2022-2021学年高二数学北师大版必修5学案：2.3解三角形的实际应用举例

1、情境导学学习数学学问的目的是为了解决现实生活中的问题，事实上现实生活中，也确有很多问题需要应用正、余弦25 2 D. m第二章解三角形严皋 §3解三角形的实际应用举例明目标、知重点i能够从实际问题中抽象出数学模型，然后运用正、余弦定理及三角函数的有关学问加以解决2巩固深化解三角形实际问题的思维方法，养成良好的争辩、探究习惯3进一步培育学习数学、应用数学的意识及观看、归纳、类比、概括的力气.填要点记疑点1 仰角和俯角：与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫 仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角.（如图所示）”忖标禮规"'ll标

2、视线2 方位角：一般指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如方位角45 °是指北偏东45 °即东北方向.3 .方向角：相对于某一正方向的水平角.（如图所示）北北偏东”且标la*点 北偏东a即由指北方向顺时针旋转a到达目标方向. 北偏西a即由指北方向逆时针旋转a到达目标方向. 南偏西等其他方向角类似.4 .坡角：坡面与水平面的夹角.（如图所示）定理来解决，今日我们就来共同探讨这方面的问题.探究点一测量距离问题例1自动卸货汽车接受液压机构， 设计时需要计算油泵顶杆 BC的长度（如图）.已知车厢的最大仰角为 60°（指 车厢AC与水平线夹角），油泵顶点B与车厢支点A之间

3、的距离为1.95 m, AB与水平线之间的夹角为 6°20', AC长为1.40 m，计算BC的长度（结果精确到0.01 m）.思考 例1中涉及一个怎样的三角形？在厶 ABC中已知什么，要求什么？使用什么定理来求？（写出例题的解题过程）答 这个问题就是在厶 ABC 中，已知 AB = 1.95 m, AC = 1.40 m，/ BAC = 60°+ 6°20'= 66°20',求 BC 的长. 由于已知两边和它们的夹角，所以可依据余弦定理求出BC.解如图所示，由余弦定理，得 BC2= AB2 + AC2 2AB ACcos A=

4、1.952 + 1.402 2 X 1.95X 1.40X cos66 °20' 3.571. BC 1.89（m）.答顶杠BC约长1.89 m.反思与感悟解决本例题的关键是读懂题意，并能用数学中的几何图形表示实际问题的模型，本问题由于已 知量与未知量都集中在一个三角形中，所以可用余弦定理直接求解.跟踪训练1如图所示，设 A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点 C，测出AC的距离为50 m，Z ACB= 45° / CAB = 105°贝U A、B两点的距离为（）A . 50."2 mB. 50.3 mC. 25,&q

5、uot;2 m5.坡比坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i = h=tan a为坡比，a为坡角）.答案 A解析由题意知/ ABC= 30°由正弦定理ACsin / ABCABsin/ ACBAB =AC sin / ACBsin / ABC50 XaI层二I " I1)AL由于 / DAC = 20 ° 所以 / ADE = 160 ；探究点二测量高度问题于是 / ADB = 360 ° 160 ° 65 = 135 °例2如下图，AB是底部B不行到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.又 / BAD =

6、 35 °- 20 = 15，所以 / ABD = 30 :在厶ABD中，由正弦定理,AB =ADsi n/ADBsin/ABD=1 000 . 2(m).思考1通过观看图形，你认为哪些量能够测量出？答 能够测量出的分别是 a 3, CD = a，测角仪器的高h.思考2你能说出求AB长的一个解题思路吗？答 求AB长的关键是先求 AE，在 ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测出由C点观看A的仰角，就可以计算出 AE的长.思考3写出例题的解题过程.解选择一条水平基线 HG,使H、G、B三点在同一条直线上.由在 H、G两点用测角仪器测得 A的仰角分别是3 a CD = a,

7、测角仪器的高是 h.在 Rt ABC 中，BC = ABsin 35 811(m).答山的高度约为811 m.探究点三 与方位角有关的实际问题例3如图所示，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声 aD 丈监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20 km处和54 km处，某时刻，检测Aii点B收到发自静止目标 P的一个声波，8s后监测点A,20 s后监测点C相继收到这一信号，在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；求静止目标P到海防警戒线a的距离.(结果精确到0.01 km)解 (1

8、)依题意知 PA- PB= 1.5 X 8= 12(km)，PC PB = 1.5X 20= 30(km)，那么，在 ACD中，依据正弦定理可得AC =as in 3sin a 3AB= AE+ h = ACsin a+ h= asnasn3+ h.sin a 3因此 PB = (x- 12) km，PC = (18 + x) km，在厶 PAB 中，AB = 20 km，反思与感悟在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都依据题意，从实际问题中抽象出一个或几cos/ PAB =PA2+ AB2 PB22FA ABx2+ 202 x 12 22x 203x + 325x个三角形，然后通过解

9、这些三角形，得出实际问题的解.和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解.跟踪训练2 某登山队在山脚 A处测得山顶B的仰角为35°沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000米后到达D处,又测得山顶的仰角为 65°则山的高度为 m .(精确到1 m)答案 811解析 过点D作DE / AC交BC于E，同理，在 PAC中,cos / PAC =由于 cos/ PAB = cos/ PAC,即解得x=节(km).72 x3x3x+ 325x72x3x ，作PD丄a，垂足为D，在Rt PDA中,PD = PAcosZ APD = PAcos/ PAB= x3x+ 325x132

10、+ 3217.71(km).答 静止目标P到海防警戒线a的距离约为17.71 km.A . (30 + 30,3) mC. (15+ 30.3 m答案 AB. (30 + 15 .3) mD. (15+ 3 刁)m反思与感悟测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关解析 在厶PAB中，由正弦定理可得的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最终将解得的结果转化为实际问题的解.跟踪训练3如图，A, B是海面上位于东西方向相距5.：3（3+ 1）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45° B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于

11、B点南偏西60°且与B点相距20 '3海里的C点的救援船马上前往营救，其航行速度为 30 海里/时，该救援船到达 D点需要多长时间？解 由题意知 AB = 5（3+書）海里，/ DBA = 90° 60° = 30° / DAB = 90° 45° = 45°160PB60 X 230 pb sin 45° 30° sin 30 ，° sin 15 sin 15 ，h PBsin 45 (30 + 30.3) (m).Z ADB = 180° (45 °+ 30

12、76; = 105°DBAB在厶DAB中，由正弦定理，得=sinZ DAB sin / ADBAB sin Z DAB 5 3+ 3 sin 45 °DB =osinZ ADBsin 1055 3 + 丈 sin 45 °5逅厉+ 1sin 45 cOs 60 + cos 45 s° 60 °；3+ 1210、；3(海里).又 Z DBC Z DBA + Z ABC 30 + (90 60 ) 60 ° BC 23(海里),在厶DBC中，由余弦定理，得CD2 BD2+ BC2 2BD BC cos Z DBC 300 + 1 200

13、2X 10 '3 X 20 .'3X *-900,2.从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°看正南方向有一只船俯角为45°则此时两船间的距离为（）A . 2h 米B. . 2h 米C. ,3h 米D. 2一 2h 米答案 A解析如图所示，BC . 3h, AC h, AB 3h2+ h2 2h （米）.3.甲船在A点发觉乙船在北偏东 60。的B处，乙船以每小时 a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时.3a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇? 解 如图所示.设经过t小时两船在C点相遇，贝U在厶ABC 中，BC at（海里）,

14、AC , 3at（海里）,B 90 °+ 30 ° 120 °北n就(.南：/j /yaA CD 30(海里),需要的时间t 30 1(小时).30BCsin Z CABACsin B得:sin Z CAB BCs in BAC当堂测查疑缺故救援船到达D点需要1小时.1.如图，为测一树的高度，在地面上选取 A、B两点，从A、B两点分别测得望树尖的仰角为30 ° 45 °且A、B两点之间的距离为 60 m,则树的高度为（）/ 0°Z CAB<90° , / CAB 30°/ DAC = 60° 30&

15、#176; = 30°视角，则B、C间的距离是()所以甲船应沿着北偏东 30的方向前进，才能最快与乙船相遇.4.我炮兵阵地位于地面 A处，两观看所分别位于地面点 C和D处，已知CD = 6 km , / ACD = 45°,/ ADC = 75°,目标毁灭于地面点 B处时，测得/ BCD = 30°,/ BDC =15°(如图)，求我炮兵阵地到目标的距离.解 在厶 ACD 中，/ CAD = 180°/ ACD / ADC = 60° / ACD = 45°依据正弦定理，有ad=CDnn05° = I 3

16、cd ,同理，在 BCD 中，/ CBD = 180 / BCD / BDC = 135 ° / BCD = 30 °,A . 10 .3 n mile10 6BPn mileC. 5_2 n mileD. 5_6 n mile答案 D解析 在厶ABC 中，C = 180° 60° 75° = 45°由正弦定理得BCsin AABsin C，BC =10sin 60 =si n 45，亠 一 CDsi n 30 °V2 _依据正弦疋理，有 BD =135° 2 CD.在 ABD 中，/ ADB = / ADC +

17、/ BDC = 90 :依据勾股定理，有 AB,AD2+ BD2CD =CD =J42(km)，所以我炮兵阵地到目标的距离为 42km.呈重点、现规律1 解生活实际问题的一般步骤解得 BC = 5.6 (n mile).2.要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为 45°, 30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、(1) 分析题意，精确理解题意.分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等.(2) 依据题意画出示意图.(3

18、) 将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关学问正确求解演算过程中，要算法简练，计算正确，并作答.(4) 检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍.2 应用举例中常见几种题型测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题等.40分钟课时作业一、基础过关1 .海上有A、B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60 °的视角，从B岛望C岛和A岛成75 °的乙两地相距500 m，则电视塔在这次测量中的高度是()A . 100,2 mB. 400 mC. 200 . 3 mD. 500 m答案 D解析由题意画出

19、示意图，设高AB = h,在Rt ABC中，由已知 BC= h,在 Rt ABD 中，由已知BD = 3h,在厶BCD中，由余弦定理3h2= h2+ 5002 + h 500,BD2= BC2 + CD2 2BC CD cos/ BCD 得,解之得h = 500(m).故选D.3.如图，为测得河对岸塔 AB的高，先在河岸上选一点 C,使C在塔底B的正东方向上， 测得点A的仰角为60°再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得/ BDC = 45° 则塔AB的高是()A. 10 mC. 10. 3 mB. 10 2 mD. 10.6 m答案 D解析 在厶 B

20、CD 中，CD = 10 m, / BDC = 45° / BCD = 15° + 90° = 105° / DBC = 30°由正弦定理，得 % =D厂,oBC= CDisi3045 ° =10 '2(m).sin 45 sin 30sin 30在 Rt ABC 中，tan 60 =AB, AB= BCtan 60 =10 .；6(m).BC4 .某人在C点测得某塔在南偏西80 °塔顶仰角为45 °此人沿南偏东 40。方向前进10 m到D，测得塔顶A答案 40. 3的仰角为30°则塔高为（）A.

21、 15 m7.要测量对岸两点 A、B之间的距离，选取相距 ，3 km的C、D两点，并测得/ ACB= 75 °,/ BCD = 45 °,C. 10 mD. 12 m答案 C解析如图，设塔高为h,Rt AOC 中，/ ACO = 45 °OC = OA = h./ ADC = 30°,/ ADB = 45°,求 A、B 之间的距离.解 如图所示，在 ACD中，/ ACD = 120° ,/ CAD = / ADC = 30°AC= CD = . 3 (km).在厶BCD中，ABRt AOD 中，/ ADO = 30 

22、6;/ BCD = 45° / BDC = 75° / CBD = 60°.贝U OD = .'3h.在厶OCD 中，/ OCD = 120 ； CD = 10,.bc = V3sin 75sin 606+22(km).由余弦定理得 OD2= OC2+ CD2- 2OC CDcos/ OCD , ABC中，由余弦定理，得即(,'3h)2= h2+ 102- 2hx 10X cos 120 , h2- 5h- 50= 0,解得 h = 10 或 h=- 5(舍).即塔高为 10 m.5 .某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75 °距离为12

23、' 6 n mile ;在A处看灯塔C在货轮的北偏西 30 °距 离为& '3 n mile.货轮由A处向正北航行到 D处时，再看灯塔 B在北偏东120°则A处与D处之间的距离为n mile ;灯塔C与D处之间的距离为答案 24& 3n mile.226+ 2 2 t V6+ 2AB2= (, 3)2+ 2-2 3 X X cos 75=3+ 2+ 3 - 3= 5, AB=：J5 (km). A、B之间的距离为-5 km.二、力气提升解析 在厶ABD中，由已知得 / ADB = 60° , B= 45°ABsin B12

24、X 2-由正弦定理得AD =F = 24.si n/ADB 坐2-a在厶ADC 中，由余弦定理得 CD2= AD2+ AC2- 2AD ACcos 30 ,解得 CD = 8.'3.所以A处与D处之间的距离为24 n mile，灯塔C与D处之间的距离为8 .'3 n mile.&一船自西向东匀速航行，上午 10时到达一座灯塔 P的南偏西75。距塔68海里的M处，下午2时到达这座 灯塔的东南方向的 N处，则这只船的航行速度为 （）A.弋尹海里每小时B . 36海里每小时C：17-2海里每小时D . 34 2海里每小时答案 A解析如图所示，6.如图，A、N两点之间的距离为N

25、亠人, PMMN在厶PMN中，='sin 45 sin 120 '解得，xi= 16, X2= 6（舍去）,故 BD = 16 km ,.MN = 683= 34晶又/ BDA = 60 ° AD 丄 CD ,/ CDB = 30°.二v=MN=占6（海里每小时由正弦定理，得:BC = BD sin/ CDB = sin/ BCD，故选A.sin 30 = 8 211.3（km）.9 .甲船在岛B的正南A处,AB = 10千米，甲船以每小时 4千米的速度向正北航行，同时，乙船自B动身以两景点B与C的距离约为11.3 km.每小时6千米的速度向北偏东60

26、76;勺方向驶去当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是B处测得地面上一点 A的俯角为在塔底C处测得A处的俯角为3已知铁塔A.号分钟B.号小时C. 21.5分钟D . 2.15分钟答案 A解析 设行驶x h后甲到点C,乙到点D，两船相距y km ,则/ DBC = 180 60 = 120 ° y2=（10 4x）2 +（6x）2 2（10 - 4x） 6xcos 12011.如图所示，在山顶铁塔上BC部分的高为h，求出山高CD.解在厶ABC 中,=28x2 20x+ 100 = 28 x £ 2 25 + 100.147当x= £小时= 号分钟时，y2有最小值

27、./ BCA = 90°+ 3 y最小./ ABC = 90° a,/ BAC = a 3 / CAD = 310.要计算西湖岸边两景点 B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取 A和D两点, 现测得 AD 丄 CD , AD = 10 km , AB= 14 km，/ BDA = 60° / BCD = 135° ,则两景点 B 与C的距离为 （精确到0.1 km）.参考数据：,'2 1.414,1.732, .'52.236.依据正弦定理得AC = BC sin / ABC= sin / BAC，答案 11.3 km即ACsin

28、90 ° aBCsin a 3解析在厶ABD中，设BD = x km ,则 BA2= BD2+ AD2 2BD AD cos/ BDA , 即 142= x2 + 102 2 1 0x cos 60 , °整理得，x2 10x 96= 0,BCcos a _ hcos asin a 3 sin a 3在 Rt ACD 中，CD = ACsin / CAD = ACsin 3hcos osin 3sin a 3答山的高度为hcos加n Bsin a 312.在海岸A处，发觉北偏东45。的方向，距离 A (.3 1) n mile的B处有一艘走私船，在 A处北偏西75。的 方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3 n mile/h的速度追截走私船.此时，走私船正以10 n mile/h 的速度从B处向北偏东30°的方向逃跑，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？解 如图所示，设缉私船用 t h在D处追上走私船,则有 CD = 10 3t, BD = 10t,在厶A