第十一章多元函数微分学PPT学习教案

1、会计学1第十一章多元函数微分学第十一章多元函数微分学2x, y称为自变量, z称为因变量,自变量 x, y的取值范围 D称为定义域.某个子集D内任取一对数值, 变量z按照一定的法则, 取唯一确定的数值与之对应, 则称变量 z为变量 x, y的二元函数, ),(:yxfz 记作记作),(:yxzz 或或注意: f(a, b)f(b, a) ;第1页/共31页3同样, 二元函数 z=f(x,y), 可将z=f(x,y )看作是平面点P(x,y)的函数 z=f(P);对三元函数 u=f(x,y,z), 可将u=f(x,y,z)看作是空间点P(x,y,z)的函数u=f(P);一元或多元函数可统一地看作

2、是点函数 z=f(P);第2页/共31页4,| ),().1(222RyxyxD 解解：R, xyO)ln(ln)2(;)1(222xyxzyxRz 例3. 求下列函数的定义域:第3页/共31页5O xy11 ; 10010 xyxxyx , 0)ln(0 xyxxy第4页/共31页6)()(| ),(),(20200 yyxxyxPNA. 平面点集平面点集的表示法: E=(x, y)|(x, y)具有性质p, R2=(x, y)|x, yR常见点集:称为点P0(x0, y0)的邻域, 记作: N(P0, ), xyN(P0,)第5页/共31页7)()(0| ),(),(20200 yyxxy

3、xPNP0(x0,y0)xy设 P是平面点集 E中的一点, 若存在P的某个 邻域 N(P0, ), 使得 N(P0, ) E, 则称 P为点集E的内点. 第6页/共31页8外点内点边界点E如果点 P的任一邻域内都有属于 E的点, 又有不属于E的点, 则称 P为点集 E的边界点.E的边界点可以属于 E, 也可以不属于 E.(5)边界点第7页/共31页9 若点集 E中的点都是内点, 且 E是连通集, 则称点集 E是一个区域.(8) 闭区域 开区域与它的边界的并集称为闭区域.(9) 有界集与有界区域(7) 区域(开区域)第8页/共31页10推广之 , Rn=(x1, x2, xn) | xi R,

4、i=1,2,., n , 称为 n维空间.平面点集中的有关邻域、 区域等概念都可推广到n维空间。第9页/共31页11张曲面张曲面, 称为称为函数函数z=f(x,y)的图的图形形.我们已知: F(x,y,z)=0 的图形是一张曲面.第10页/共31页12上方的一支上方的一支; 2222).2(;1).1(yxzyxz .1).4(;2).3(2222yxzyxz 第11页/共31页13 ),(yxfzhz第12页/共31页14第13页/共31页15,),(lim,),(lim),(),(0000AyxfAyxfyxyxyyxx 或或.)(lim0APfPP 或或第14页/共31页16则称常数A为

5、函数 z=f(x, y) 当(x, y)(x0, y0)时的(二重)极限.),(,|000 PNPPP 即即,|),(|: Ayxf必有必有,)()(02020 yyxx即即第15页/共31页17. 01sin)(lim222200 yxyxyx|01sin)( |0),(|2222 yxyxyxf因因为为,|0),(|, 0 yxf要要使使对对任任取取的的所所以以,222即即可可只只需需 yx,)0()0(|22220yxyxPP ,22 yx也也即即,22yx 第16页/共31页18, 0 ,|0),(|222 yxyxf. 01sin)(lim222200 yxyxyx所以所以,022时

6、时当当 yx第17页/共31页19,|2:22yxyx 因因为为证证明明. 0lim22200 yxyxyx|21|2|0|022222xxyxyxyxxyxyxyx 及夹逼性质知：及夹逼性质知：由由, 0|21lim|21lim000 xxxyx. 0lim22200 yxyxyx极限性质都可以推广到多元函数的极限.第18页/共31页20 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf当当当当,1)(),(),(222kkkxxkxxkxxfyxf ,11lim),(lim),(lim22000kkkkkxxfyxfxxkxyx .),(lim00不不存存在在yxfyx当 P(x, y

7、)(0, 0)时极限是否存在?此值随 k而变化, 故第19页/共31页21),(),(lim0000yxfyxfyyxx A. 连续的概念则称函数 z=f(x, y)在点 P0(x0, y0)处连续, 并称点 P0(x0, y0)是函数z=f(x, y)的连续点.如果函数 z=f(x, y)在点 P0(x0, y0)处不连续, 则称点 P0(x0, y0)是函数 z=f(x, y)的间断点.第20页/共31页22. 0),(),(limlim00000000 yxfyyxxfzyxyx),(),(lim0000yxfyxfyyxx . 0),(),(limlim00000000 yxfyyxx

8、fzyxyx如果函数z=f(x, y)在区域 D内的每一点都连续,则称函数z=f(x, y)在区域 D内连续. 第21页/共31页23).,(),(lim:0000yxfyxfyyxx 则必有则必有多元初等函数在其定义区域内都是连续的.三元及三元以上多元函数的连续性可类似地定义.如果函数z=f(x, y)在定义域内连续, 则它的图形是一张无空无隙的曲面.第22页/共31页24但但P(x, y) P0(x0, y0)时时, f(x, y)的极的极限不存在限不存在.(3)函数函数 z=f(x, y)在点在点 P0(x0, y0) 处有定处有定义义, P(x, y) P0(x0, y0)时时, f(

9、x, y)的极限的极限存在存在,但是函数值不等于极限值但是函数值不等于极限值.第23页/共31页25;sinsin),().1(22yxxyyxf 第24页/共31页26 , 0, 00,),().2(222222yxyxyxxyyxf当当当当,22是是初初等等函函数数yxxy ,),(,)0 , 0(的的极极限限不不存存在在处处而而在在原原点点yxfO,)0 , 0(),(),(处处都都连连续续在在故故 yxyxf第25页/共31页27;0,0,),(2222222 yxayxyxyxyxf当当当当,)0 , 0(),(),(,222处都连续处都连续在在故故是初等函数是初等函数 yxyxfyxyx, 0lim),(lim,)0 , 0(2220000 yxyxyxfOyxyx处处而而在在原原点点,)0 , 0(0),(lim00afyxfyx ),0 , 0(0),(lim00fyx