五年级奥数容斥问题学科竞赛

1、容斥问题容斥问题 1、什么是容斥问题、什么是容斥问题 2、容斥原理、容斥原理容斥原理的进阶练习容斥原理的进阶练习基础基础 详解：什么是容斥问题详解：什么是容斥问题 探索之旅 容斥问题容斥问题容容包括包括斥斥排除排除661=11（人）（人）答：共有答：共有11人。人。排队问题：从前面数，从后面数，丽丽都排第排队问题：从前面数，从后面数，丽丽都排第6，这一排共有几个人？，这一排共有几个人？ 洗好的洗好的8块手帕夹在绳子上晾干，同一个夹子夹住相邻的两块手帕的两边，这样一共要多少个夹子？块手帕夹在绳子上晾干，同一个夹子夹住相邻的两块手帕的两边，这样一共要多少个夹子？ 827=9（个）（个）答：一共要答

2、：一共要9个夹子。个夹子。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。容斥原理：对几个事物，如果采用两种不同的分类，那么具有性质容斥原理：对几个事物，如果采用两种不同的分类，那么具有性质1或性质或性质2的事物个数等于性质的事物个数等于性质1性质性质2减减去它们的共同性质。去它们的共同性质。例：学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有例：学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有人，会弹电子琴的有17人，人，其中两种乐器都会演奏的有其中两种乐器都会演

3、奏的有8人。这个文艺组一共有多少人？人。这个文艺组一共有多少人？ 拉手风拉手风琴的人琴的人数：数：2424人人弹电子琴的弹电子琴的人数：人数：1717人人两种两种都会都会弹的弹的人数：人数：8 8人人？人？人24178=33（人）（人）答：一共有答：一共有33人。人。容斥原理：容斥原理：1 1、找分的类：、找分的类：2 2类类 找找1 1、2 2类共有的类共有的2 2、2 2类的总个数等于类的总个数等于2 2类的和减去它们类的和减去它们的共有的。的共有的。五年级学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有五年级学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成

4、绩。其中语文成绩优秀的有65人，数人，数学优秀的有学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有人。语文、数学都优秀的有30人，问五年级一共有多少人？人，问五年级一共有多少人？ 语文优秀的语文优秀的人数：人数：6565人人数学优秀的数学优秀的人数：人数：8787人人两科都优秀两科都优秀的人数：的人数：3030？人？人658730=122（人）（人）答：五年级一共有答：五年级一共有122人。人。四（一）班学生参加数学小组和科技小组，每个学生至少参加一个小组，有四（一）班学生参加数学小组和科技小组，每个学生至少参加一个小组，有25人参加数学小人参加数学小组，组，23人参加科技小组，有人参加科技小组，有19

5、人两个小组都参加了。那么四（一）班一共有多少人？人两个小组都参加了。那么四（一）班一共有多少人？252319=29（人）（人）答：一共有答：一共有29人。人。例：一班有例：一班有48人，班主任在班会上问：人，班主任在班会上问：“谁做完了语文作业？请举手谁做完了语文作业？请举手”有有37人举手，又问：人举手，又问：“谁做完谁做完了数学作业？请举手了数学作业？请举手”有有42人举人，最后问：人举人，最后问：“谁语文、数学作业都没做完？请举手谁语文、数学作业都没做完？请举手”结果没有人举结果没有人举手。求这个班语文、数学作业都做完的人数是多少个？手。求这个班语文、数学作业都做完的人数是多少个？ 做完

6、语文的做完语文的人数：人数：3737人人做完数学的做完数学的人数：人数：4242人人两科做完的两科做完的人数：？人数：？48人人374248=31（人）（人）答：这个班语文、数学作业都做完的人数是答：这个班语文、数学作业都做完的人数是31人。人。五年级有五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有人，数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人？人。语文、数学都优秀的有多少人？ 语文优秀的语文优秀的人数：人数：6565人人数学优秀的数学优秀的人数：

7、人数：8787人人两科做完的两科做完的人数：？人数：？122人人6587122=30（人）（人）答：语文、数学都优秀的有答：语文、数学都优秀的有30人。人。在在1到到100的全部自然数中，既不是的全部自然数中，既不是5的倍数，也不是的倍数，也不是6的倍数有多少个？的倍数有多少个？ 5 5的倍数的的倍数的个数数：个数数：6 6的倍数的的倍数的个数：个数：3030的倍数的的倍数的个数：个数：？个？个1005=20（个）（个）答：有答：有67个。个。不是不是5的倍数；不是的倍数；不是6的倍数；的倍数；不是不是30的倍数的倍数5的倍数的个数；的倍数的个数；6的倍数的个数；的倍数的个数；30的倍数的个的

8、倍数的个数数1006=16 （个）（个） 410030=3 （个）（个） 1020163=33 （个）（个）10033=67 （个）（个）例：例：全班学生全班学生40人，爱好音乐的有人，爱好音乐的有18人，爱好舞蹈的有人，爱好舞蹈的有21，爱好美术的有，爱好美术的有9人，既爱好音乐又爱好舞蹈的有人，既爱好音乐又爱好舞蹈的有3人，既爱好音乐又爱好美术的有人，既爱好音乐又爱好美术的有1人，但没有人这三种都爱好，也没有人都不爱好的。问有多少既爱人，但没有人这三种都爱好，也没有人都不爱好的。问有多少既爱好舞蹈又爱好美术？好舞蹈又爱好美术？ 182193140=4440=4（人）（人） 答：有答：有4人

9、既爱好舞蹈又爱好美术。人既爱好舞蹈又爱好美术。某班有学生某班有学生50人，其中人，其中35人会游泳，人会游泳，38人会骑自行车，人会骑自行车，40人会溜冰，人会溜冰，46人会打乒乓。问四项活动都会人会打乒乓。问四项活动都会的至少有多少人？的至少有多少人？ 一项不会的就不符合一项不会的就不符合 一项不会的尽可能的多，即考一项不会的尽可能的多，即考虑重复的虑重复的 不会游泳的：不会游泳的： 5035=15（人）（人） 不会骑自行车的：不会骑自行车的： 5038=12（人）（人） 不会溜冰的：不会溜冰的： 5040=10（人）（人） 不会打乒乓的：不会打乒乓的： 5046=4（人）（人）四项都会的至

10、少有：四项都会的至少有： 50（1512104）=9（人）（人）课后过关：课后过关：一个旅行社有一个旅行社有36人，其中会英语的有人，其中会英语的有24人，会法语的人，会法语的18人，两样都不会的有人，两样都不会的有4人。两样都会的有多少人？人。两样都会的有多少人？ 练习时间：容斥原理练习时间：容斥原理 探索之旅五年级五年级96名学生都订了刊物，有名学生都订了刊物，有64人订了少年报，有人订了少年报，有48人订了小学生报，问两种刊物都订的有多少人？人订了小学生报，问两种刊物都订的有多少人？64人48人？人（两种都订的）？人（两种都订的）96人64+48-96=112-96=16（人）1、一个班

11、的、一个班的52人都在做语文和数学作业，有人都在做语文和数学作业，有32人做完了语文作业，有人做完了语文作业，有35人做完了数学作业，这个班语文、人做完了数学作业，这个班语文、数学作业都做完的有多少人？数学作业都做完的有多少人？2、五年级有、五年级有112人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优，其中，语文得优的有人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优，其中，语文得优的有65人，数学得优的人，数学得优的有有87人，问语文、数学得优的有多少人？人，问语文、数学得优的有多少人？3、某班有、某班有50名学生，在一次测试中有名学生，在一次测试中有26人满分，在第二次测试中有人满分，在第二次测

12、试中有21人满分。如果两次测试都没有得过满分人满分。如果两次测试都没有得过满分的学生有的学生有17人，那么，两次测试都获满分的有多少人？人，那么，两次测试都获满分的有多少人？某地区的外语教师中，每人至少懂得英语和日语中一种语言。已知有某地区的外语教师中，每人至少懂得英语和日语中一种语言。已知有35人懂英语，有人懂英语，有34人懂日语，两种语人懂日语，两种语言都懂的有言都懂的有21人，这个地区有多少个外语教师？人，这个地区有多少个外语教师？1、某校的每个学生至少爱好体育和文娱中的一种活动，已知有、某校的每个学生至少爱好体育和文娱中的一种活动，已知有900人爱好体育活动，有人爱好体育活动，有850

13、人爱好文娱活人爱好文娱活动，其中动，其中260人两种活动都爱好。这个学校共有学生多少人？人两种活动都爱好。这个学校共有学生多少人？2、某班在一次测试中有、某班在一次测试中有26人语文获优，有人语文获优，有30人数学获优，其中语文、数学双优的有人数学获优，其中语文、数学双优的有12人，另外还有人，另外还有8人语人语文、数学都未获优，这个班共有多少个学生？文、数学都未获优，这个班共有多少个学生？3、第一小组的同学们都在两道数学思考题，做对第一题的有、第一小组的同学们都在两道数学思考题，做对第一题的有15人，做对第二题的有人，做对第二题的有10人，两题都做对的人，两题都做对的有有7人，两题都做错的有

14、人，两题都做错的有2人，第一小组一共有多少人？人，第一小组一共有多少人？612= 0.87-0.49= 1740= 1.68= 2.80.4= 14-7.4= 5.4400= 51.06= 4.30.5= 0.1450= 4= 0.1250.25= 2.56-0.37= 1.054= 1.5+0.254= 30.20.5= 0.841.60.840.6= 12.518.50.8= 在在100个外语教师中，懂得英语的个外语教师中，懂得英语的75人，懂日语的人，懂日语的45人，其中必然有既懂英语又懂日语的老师，问：只懂人，其中必然有既懂英语又懂日语的老师，问：只懂英语的教师有多少人？英语的教师有多

15、少人？75+45=120（人）120-100=20（人）75-20=55（人）答：只懂英语的教师有答：只懂英语的教师有55人。人。1、40人都在做加试的两道题，并且至少做对了其中的一题，已知做对第一题的有人都在做加试的两道题，并且至少做对了其中的一题，已知做对第一题的有30人，做对第二题的有人，做对第二题的有21人，问：只做对第一题的有多少人？人，问：只做对第一题的有多少人？2、五年级、五年级122名同学参加语文、数学考试，每人至少有一门得优，已知语文名同学参加语文、数学考试，每人至少有一门得优，已知语文65 人得优，数学人得优，数学78人得优，人得优，求只有语文一门得优的人数。求只有语文一门

16、得优的人数。3、全班、全班46名同学，仅会打乒乓球的有名同学，仅会打乒乓球的有28人，会打乒乓球又会打羽毛球的有人，会打乒乓球又会打羽毛球的有10人，不会打乒乓球又不会打人，不会打乒乓球又不会打羽毛球的有羽毛球的有6人，仅会打羽毛球的有多少人？人，仅会打羽毛球的有多少人？例：学校开展课外活动，共有例：学校开展课外活动，共有250250人参加。其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的人参加。其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的8383人，参加乒乓球组的有人，参加乒乓球组的有8686人，这两个小组都参加的有人，这两个小组都参加的有2525人。问：这人。问：这2502

17、50名同学中，乒乓球组都不会参加的有名同学中，乒乓球组都不会参加的有多少人？多少人？83+86-25=169-25=144（人）250-144=106（人）答：乒乓球组都不会参加的有答：乒乓球组都不会参加的有106人。人。1、100位旅客中，有位旅客中，有70人懂英语，有人懂英语，有65人懂日语，既懂英语又懂日语的有人懂日语，既懂英语又懂日语的有45 人，那么，既不懂英语又不人，那么，既不懂英语又不懂日语的有多少人？懂日语的有多少人？2、五（、五（1）班有学生）班有学生50人，在一次测试中，语文人，在一次测试中，语文90分以上的有分以上的有30人，数学人，数学90分以上的分以上的35人，语文和

18、数学都人，语文和数学都在在90分以上的有分以上的有20人，人，90分以下的有多少人？分以下的有多少人？3、老师在统计考试成绩。数学得、老师在统计考试成绩。数学得90分以上的有分以上的有25人，语文得人，语文得90分以上的有分以上的有21人，两科中有一科有人，两科中有一科有90分以分以上的有上的有38人，问：两样都得人，问：两样都得90分以上的有多少人？分以上的有多少人？例：实验小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有例：实验小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有2020人获奖，在获奖者中有人获奖，在获奖者中有1616人不是四人不是四年级的，有年级的，有1212人不是五年级的。该校书法比赛获奖的总人数是多少人？人不是五年级的。该校书法比赛获奖的总人数是多少人？1、五一小学举行小学生田径运动会，其中、五一小学举行小学生田径运动会，其中24名运动员不是六年级的，名运动员不是六年级的，28名运动员不是五年级的，已知五、名运动员不是五年级的，已知五、六年级运动员共六年级运动员共32名，五、六年级和中低年级运动员各有几名？名，