于于C。BAPOCED（1）写出图中所有的垂直关系）写出图中所有的垂直关系OAPA，OB PB，AB OP（3）写出图中所有的全等三角形）写出图中所有的全等三角形AOP BOP, AOC BOC, ACP BCP（4）写出图中所有的等腰三角形）写出图中所有的等腰三角形ABP AOB（2）写出图中与）写出图中与OAC相等的角相等的角OAC=OBC=APC=BPC轴对称图形轴对称图形。PBAO反思：在解决有在解决有关圆的切线长的问关圆的切线长的问题时，往往需要我题时，往往需要我们构建基本图形。们构建基本图形。（3）连结圆心和圆外一点）连结圆心和圆外一点（2）连结两切点）连结两切点（1）分别连结圆心和切点）分别连结圆心和切点例例2、已知：如图，已知：如图，P为为 O外一点，外一点，PA，PB为为 O的切线，的切线，A和和B是切点，是切点，BC是直径是直径求证：求证