微分中值定理与导数的应用教案ppt课件

1、第三章中值定理中值定理应用应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式 (第三节)推广推广微分中值定理 与导数的应用 目录 上页 下页 返回 结束 回顾闭区间上连续函数的性质回顾闭区间上连续函数的性质 1.1.有界性与最大值最小值定理：在闭区间上连续的有界性与最大值最小值定理：在闭区间上连续的函数在该区间上有界且函数在该区间上有界且 一定能取得它的最大值和最小值。一定能取得它的最大值和最小值。推论：在闭区间上连续的函数必取得介于最大推论：在闭区间上连续的函数必取得介于最大 值与最小值之间的任何值值与最小值之间的任何值. .( ) , ,( )(

2、 )( )( )0),( , )(),( )0.f xa bf af bf af ba babf 设设在在闭闭区区间间上上连连续续且且与与异异号号即即那那么么在在开开区区间间内内至至少少有有一一点点使使2.2.零点定理：零点定理：() , ,( )( ),( , )(),( ).f xa bf aAf bBABCa babfC 设设在在闭闭区区间间上上连连续续 且且端端点点值值与与不不相相等等 那那么么对对于于 与与之之间间的的任任意意一一个个数数在在开开区区间间内内至至少少存存在在一一点点使使3.3.介值定理：介值定理：目录 上页 下页 返回 结束 一、罗尔一、罗尔( Rolle )定理定理

3、第一节二、拉格朗日二、拉格朗日( Lagrange )中值定理中值定理 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理 中值定理 第三章 目录 上页 下页 返回 结束 函数在一点的导数描述了函数在某一点的变化性质函数在一点的导数描述了函数在某一点的变化性质变化率，变化率，它是函数在该点的一个局部性质。有时候，我们要研究函数在整它是函数在该点的一个局部性质。有时候，我们要研究函数在整个定义域上的变化形态，这就是要了解函数在其定义域上的整体个定义域上的变化形态，这就是要了解函数在其定义域上的整体性质。函数的局部性质与整体性质是通过中值定理表达的。这些性质。函数的局部性质与整体性质是通过中值定理表

4、达的。这些中值定理是微分学的基础，它联系着导数的许多应用。中值定理是微分学的基础，它联系着导数的许多应用。目录 上页 下页 返回 结束 费马费马(fermat)引理引理一、罗尔一、罗尔( Rolle )定理定理,)(0有定义在xU且 )(0 xf 存在, )()(0 xfxf)(或0)(0 xf证证: 设设, )()(, )(0000 xfxxfxUxx那么)(0 xf xxfxxfx)()(lim000)0(x)(0 xf)0(x)(0 xf000)(0 xf)(xfy 费马 证毕xyO0 x目录 上页 下页 返回 结束 bxaOyABmaxf0)(,minffxfxf)()( 0)( f0

5、)(f0)(fxfxf)()( ) ( 0)()(xfxf0)()(xfxf这说明：在极大值或极小值点处,函数的导数为0. 几何意义是：在极值点处的切线平行于AB的连线或x轴.中值定理演示1）目录 上页 下页 返回 结束 可微函数在区间内部取极值的必要条件是函数在可微函数在区间内部取极值的必要条件是函数在该点的导数值为零该点的导数值为零. 通常称导数为零的点为函数驻点或通常称导数为零的点为函数驻点或称称为稳定点，临界点）。为稳定点，临界点）。 目录 上页 下页 返回 结束 罗尔（罗尔（ Rolle ）定理）定理)(xfy 满足:(1) 在区间 a , b 上连续(2) 在区间 (a , b)

6、内可导(3) f ( a ) = f ( b ),使. 0)(f证证:，上连续在因,)(baxf故在 a , b 上取得最大值 M 和最小值 m .假设 M = m , 那么, ,)(baxMxf因而.0)(, ),(fba在( a , b ) 内至少存在一点xyab)(xfy O,.ABC在在曲曲线线弧弧上上至至少少有有一一点点在在该该点点处处的的切切线线是是水水平平的的目录 上页 下页 返回 结束 假设 M m , 那么 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,不妨设 , )(afM 则至少存在一点, ),(ba使,)(Mf. 0)(f注意注意:1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立.

7、 1,010,)(xxxxf则由费马引理得 1 , 1)(xxxf 1 ,0)(xxxfx1yOx1y1Ox1yOxyab)(xfy O不连续在 1 , 0不可导在) 1 , 0() 1 ()0(ff例如,目录 上页 下页 返回 结束 使2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为)(xfy 在 ( a , b ) 内可导, 且)(limxfax)(limxfbx在( a , b ) 内至少存在一点,. 0)(f证明提示证明提示: 设设证 F(x) 在 a , b 上满足罗尔定理 . )(xFaxaf, )(bxaxf, )(bxbf, )(目录 上页 下页 返回 结束 练习练习1：P134 1

8、5lnsin,.66yx 验验证证罗罗尔尔定定理理对对函函数数在在区区间间上上的的正正确确性性( )lnsinf xx 5,66 在在上上 连连 续续5(,),66在在上上可可导导51()()ln,662ff且且5(,).266 得得cos( ),sinxfxx 由罗尔定理可知：由罗尔定理可知：5(,)( )0.66f 至至少少存存在在一一点点，使使又又5( ),66f x 在在上上满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件( )0,f 令令lnsinyx 因因此此罗罗尔尔定定理理对对函函数数5,.66 在在区区间间上上是是正正确确的的目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 证明方程证明方程0155

9、 xx, 15)(5xxxf. 3) 1 (, 1)0(ff, 0)(0 xf, ) 1,0(011xxx) 1(5)(4xxf),1,0(, 0 x有且仅有一个小于1 的正实根 .证证: 1) 存在性存在性 .那么)(xf在 0 , 1 连续 , 且由介值定理知存在, ) 1 ,0(0 x使即方程有小于 1 的正根.0 x2) 唯一性 .假设另有, 0)(1xf使在以)(xf10, xx为端点的区间满足罗尔定理条件 ,之间在10, xx至少存在一点,. 0)(f使但矛盾, 故假设不真!设-2-112-20-101020目录 上页 下页 返回 结束 练习练习2：P134 7+ +1011( )

10、.,nnnf xa xa xax 证证: 令令0( )0,f xx在上满足罗尔定理的条件，0(0,1)(0,),x故在内至少存在一点120110+ (1).0(0,)nnna nxa nxax 即方程在内0.x必有小于 的正根0( )0,f xCx ，0( )0,)f xx在在( (内内可可导导，0(0)()0.ff x ( )0,f使1011.0nnna xa xax + +若方程有一个正根 ，0 xx 证明方程12011+ (1).0nnna nxa nxa 必有一个小于 的正根.0 x目录 上页 下页 返回 结束 并指出它们所在的区间。并指出它们所在的区间。分别在区间分别在区间 (1,

11、1), (1, 2), (2, 3) 内。内。 证：证：显然显然, f (x)分别在闭区间分别在闭区间1, 1, 1, 2, 2, 3上连续，上连续， 5. 5. 设函数设函数f (x) = (x +1) (xf (x) = (x +1) (x1) (x1) (x2) (x2) (x3)3)，证明方程证明方程f (x)=0有三个实根，有三个实根，且且 f (1) = f (1) = f (2) = f (3) . 由罗尔定理，由罗尔定理，在在(1, 1), (1, 2), (2, 3)内分别存在点内分别存在点1 , 2, 3 ，使得使得 f (1) = f ( 2) = f ( 3) = 0即

12、方程即方程f (x) = 0有三个实根，有三个实根，在开区间在开区间 (1, 1), (1, 2), (2, 3) 内可导，内可导，目录 上页 下页 返回 结束 二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 )( (1) 在区间 a , b 上连续)(xfy 满足:(2) 在区间 ( a , b ) 内可导至少存在一点, ),(ba使.)()()(abafbff思路思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然 ,)(x在a, b 上连续, 在(a, b)内可导, 且证证: 问题转化为证)(x)(xfxabafbf)()()(a由罗尔定理

13、知至少存在一点, ),(ba,0)(使即定理结论成立 ., )(babbfaafb)()(拉氏 0)()()(abafbff证毕xyab)(xfy Oxyabafbf)()(目录 上页 下页 返回 结束 ),(,)()()(baabafbff拉格朗日中值定理的有限增量形式:推论推论: 若函数若函数在区间 I 上满足,0)( xf那么)(xf在 I 上必为常数.)(xf证证: 在在 I 上任取两点上任取两点, )(,2121xxxx上用拉在,21xx格朗日中值公式 , 得0)()(12xfxf)(12xxf)(21xx)()(12xfxf由 的任意性知, 21,xx)(xf在 I 上为常数 .)

14、 10()(0 xxxfy,00 xxbxa令那么目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 证明等式证明等式. 1, 1,2arccosarcsinxxx证证: 设设,arccosarcsin)(xxxf上则在) 1, 1()(xf由推论可知Cxxxfarccosarcsin)( (常数) 令 x = 0 , 得.2C又,2) 1(f故所证等式在定义域 上成立. 1, 1自证自证:),(x,2cotarcarctanxx211x211x0经历经历: 欲证Ix时,)(0Cxf只需证在 I 上, 0)( xf,0Ix 且.)(00Cxf使目录 上页 下页 返回 结束 ()()xfxxe 设设 2()

15、()()xxxfx efx exe 则则 (0)1,()=e ,.xffxx 则则:证明 分析分析 ,xfxe 要要证证即即证证( )1.xf xe 且且, ( ),( )( )f xfxf x 设设函函数数在在内内，满满足足关关系系式式证：证： ( ),xCx 又又0(0)(0)1fe 1.C 即即 ( )=e ,.xf xx 练习练习3：P134 14()()xfxfxe 0 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 证明不等式证明不等式. )0()1ln(1xxxxx分析：分析：(0)x 欲证上述不等式成立，欲证上述不等式成立，只须证：只须证：ln(1)ln(10)1xxxx 只须证：只须

16、证：1ln(1)ln(10)110 xxx 为此只须证：为此只须证：( )ln(1)0, f ttx 在在上上满满足足拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理 ln(1)x 关键！关键！( )ln(1)f tt 构造构造目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 证明不等式证明不等式证证: 设设, )1ln()(ttf上满足拉格朗日在则,0)(xtf中值定理条件,即因为故. )0()1ln(1xxxxx)0()(fxf)1ln(xxx0,11x xx1x)0()1ln(1xxxxxxxf0, )0)(因此应有目录 上页 下页 返回 结束 用拉格朗日定理证明不等式的关键是构造用拉格朗日定理证明不等式的关键是

17、构造一个辅助函数一个辅助函数,并定出一个适当的区间并定出一个适当的区间,使该辅使该辅助函数在区间上满足定理的条件助函数在区间上满足定理的条件,然后由中值然后由中值所在的位置所在的位置,放大或缩小放大或缩小 ,推出要证的不等式推出要证的不等式.方法：设辅助函数、选区间、应用定理、放大缩小方法：设辅助函数、选区间、应用定理、放大缩小( )( )( )(),( , )f bf afbaa b ( )f 放大或缩小构造有关的函数构造有关的函数确定应用区间确定应用区间应用应用Lagrange定定理理计算导数后的等式计算导数后的等式转化为不等式转化为不等式解题思路：解题思路：目录 上页 下页 返回 结束

18、11()()nnnnnbababnaab 练习练习4：P134 90,ab1n 设设，证明，证明: : 证证: 设设( ),nf xx ( ) , f xb a则则在在上上满满足足拉拉格格朗朗日日中值定理条件,即因而即( )( )f af b nnab 1() ,nnabba 1()nnab 1()nnbab 1()nnaab 11()()nnnnnbababnaab ( )(),fabba 因此应有又又 0b 1, 所以所以 bn1 n1 an1 目录 上页 下页 返回 结束 arctanarctanabab 练习练习4：P134 11(1)证证 设设f(x)=arctan x ,不妨设不妨

19、设a共有 27 卷. 其中最重要的是为巴黎综合学校编写的分析教程, 无穷小分析概论, 微积分在几何上的应用 等, 有思想有创建, 广泛而深远 .对数学的影响他是经典分析的奠基人之一, 他为微积分所奠定的基础推动了分析数学的发展. 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 , 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题求证存在, ) 1 ,0(. 0)()(ffn使1. 设设 1 , 0可导，且,0) 1 (f在连续，) 1 ,0()(xf证证: 设辅助函数设辅助函数)()(xfxxn, ) 1 ,0(因此至少存在显然)(x在 上满足罗尔定理条件, 1 , 0)(即0)

20、()(ffn使得)()(1ffnnn0目录 上页 下页 返回 结束 0)0(,0)( fxf设 证明对任意0, 021xx有)()()(2121xfxfxxf证：证：210 xx )()()(1221xfxfxxf12)(xf0)(121 fx)()()(2121xfxfxxf,(2122xxx2.不妨设 )0()()()(1221fxfxfxxf)(21)011x11)(xf目录 上页 下页 返回 结束 练练 习习arctanarccot.2xx 证明证证:( )arctanarccot,f xxx 设2211( )()11fxxx 0. ( ),f xC (0)arctan0arccot0

21、f又02 ,2 .2C 即arctanarccot.2xx 目录 上页 下页 返回 结束 11lncos1lnlne1lnsinlnesin)e , 1(,)()() 1 (e) 1 (e)FfFFff例例5. 试证至少存在一点试证至少存在一点)e , 1(使.lncos1sinlncos1sin 证证: 法法1 用柯西中值定理用柯西中值定理 .xxFxxfln)(,lnsin)(那么 f (x) , F(x) 在 1 , e 上满足柯西中值定理条件, 令因而 11lncoslncos1sin即分析分析:目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 试证至少存在一点试证至少存在一点)e , 1(使.

22、lncos1sin法法2 令令xxflnsin)(那么 f (x) 在 1 , e 上满足罗尔中值定理条件,e), 1 (使0)(fxlncos)(xf1sinx1lncos1sin 因此存在x1xln1sin 目录 上页 下页 返回 结束 并指出它们所在的区间。并指出它们所在的区间。分别在区间分别在区间 (1, 1), (1, 2), (2, 3) 内。内。 证：证：显然显然, f (x)分别在闭区间分别在闭区间1, 1, 1, 2, 2, 3上连续，上连续， 5. 5. 设函数设函数f (x) = (x +1) (xf (x) = (x +1) (x1) (x1) (x2) (x2) (x3)3)，证明方程证明方程f (x)=0有三个实根，有三个