3.2向量及其线性组合1ppt课件

1、第二节第二节 向量与向量组向量与向量组 的线性组合的线性组合一、向量及其线性运算n维向量维向量 :12:naaa 称为列向量称为列向量定义定义3.13.11.1.向量的定义向量的定义 写成一列的写成一列的 n 维向量维向量, 称为列向量称为列向量, 也就是列矩阵也就是列矩阵,通常用通常用a, b, , 等表示等表示, 如如:12(,.,)Tna aa 3211 0532 1223 11744 那么那么1, 2, 3, 4都是都是列向量列向量.1(2,3),T 2(4,2),T 假设假设那么那么1T, 2T 都是行向量都是行向量. 1. 行向量和列向量总被看作是不同的向量行向量和列向量总被看作是

2、不同的向量; 2. 行向量和列向量都按照矩阵运算法则进行运算行向量和列向量都按照矩阵运算法则进行运算; 3. 当没有明确说明是行向量还是列向量时当没有明确说明是行向量还是列向量时, 都当作都当作 列向量列向量.注：注： 写成一行的写成一行的 n 维向量维向量, 称为行向量称为行向量, 也就是行矩阵也就是行矩阵,通常用通常用aT, bT, T, T 等表示等表示. 如，如，零向量：零向量：分分量量都都是是零零的的向向量量，叫叫作作零零向向量量，记记作作o. 即即 )0,.,0 , 0( o注：维数不同的零向量是不相同的。注：维数不同的零向量是不相同的。负向量：负向量：),.,(21naaa 向量

3、相等：向量相等：记记作作 2.2.向量的线性运算向量的线性运算定义定义3.23.2即即),.,(),.,(),.,(22112121nnnnbabababbbaaa （1向量的加法向量的加法（2向量的数乘向量的数乘定义定义3.33.3减法减法 与与 的的和和称称为为 与与 的的差差，记记作作 ，即即),.,(),.,(),.,()(22112121nnnnbabababbbaaa 向量的线性运算向量的线性运算 向量加法及向量数乘两种运算，统向量加法及向量数乘两种运算，统称为向量的线性运算称为向量的线性运算.3. n维向量空间定义定义3.43.41212(,),nTnnRxx xxx xxR 一

4、切一切维实向量的集合记为维实向量的集合记为nRn，即，我们称它是指在它是指在nRnR是是n维向量空间，维向量空间，运算，并且运算，并且中定义了加法及数乘中定义了加法及数乘并且这两种运算满足一下并且这两种运算满足一下8 8条规律：条规律：(1) )()()2( o)3(o )()4( lklk )()5( kkk )()6()()()7( lkkl 1)8(4. 向量组向量组 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组. 3211 0532 1223 11744 构成的向量组构成的向量组1, 2, 3, 4为列向量组为列向量组.)3 , 2(1 T )2 , 4(2 T 由由

5、构成的向量组构成的向量组1T, 2T为行向量组为行向量组.（1任何一个含有有限个向量的向量组，都可以构成任何一个含有有限个向量的向量组，都可以构成一个矩阵一个矩阵. n个个m维列向量所组成的列向量组维列向量所组成的列向量组12 (,)nA mnmjmmnjnjaaaaaaaaaaaa21222221111211构成一个构成一个 m mn n 矩阵矩阵12 ,n 阐明：阐明： TmTTA 21 m个个n维行向量所组成的向量组维行向量所组成的向量组1T, 2T, mT 构成一个构成一个mn矩阵矩阵 mnmjmmnjnjaaaaaaaaaaaa21222221111211（2任何一个矩阵都可以构成一

6、个向量组任何一个矩阵都可以构成一个向量组.一个一个mn矩阵矩阵A mnmjmmnjnjaaaaaaaaaaaaA212222211112111 2 j n 其全体列向量构成一个含有其全体列向量构成一个含有n个个m维列向量的向量组维列向量的向量组称其为矩阵称其为矩阵A的列向量组的列向量组. 1T 2T Tm 其全体行向量构成一个含有其全体行向量构成一个含有 m个个n维行向量的向量组维行向量的向量组称其为矩阵称其为矩阵A的行向量组的行向量组. 12,n 12,TTTm .,22112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn（3 3线性方程组的向量

7、表示线性方程组的向量表示. .111212122212nnmmmnaaaaaaaaa 12nxxx 12mbbb 因此线性方程组的矩阵形式因此线性方程组的矩阵形式bAx 利用矩阵乘法，上述方程组可表示为利用矩阵乘法，上述方程组可表示为利用分块矩阵及其乘法，得利用分块矩阵及其乘法，得111212122212nnmmmnaaaaaaaaa12nxxx 12mbbb 1 2 n b将上述矩阵进行相应分块，将上述矩阵进行相应分块，1212(,)nnxxbx 以后要熟悉线性方程组的这两种表示形式：以后要熟悉线性方程组的这两种表示形式： .,22112222212111212111bxaxaxabxaxa

8、xabxaxaxamnmnmmnnnn从而得到线性方程组的向量表示为从而得到线性方程组的向量表示为1122nnxxxb bAx 1122nnxxxb 矩阵表示矩阵表示向量表示向量表示 设某市有三家肯得基店，各店出售的汉堡、设某市有三家肯得基店，各店出售的汉堡、炸薯条、可乐的价格为炸薯条、可乐的价格为10、5、2.5元），且各元），且各店一天的销售量分别如下表，计算各店一天的总店一天的销售量分别如下表，计算各店一天的总销售额元）。销售额元）。汉堡汉堡（个）（个）炸薯条炸薯条（袋）（袋）可乐可乐（杯）（杯）1 店店11x12x13x2 店店21x22x23x3 店店31x32x33x.,321RR

9、R别别为为设设三三个个店店的的销销售售收收入入分分13121115 . 2510 xxxR 23222125 . 2510 xxxR 33323135 . 2510 xxxR ,1312111的线性函数的线性函数可以写成可以写成xxxR 321RRR 312111xxx 322212xxx 332313xxx 105 5 . 2 1 2 3 105 5 . 2 .,1312111线线性性表表示示可可以以由由称称xxxR二、向量组的线性组合mmaaab 2211 定义定义3.5 给定向量组给定向量组A: a1, a2, , am和向量和向量b, 如果如果存在一组数存在一组数1, 2, ,m, 使

10、使b = 1a1 + 2a2 + + mam则称向量则称向量b是向量组是向量组A的线性组合的线性组合, 这时称向量这时称向量b能由能由向量组向量组A线性表示线性表示. 由定义可知：由定义可知： 若向量若向量b b能由向量组能由向量组A A线性表示，那么线性表示，那么即线性方程组即线性方程组1122mma xa xa xb 有解有解定理定理3.3 3.3 向量向量b b能由向量组能由向量组A: a1, a2, , amA: a1, a2, , am线线性表示性表示 矩阵矩阵A=(a1, a2, , am)A=(a1, a2, , am)的秩的秩等于矩阵等于矩阵B=(a1, a2, , am, b

11、)B=(a1, a2, , am, b)的秩的秩. .注：判定注：判定b是否能由是否能由 a1, a2, , am线性表示的方法：线性表示的方法： 对对B进行初等行变换，使其化成行阶梯形矩阵，若进行初等行变换，使其化成行阶梯形矩阵，若R(A)=R(B)，则，则b可以由可以由a1, a2, , am线性表示，继续线性表示，继续对对B进行初等行变换使其化成行最简形，得到方程组进行初等行变换使其化成行最简形，得到方程组Ax=b的解的解x=(1,2, ,m)T,则则b用用a1, a2, , am的的表示式为表示式为mmaaab 2211 R(a1, a2, , am) =R(a1, a2, , am,

12、 b).反之亦然反之亦然.验证验证设设22113 kk ，那么那么由由向向量量相相等等，得得到到方方程程组组 212121214153421422kkkkkkkk利用矩阵的初等变换方法，求解线性方程组利用矩阵的初等变换方法，求解线性方程组321141453121242)( bA121000011022 103000011000 1, 321 kk2133 123242121(,)354141 121000011022 103000011000 1, 321 kk2133 解法二解法二12(,.,)Tnk kk niakii,.,2 , 1 nnaaa .2211112212100010.001

13、nnnakakkkkak 即即设设 121122,.Tnnna aakkkn ,.,21零零向向量量是是任任何何一一组组向向量量的的线线性性组组合合.设设s ,.,21是是一一组组向向量量so 0.0021 o 是是向向量量组组s ,.,21的的线线性性组组合合.向向 量量 组组s ,.,21中中 的的 任任 一一 向向 量量)1(sjj 都都是是此此向向量量组组的的线线性性组组合合.sjj 0.1.01 )1(sjj 是是向向量量组组s ,.,21的的线线性性组组合合. 121, 1115111312421124055033099124011000000102011000000122,1kk

14、 2112 1()()r Ar A （2）设设22112 kk ，则则 11150113124211240550340991240110010002( )()r Ar A 方方程程组组无无解解 122, 设设 22111a 31212a 04113a 1301b),(321baaaB 设设 1032341201211111 B则则 1210121012101111证明向量证明向量b能由向量组能由向量组a1, a2, a3线性表示，并求出表示式。线性表示，并求出表示式。 1210121012101111 0000000012101111 000000001210230123rr 24rr 21r

15、r 12rr 132rr 142rr ,3cx 令令321)12()23(caacacb 为为任任意意数数）得得33231(1223xxxxx 得表示式得表示式)( 可任意取值可任意取值c）即即Rccxcxcx (1223321阐明：阐明： 此题中此题中b用用A线性表示的表示式不唯一线性表示的表示式不唯一.问：什么情况下表示式唯一？问：什么情况下表示式唯一？ 下节给出结论下节给出结论.若向量组若向量组B B中每一向量都能由向量组中每一向量都能由向量组A A线性表示，即线性表示，即设有向量组设有向量组12:,nA a aa及及12:,lB b bb11211121122112212222mlml

16、mmlmlmbk ak akabk ak akabk ak ak a 1112221122121212,mmmmllmlllkkkkkkb bba aakkk 则称向量组则称向量组B B能由向量组能由向量组A A线性表示线性表示. .定义定义向量组向量组 A 能由向量组能由向量组 B 线性表示线性表示向量组向量组 A 和和 B 等价等价向量组向量组 B 能由向量组能由向量组 A 线性表示线性表示定义定义3.6向量组等价的性质向量组等价的性质2.对称性对称性1.自反性自反性3.传递性传递性如何判定一个向量组能否被另一个向量组表示？如何判定一个向量组能否被另一个向量组表示？如何判定两个向量组等价？

17、如何判定两个向量组等价？向量的表示方法：行向量与列向量向量的表示方法：行向量与列向量 维向量的概念及运算维向量的概念及运算n三、小结三、小结3一个向量可由向量组线性表示的判定一个向量可由向量组线性表示的判定111212122212nnmmmnaaaaaaaaa 12nxxx 12mbbb 1(a2a)nab 1122nna xa xa xbAxb ( )( , )R AR A b 向量向量b b 能由能由向量组向量组 A A线性表示线性表示线性方程组线性方程组 Ax = b Ax = b 有解有解5两个向量组等价两个向量组等价4一个向量组可由另一向量组线性表示一个向量组可由另一向量组线性表示(

18、 )( ,)R AR A B 向量组向量组 B B 能能由向量组由向量组 A A线性表示线性表示矩阵方程矩阵方程AX = B AX = B 有解有解( )( )R BR A ( )( )( ,)R AR BR A B 向量组向量组 A A 与与向量组向量组 B B等价等价有关有关 n n维向量空间维向量空间 RxxxxxxxRnnnT ,),(2121 bxaxaxaxxxxnnnT 221121),(叫做叫做 维向量空间维向量空间n叫做叫做 维向量空间维向量空间 中的中的 维超平面维超平面Rnn1 n 特别：特别：当当 n=1 时，一维向量空间时，一维向量空间 R1，表示直线上的所有一维向量

19、。，表示直线上的所有一维向量。当当 n=2 时，二维向量空间时，二维向量空间 R2，表示平面上的所有二维向量。，表示平面上的所有二维向量。当当 n=3 时，三维向量空间时，三维向量空间 R3，表示空间上的所有三维向量。，表示空间上的所有三维向量。 时，时， 维向量没有直观的几何形象维向量没有直观的几何形象n3 n确定飞机的状态，需要以下确定飞机的状态，需要以下6个个参数：参数：飞机重心在空间的位置参数飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角机身的水平转角)20( 机身的仰角机身的仰角)22( 机翼的转角机翼的转角)( 所以，确定飞机的状态，需用所以，确定飞机的状态，需用6维向量维向量),( zyxa 维向量的实际意义维向量的实际意义n向量