直线与圆的位置关系切线长定理

1、问题问题1 1、经过平面上一个已知点，作已知、经过平面上一个已知点，作已知圆的切线会有怎样的情形？圆的切线会有怎样的情形？OOOP PPA问题问题2 2、经过圆外一点、经过圆外一点P P，如何作已知，如何作已知OO的的切线？切线？ O。ABP思考思考：假设切线：假设切线PAPA已作出，已作出，A A为切点，为切点，则则OAP=90OAP=90, ,连接连接OPOP，可知，可知A A在怎样的在怎样的圆上圆上? ?在经过圆外在经过圆外一点的切线一点的切线上，这一点上，这一点和切点之间和切点之间的线段的长的线段的长叫做叫做这点到这点到圆的切线长圆的切线长OPAB切线与切线长的区别与联系：切线与切线长

2、的区别与联系：（1 1）切线是一条与圆相切的直线；切线是一条与圆相切的直线；（2 2）切线长是指切线长是指切线上某一点切线上某一点与与切点切点间的线段的长。间的线段的长。 若从若从OO外的一点外的一点引两条切线引两条切线PAPA，PBPB，切，切点分别是点分别是A A、B B，连结，连结OAOA、OBOB、OPOP，你能发现什么，你能发现什么结论？并证明你所发现结论？并证明你所发现的结论。的结论。APO。BPA = PBOPA=OPB证明：证明：PAPA，PBPB与与OO相切，点相切，点A A，B B是切点是切点 OAPAOAPA，OBPB OBPB 即即OAP=OBP=90 OA=OB，OP

3、=OP RtRtAOPRtAOPRtBOP(HLBOP(HL) ) PA = PB OPA=OPB试用文字语言试用文字语言叙述你所发现叙述你所发现的结论的结论PA、PB分别切分别切 O于于A、BPA = PBOPA=OPB 从圆外一点引圆的两条从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。线平分两条切线的夹角。 切线长定理切线长定理APO。B几何语言几何语言: :反思反思：切线长定理为证明：切线长定理为证明线段相等线段相等、角相角相等等提提 供了新的方法供了新的方法我们学过的切线，常有我们学过的切线，常有 五个五个 性

4、质：性质：1 1、切线和圆只有一个公共点；、切线和圆只有一个公共点；2 2、切线和圆心的距离等于圆的半径；、切线和圆心的距离等于圆的半径；3 3、切线垂直于过切点的半径；、切线垂直于过切点的半径；4 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；5 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。6 6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。六个六个APO。BM 若连结两切点若连结两切点A A、B B，ABAB交交

5、OPOP于点于点M.M.你你又能得出什么新的结又能得出什么新的结论论? ?并给出证明并给出证明. .OP垂直平分垂直平分AB证明：证明：PAPA，PBPB是是OO的切线的切线, ,点点A A，B B是切点是切点 PA = PB OPA=OPB PABPAB是等腰三角形，是等腰三角形，PMPM为顶角的平分线为顶角的平分线 OP垂直平分垂直平分ABAPO。B 若延长若延长POPO交交OO于点于点C C，连结，连结CACA、CBCB，你又能得出什，你又能得出什么新的结论么新的结论? ?并给出并给出证明证明. .CA=CB证明：证明：PAPA，PBPB是是OO的切线的切线, ,点点A A，B B是切点

6、是切点 PA = PB OPA=OPB PC=PCPC=PC PCA PCB AC=BCAC=BCC例例.PA.PA、PBPB是是OO的两条切线，的两条切线，A A、B B为切点，直线为切点，直线OPOP交于交于O O于点于点D D、E E，交，交ABAB于于C C。BAPOCED（1）写出图中所有的垂直关系）写出图中所有的垂直关系OAPA，OB PB，AB OP（3）写出图中所有的全等三角形）写出图中所有的全等三角形AOP BOP， AOC BOC， ACP BCP（4）写出图中所有的等腰三角形）写出图中所有的等腰三角形ABP AOB（5）若）若PA=4、PD=2，求半径，求半径OA（2）写

7、出图中与）写出图中与OAC相等的角相等的角OAC=OBC=APC=BPC。PBAO（3 3）连结圆心和圆外一点）连结圆心和圆外一点（2 2）连结两切点）连结两切点（1 1）分别连结圆心和切点）分别连结圆心和切点反思：在解决有关圆的切线长的问题时，往往需要我们构建基本图形。反思：在解决有关反思：在解决有关圆的切线长问题时，圆的切线长问题时，往往需要我们构建往往需要我们构建基本图形。基本图形。1.1.切线长定理切线长定理 从从圆外一点引圆的两圆外一点引圆的两条切线，它们的切条切线，它们的切线长相等，圆心和线长相等，圆心和这一点的连线平分这一点的连线平分两条切线的夹角。两条切线的夹角。 小小 结：结

8、：APO。BECDPA、PB分别切分别切 O于于A、BPA = PB ,OPA=OPBOP垂直平分垂直平分AB 切线长定理为证明切线长定理为证明线段相等，角线段相等，角相等，弧相等，垂直关系相等，弧相等，垂直关系提供了理论提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。依据。必须掌握并能灵活应用。2.2.圆的外切四边形的两组对边的和相等圆的外切四边形的两组对边的和相等oooo外切圆圆心：外切圆圆心：三角形三边三角形三边垂直平分线的交点垂直平分线的交点。外切圆的半径：外切圆的半径：交点到三交点到三角形任意一个定点的距离。角形任意一个定点的距离。三角形外接圆三角形外接圆三角形内切圆三角形内切圆o内切圆圆心：

9、内切圆圆心：三角形三个三角形三个内角平分线的交点。内角平分线的交点。内切圆的半径：内切圆的半径：交点到三交点到三角形任意一边的垂直距离。角形任意一边的垂直距离。A AA AB BB BC CC C分析题目已知：如分析题目已知：如图图, , ABCABC的内切圆的内切圆OO与与BC BC 、CACA、 AB AB 分别相交于点分别相交于点D D 、 E E 、 F F ，且，且ABAB9 9厘米，厘米，BC BC 1414厘厘米米,CA ,CA 1313厘米厘米, ,求求AFAF、BDBD、CECE的长的长。AECDBFO 例例. .如图所示如图所示PAPA、PBPB分别切圆分别切圆O O于于A

10、 A、B B，并与圆并与圆O O的切线分别相交于的切线分别相交于C C、D D， 已知已知PA=7cmPA=7cm，(1)(1)求求PCDPCD的周长的周长(2) (2) 如果如果P=46P=46, ,求求CODCOD的度数的度数C OPBDAE过过OO外一点作外一点作OO的切线的切线OPABO 例例. .如图，如图，ABCABC中中,C =90,C =90 , ,它的它的内切圆内切圆O O分别与边分别与边ABAB、BCBC、CACA相切相切于点于点D D、E E、F F，且，且BD=12BD=12，AD=8AD=8，求求OO的半径的半径r.r.OEBDCAF1.1.一个三角形有且只有一个内切

11、圆；一个三角形有且只有一个内切圆；2.2.一个圆有无数个外切三角形；一个圆有无数个外切三角形；3.3.三角形的内心就是三角形三条内角平三角形的内心就是三角形三条内角平 分线的交点；分线的交点；4. 4. 三角形的内心到三角形三边的距离相等。三角形的内心到三角形三边的距离相等。分析分析 试说明圆的试说明圆的外切四边形的两组外切四边形的两组对边的和相等对边的和相等 OABCDEF OABCDE选做题：如图，选做题：如图，ABAB是是OO的直径，的直径，ADAD、DCDC、BCBC是切线，点是切线，点A A、E E、B B为切点，若为切点，若BC=9BC=9，AD=4AD=4，求，求OEOE的长的长

12、. .BDEFOCA如图，如图，ABCABC的内切圆的半径为的内切圆的半径为r, r, ABCABC的周长为的周长为l,l,求求ABCABC的面积的面积S.S.解：解：设设ABC的内切圆与三边相切于的内切圆与三边相切于D、E、F，连结连结OA、OB、OC、OD、OE、OF，则则ODAB，OEBC，OFAC.SABCSAOBSBOC SAOC ABOD BCOE ACOF21212121 lr设设ABC的三边为的三边为a、b、c，面积为，面积为S，则则ABC的内切圆的半径的内切圆的半径 r2Sabc三角形的内切圆的有关计算三角形的内切圆的有关计算ABCEDFO如图，如图，RtABC中，中，C90

13、,BCa,ACb, ABc, O为为RtABC的内切圆的内切圆. 求：求：RtABC的内切圆的半径的内切圆的半径 r. 解：解：设设RtABC的内切圆与三边相切于的内切圆与三边相切于D、E、F，连结连结OD、OE、OF则则OAAC，OEBC，OFAB。abc2设设RtABC的直角边为的直角边为a、b，斜边为，斜边为c，则，则RtABC的的内切圆的半径内切圆的半径 r 或或rabc2ababcABCEDFO如图，如图，RtABC中，中，C90,BC3,AC4, O为为RtABC的内切圆的内切圆. （1）求）求RtABC的内切圆的半径的内切圆的半径 . （2）若移动点）若移动点O的位置，使的位置，使 O保持与保持与ABC的边的边AC、BC都相切，求都相切，求 O的半径的半径r的取值范围。的取值范围。 解：解：（1）设）设RtABC的内切圆与三边相的内切圆与三边相切于切于D、E、F，连结，连结OD、OE、OF则则OAAC，OEBC，OFAB。 RtABC的内切圆的的内切圆的半径为半径为1。（2 2）如图所示，设与）如图所示，设与BCBC、ACA