7-1二次曲面与二次形

1、12第七章第七章 二次曲面与二次形二次曲面与二次形曲面与空间曲线曲面与空间曲线 实二次型实二次型1第一节第一节 曲面与空间曲线曲面与空间曲线作业作业习题习题7.1(A)7.1(A)1(2)(3)(6), 5, 7,8(1)(2), 10, 12(1)一、曲面方程的概念求到两定点求到两定点A(1,2,3) 和和B(2,-1,4)等距离的点的等距离的点的222)3()2()1( zyx07262zyx化简得化简得即即说明说明: : 动点轨迹为线段动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面的垂直平分面. .引例引例: :显然在此平面上的点的坐标都满足此方程显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, , 不在此平

2、面上的点的坐标不满足此方程不在此平面上的点的坐标不满足此方程. .222)4() 1()2(zyx解解: :设轨迹上的动点为设轨迹上的动点为, ),(zyxM,BMAM 则轨迹轨迹方程方程. . 0),(zyxFSzyxo如果曲面如果曲面 S 与方程与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系有下述关系:(1) 曲面曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程上的任意点的坐标都满足此方程;则则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面叫做曲面 S 的的方程方程, 曲面曲面 S 叫做方程叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的的图形图形.两个基本问题两个基本问题 : :(1) 已知一曲

3、面作为点的几何轨迹时已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2) 不在曲面不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程求曲面方程.(2) 已知方程时已知方程时 , 研究它所表示的几何形状研究它所表示的几何形状.( 必要时需作图必要时需作图 ). 定义定义故所求方程为故所求方程为例例1 1 求动点到定点求动点到定点),(zyxM),(0000zyxM方程方程. 特别特别, ,当当M0在原点时在原点时, ,球面方程为球面方程为解解: 设轨迹上动点为设轨迹上动点为RMM0即即依题意依题意距离为距离为 R 的轨迹的轨迹xyzoM0M222yxRz表示上表示上(下下)球面球面 .R

4、zzyyxx202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx 2222Rzyx xyz引例引例. . 分析方程分析方程表示怎样的曲面表示怎样的曲面 .的坐标也满足方程的坐标也满足方程222Ryx解解: :在在 xoy 面上面上，表示圆表示圆C, 222Ryx222Ryx沿曲线沿曲线C平行于平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面轴的一切直线所形成的曲面称为称为故在空间故在空间222Ryx过此点作过此点作圆柱面圆柱面对任意对任意 z ,平行平行 z 轴的直线轴的直线 l ,表示表示圆柱面圆柱面oC在圆在圆C上任取一点上任取一点 , )0 ,(1yxMlM1M),(zyxM点其上所有点

5、的坐标都满足此方程其上所有点的坐标都满足此方程, ,二、柱面二、柱面、锥面、旋转面、锥面、旋转面定义定义设柱面设柱面S的母线平行于的母线平行于z轴，轴，准线为准线为Oxy面的曲线面的曲线平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线C叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线L 叫柱面叫柱面的的母线母线.1. 柱面柱面 00),(zyxf：则柱面则柱面S的方程为的方程为0),( yxfCLxzy0母线母线F( x,y )=0z = 0准线准线 (不含不含z)M(x,y,z)N (x, y, 0)S曲面曲面

6、S上每一点都满足方程；上每一点都满足方程；曲面曲面S外的每一点都不满足方程外的每一点都不满足方程点点N满足方程，故满足方程，故点点M满足方程满足方程1. 1. 母线母线准线准线(不含不含x)F( y, z )=0 x = 0 xzy012222 byaxabzxyo椭圆椭圆zxy = 0y12222 bzaxo双曲双曲pxy22 zxyo抛物抛物建立母线平行于建立母线平行于C: C: x x = = y y = = z ,z ,且准线且准线为为 02222zyxazyx：的柱面方程的柱面方程为为柱柱面面上上任任一一点点，设设),(zyxM解解例例tzZtyYtxX ,则由母线的方向则由母线的方

7、向的的母母线线的的参参数数方方程程为为可可知知过过点点向向量量Ma),1 , 1 , 1( 这条母线必与这条母线必与 相交，相交， 故它们的交点的坐标故它们的交点的坐标（X,Y,ZX,Y,Z）必满足）必满足的方程，即有的方程，即有 0)()()()()()(2222tztytxatztytx消去消去t t得得22223222222azxyzxyzyx 即为所求即为所求2、锥面、锥面P0M 定义定义 设动直线设动直线L L沿定曲线沿定曲线移动，移动时移动，移动时L L始终始终通过定点通过定点 。这条由动直线。这条由动直线L L移动所形成移动所形成的曲面称为锥面的曲面称为锥面. .0ML-母线母线

8、-顶点顶点准线准线-建立顶点在原点准线为建立顶点在原点准线为 00),(zzyxf：的锥面方程的锥面方程0P000zzyyxx zyzyzxzx0000, 0,00 zyzzxzf-锥面方程锥面方程例例 求以原点为顶点求以原点为顶点22221 cxy=abz =),(zyxM为准线的为准线的锥面方程锥面方程。解解),(zyxM锥面上动点为锥面上动点为连接顶点连接顶点 与与(0,0,0),o0000(,),Mxy z直线与准线的交点为直线与准线的交点为00 xyzxyc该直线方程为该直线方程为00,xcycxyzz则则2200221 xy=ab且且锥面方程为锥面方程为222222()()1 xc

9、yc=a zb z222222 xyz=abczxyoxyz3、旋转面、旋转面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转曲面的这条定直线叫旋转曲面的轴轴xozy0),( zyf曲线曲线 C C 00),(xzyfCy zo绕绕 z z 轴轴旋转旋转的方程的方程曲线曲线 C 00),(xzyfxCy zo绕绕 z z 轴轴旋转旋转的方程的方程曲线曲线 C C 00),(xzyf旋转一周得旋转一周得旋转曲面旋转曲面S SCSMN), 0(11zy zz 1zPMPy |11y1zy

10、 zo绕绕 z轴轴.22yx f (y1, z1)=0M(x,y,z)旋转旋转的方程的方程x S0),( 22 zyxfS：例例5 5 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程生成的旋转曲面的方程绕绕x轴轴旋旋转转绕绕z轴轴旋旋转转122222 czyax122222 czayx旋转双曲面旋转双曲面绕绕y轴轴旋旋转转绕绕z轴轴旋旋转转122222 czxay122222 czayx旋转椭球面旋转椭球面pzyx222 旋转抛物面旋转抛物面二次曲面的定义：二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之三元二次方程所表示的曲面称之相应地平面被称为相应地平

11、面被称为一次曲面一次曲面讨论二次曲面性状的讨论二次曲面性状的截痕法截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌加以综合，从而了解曲面的全貌以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面三、典型的二次曲面三、典型的二次曲面17/41ozyx（1）椭球面）椭球面1222222 czbyax 椭球面与椭球面与xoy坐标面的交线为：坐标面的交线为：,012222 zbyax椭球面与平面椭球面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆1zz 1212222

12、2122221)()(zzzccbyzccaxcz |1椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：,)1(ba 1222222 czayax旋转椭球面旋转椭球面12222 czax由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成z,)2(cba 1222222 azayax球面球面.2222azyx 方程可写为方程可写为（2） 椭圆抛物面椭圆抛物面，zqypx222 ），（00 qp1）曲面在）曲面在 xoy 平面上方，过坐标平面上方，过坐标原点原点)0 , 0 , 0(O-顶点顶点. 11212122zzqzypzx当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中心中心都在都在 轴上轴上.1zz2）与

13、平面）与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.1zz )0(1 zxyzo（3）与）与 坐标面坐标面 的交线为抛物线的交线为抛物线.xozyoz和和zxyo椭圆抛物面椭圆抛物面，zqypx222 时，时，当当0, 0 qp的图形如右：的图形如右：说明说明（1）（2）当）当 时，方程变为时，方程变为qp zpypx 2222旋转抛物面旋转抛物面)0( p（由（由 面上的抛物线面上的抛物线 绕它的轴绕它的轴旋转而成的）旋转而成的）xozpzx22 ，zqypx222 （3）双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）（0, 0 qpxyzo（4）单叶双曲面）单叶双曲面1222222 czbyax与坐标面与坐

14、标面 的交线为的交线为)0( zxoy 012222zbyax与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.1zz 当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中心中心都在都在 轴上轴上.1zz 122122221zzczbyax xyoz（5）双叶双曲面）双叶双曲面1222222 czbyaxxyo四四 空间曲线空间曲线空间曲线可视为两曲面的交线空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组其一般方程为方程组0),(0),(zyxGzyxF2SL0),(zyxF0),(zyxG1S例如例如, ,方程组方程组632122zxyx表示圆柱面与平面的交线表示圆柱面与平面的交线 C. xzy1oC21 1、

15、空间曲线的一般方程、空间曲线的一般方程又如,方程组方程组表示上半球面与圆柱面的交线表示上半球面与圆柱面的交线C. 022222xayxyxazyxzaozyxo2 2、空间曲线的参数方程、空间曲线的参数方程将曲线将曲线C上的动点坐标上的动点坐标x, y, z表示成参数表示成参数t 的函数的函数: :称它为空间曲线的称它为空间曲线的 参数方程参数方程. .)(txx 例如例如, ,圆柱螺旋线圆柱螺旋线vbt,令bzayaxsincos,2 时当bh2taxcostaysin t vz 的参数方程为的参数方程为上升高度上升高度, 称为称为螺距螺距 .)(tyy )(tzz M )()()(tzzt

16、yytxx 当当给给定定1tt 时时，就就得得到到曲曲线线上上的的一一个个点点),(111zyx，随随着着参参数数的的变变化化可可得得到到曲曲线线上上的的全全部部点点.空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程2 2、空间曲线的参数方程、空间曲线的参数方程 动点从动点从A点出点出发，经过发，经过t时间，运动到时间，运动到M点点 A MM M在在xoy面的投影面的投影)0 ,(yxM tax cos tay sin vtz t 螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程取时间取时间t为参数，为参数，解解xyzo30/41五、空间曲线在坐标面上的投影五、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线设空间曲线 C 的一般方程

17、为的一般方程为消去消去 z 得投影柱面得投影柱面则则C 在在xoy 面上的投影曲线面上的投影曲线 C 为为消去消去 x 得得C 在在yoz 面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程消去消去y 得得C 在在zox 面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程0),(0),(zyxGzyxF,0),(yxH00),(zyxH00),(xzyR00),(yzxTzyxCC 例例8 8 求曲线求曲线 在各坐标面上的投影在各坐标面上的投影. 211222zzyx解解（1）消去变量）消去变量z后得后得,4322 yx在在 面上的投影为面上的投影为xoy,04322 zyx所以在所以在 面上的投影为线段面上的投影为线段

18、.xoz;23|,021 xyz（3）同理在）同理在 面上的投影也为线段面上的投影也为线段.yoz.23|,021 yxz（2）因为曲线在平面）因为曲线在平面 上，上，21 z截线方程为截线方程为 0222zyxxzy解解如图如图,（2）消去）消去y得投影得投影,0042522 yxxzzx（3）消消去去x得得投投影影.00222 xzyzy（1）消消去去z得得投投影影,004522 zxxyyx例例6.,)(34,2222面面上上的的投投影影求求它它在在锥锥面面所所围围成成和和由由上上半半球球面面设设一一个个立立体体xoyyxzyxz 解解半球面和锥面的交线为半球面和锥面的交线为 , )(3

19、,4:2222yxzyxzC, 122 yxz 得投影柱面得投影柱面消去消去面面上上的的投投影影为为在在则则交交线线xoyC . 0, 122zyx一个圆一个圆,面面上上的的投投影影为为所所求求立立体体在在 xoy. 122 yx旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这

20、条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称

21、为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成

22、的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转

23、一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴旋转曲面旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴定义定义柱面柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义

24、柱面柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义柱面柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义柱面柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线

25、平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义柱面柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义柱面柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线