中考数学类比探究型几何综合题专题训练含答案与解析

1、中考数学类比探究型几何综合题专题训练【类型1】通过位置变化(图形变换)进行类比探究R例11已知：如图，等边AAOB的边长为4,点C为OA中点.(1)如图1,将OC绕点O顺时针旋转，使点C落到OB边的点D处，设旋转角为0°<“W360则此时“=;此时ACOD是三角形(填特殊三角形的名称).(2)如图2,固定等边AAOB不动，将(1)中得到的AOCD绕点O逆时针旋转，连接AC,BD,设旋转角为3(0°<8W360：求证：AC=BD;当旋转角3为何值时，OC/AB,并说明理由；当A、C、D三点共线时，直接写出线段BD的长.(2)(探究)如图，在菱形ABCD中，/B=6

2、0°.E是边BC上的点，连结AE,作/EAF=60°,边AF交边CD于点F,连结EF.若BC=2,求CE+CF的长.(3)(应用)在菱形ABCD中，ZB=60°.E是边BC延长线上的点，连结AE,作/EAF=60°,边AF交边CD延长线于点F,连结EF.若BC=2,EFBC时，借助图求AAEF的周长.R尝试练习1.如图1,等边4ABC与等边BDE的顶点B重合，D、E分别在AB、BC上，AB=2，2,BD=2.现将等边ABDE从图1位置开始绕点B顺时针旋转，如图2,直线AD、CE相交于点P.(1)在等边4BDE旋转的过程中，试判断线段AD与CE的数量关系，

3、并说明理由；(2)在等边4BDE顺时针旋转180°的过程中，当点B到直线AD的距离最大时，求PC的长；(3)在等边4BDE旋转一周的过程中，当A、D、E三点共线时，求CE的长.R例23现有与菱形有关的三幅图，如图：(1)(感知)如图，AC是菱形ABCD的对角线，/B=60°,E、F分别是边BC、CD上的中点,连结AE、EF、AF.若AC=2,贝UCE+CF的长为.(1)将图1的正方形AEFG绕点A转动一定的角度到图2的位置.2.AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF,连接CF.(

4、1)探究猜想如图1,当点D在线段BC上时，BC与CF的位置关系为：;BC、CD、CF之间的数量关系为：;(2)深入思考如图2,当点D在线段CB的延长线上时，结论、是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明.(3)拓展延伸如图3,当点D在线段BC的延长线上时，正方形ADEF对角线交于点O.若已知AB=2冠，CD1=BC,请求出OC的长.求证：BE=DG;BEDG;(2)如图3,若点D,G,E在同一条直线上，且正方形ABCD的边长是43，正方形AEFG的边长为3日,求BE的长.CBeECBBCDSI图2图3【类型2】通过形状变化进行类比探究R例31如图1,在AABC中，

5、AB=AC,/BAC=决D为BC边上一点(不与点B,C重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转”得到AE,连接DE,CE.(1)求证：CE=BD;(2)若a=60。，其他条件不变，如图2.请猜测线段AC,CD,CE之间的数量关系，并说明理由；(3)若“=90°,其他条件不变，如图3,请写出/ACE的度数及线段AD,BD,CD之间的数量关系，并说明理由.3.如图1,正方形ABCD与正方形AEFG有公共的顶点A,且正方形AEFG的边AE,AG分别在正方形ABCD的边AB,AD上，显然BE=DG,BEXDG.R例41如图1,在正方形ABCD中，点P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且P

6、C=PE,PF交CD于点F.(1)求证：/PCD=/PED；(2)连接EC,求证：EC=v2AP;(3)如图2,把正方形ABCD改成菱形ABCD,其他条件不变，当/DAB=60°时，请直接写出线段EC和AP的数量关系.5.已知在平行四边形ABCD中，AB相C,将UBC沿直线AC翻折，点B落在点E处，AD与CE相交于点O,联结DE.(1)如图1,求证：AC/DE；(2)如图2,如果/B=90°,AB=/3,BC=,求AOAC的面积；(3)如果/B=30°,AB=2v3，当那ED是直角三角形时，求BC的长.R尝试练习14.已知菱形ABCD和菱形DEFG有公共的顶点D,

7、C点在DE上，且/ADC=/EDG,连接AE,CG,如图1.(1)试猜想AE与CG有怎样的数量关系(直接写出关系，不用证明)；(2)将菱形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2,连接AE和CG.你认为(1)中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)在(2)的条件下，如果ZADC=ZEDG=90°,如图3,你认为AE和CG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由.6.如图，在平行四边形ABCD中，/BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于F,以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG.(1)求证：四边形ECFG是菱形；(2)连结B

8、D、CG,若/ABC=120°,则4BDG是等边三角形吗？为什么？(3)若/ABC=90°,AB=10,AD=24,M是EF的中点，求DM的长.【自主反馈】7.如图1,ZABC是等边三角形，点D,E分别是BC,AB上的点，且BD=AE,9 .在RtAABC中，/ABC=90°,/BAC=30°,将AABC绕点A顺时针旋转一定的角度“得到AAED,点B、C的对应点分别是E、D.AD与CE交于点F.(1)求/DFC的度数;将CE绕着点C逆时针旋转120°,得到CP,连接AP,交BC于点Q.(1)如图1,当点E恰好在AC上时，求ZCDE的度数；(2)

9、如图2,若a=60°时，点F是边AC中点，求证：DF=BE;(3)如图3,点B、C的坐标分别是(0,0),(0,2),点Q是线段AC上的一个动点，点M补全图形(图2中完成)；是线段AO上的一个动点，是否存在这样的点Q、M使得4CQM为等腰三角形且AAQM为直角三用等式表示线段BE与CQ的数量关系，并证明.8.已知AABC是等腰三角形.角形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.(1)如图1,若祥BC,那DE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：AABD心ACE;(2)如图2,若4BC为等边三角形，将线段AC绕点A逆时针旋转90&#

10、176;,得到AD,连接BD,10 .在等腰直角三角形纸片ABC中，点D是斜边AB的中点，AB=10,点E为BC上一点，将纸片沿DE折叠，点B的对应点为点B'.ZBAC的平分线交BD于点E,连接CE.求/AED的度数;试探究线段AE、CE、BD之间的数量关系，并证明.(1)如图，连接CD,则CD的长为;(2)如图，B'E与AC交于点F,DB'/BC.求证：四边形BDB'E为菱形；连接B'C,则ABFC的形状为E图1图2(3)如图，则ZCEF的周长为图图图11 .已知正方形ABCD,以CE为边在正方形ABCD外部作正方形CEFG,连AF,H是AF的中点,连

11、接BH,HE.(1)如图1所示，点E在边CB上时，则BH,HE的关系为；(2)如图2所示，点E在BC延长线上，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请给出新的结论并证明.(3)如图3,点B,E,F在一条直线上，若AB=13,CE=5,直接写出BH的长.13.我们知道，平行四边形的对边平行且相等，利用这一性质，可以为证明线段之间的位置关系和数量关系提供帮助.重温定理，识别图形(1)如图，我们在探究三角形中位线DE和第三边BC的关系时，所作的辅助线为延长DE到点1F,使EF=DE,连接CF,此时DE与DF在同一直线上且DE=&DF，又可证图中的四边形为平行四边形，可得BC与

12、DF的关系是,于是推导出了DE/BC,DE=BC”.寻找图形，完成证明(2)如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，BEH是等腰直角三角形，ZEBH=90°,连接CF、CH.求证CF=BE.构造图形，解决问题(3)如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是菱形，ZABC=ZAEF=120°,连接BE、CF.直接写出CF与BE的数量关系.12.(1)操作发现：如图1,在矩形ABCD中，E是BC的中点，将那BE沿AE折叠后得到那FE,点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G.猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论.(2)简单应用：在(1)中，如果AB=4,AD

13、=6,求CG的长.(3)类比探究：如图2,将(1)中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，(1)中的结类比探究型几何综合题专题训练(不用相似)答案与解析K例简解：(1)如图1,AOB是等边三角形，.AO=BO=AB,ZAOB=60,.将OC绕点O顺时针旋转，使点C落到OB边的点D处，.'.OC=OD,ZCOD=ZAOB=60=a,/.COD是等边三角形，答案为：60,等边；(2).一COD是等边三角形，.OC=OD,/COD=/AOB=60°,.ZAOC=ZBOD,又AO=BO,AOCABOD(SAS),.-.AC=BD;如图2,当点C在点O的上方时，若OC/AB,.-

14、.ZAOC=ZOAB=60=3如图2-1,当点C在点。的下方时，若OC/AB,ABO=ZBOC=60°,/.3=360-60-60=240°,综上所述：3=60°或240°；如图3,当点D在线段AC上时，过点O作OELAC于E,二等边3OB的边长为4,点C为OA中点，AO=AB=OB=4,OC=OD=CD=2,/AOB=/COD=60,/AOC=/BOD,AOCABOD(SAS),，AC=BD,-.OEXCD,OC=OD,.-.CE=DE=1,OE=y/Ot-C=：./E=VOOE2=V3,AC=AE+CE=1+VI3=BD;如图4,当点C在线段AD上时

15、，过点。作OFLAD于F,同理可求DF=CF=1,AF=AC=BD=VI3-1,综上所述：BD=，I3+1或，I3-1K例2W解：(1)感知：四边形ABCD是菱形，11BC=CD=AB=2,.E,F分别是边BC,CD的中点，.-.CE=-BC,CF=-CD=1,，CE+CF=2.故答案为：2.(2)探究：如图，连结AC.四边形ABCD是菱形，AB=BC,AB/CD./.ZB+ZBCD=180.1 .ZB=60,.ABC是等边三角形，ZBCD=120.ZBAC=ZACB=60,AB=AC.2 .ZACF=ZB=60./EAF=60,ZBAG-ZCAE=ZEAF-ZCAE./BAE=ZCAF./.

16、AABEAACF(ASA),/.BE=CF.，CE+CF=BC=2.(3)应用：如图所示：四边形ABCD是菱形，.-.AB=BC,AB/CD.B+ZBCD=180./B=60,/.ABC是等边三角形，ZBCD=120°.ZBAC=ZACB=60,AB=AC.ZCAD=ZB=60.vZEAF=60,ZCADZDAE=ZEAF ZDAE.CAE=ZDAF. /ZACE=ZADF,AC=AD.'.AACEAADF(ASA).'.CE=DF,AE=AF,/ZEAF=60, .AEF为等边三角形，EF1BC,ZECF=60,/.CF=2CE,.CD=BC=2,/.CE=2,EF

17、=VCf-CE2=2。，.AEF的周长为K尝试练习11.解：（1）AD=CE,理由：;ABC与4BDE都是等边三角形，AB=BC,BD=BE,ZABC=/DBE=60°,ABD=/CBE,ABDACBE(SAS),，AD=CE;(2)如图2,过点B作BHAD于H,在RtABHD中，BD>BH,当点D,H重合时，BD=BH,.1.BHBD,当BDAD时，点B到直线AD的距离最大，EDP=90°-/BDE=30°,同(1)的方法得，那BDCBE(SAS), .ZBEC=ZBDA=90°,EC=AD在RtAABD中，BD=2,AB=2v2,根据勾股定理得

18、，AD=VaB-BD2=2,.-.CE=2,./BEC=90°,ZBED=60°, ./DEP=90°-60°=30=ZEDP, .DP=EP,如图2-1,过点P作PQDE于Q,_八1.EQ=2DE=1,在RtEQP中，ZPEQ=30,EP=EQ,cos/DEP3 .PC=2-2；3(3)当点D在AE上时，如图3,ADB=180。-/BDE=120°, ./BDE=60°,过点B作BFXAETF,在RtABDF中，ZDBF=30°,BD=2,.DF=1,BF=v3,在RtAABF中，根据勾股定理得，AF=a/AB-BF2=v

19、5,AD=AF-DF=v5-1,CE=AD=v5-1；当点D在AE的延长线上时，如图4,同的方法得，AF=卷，DF=1,.AD=AF+DF=3+1,.-.CE=AD=a；5+1,即满足条件的CE的长为3+1和通T.2.解：(1)正方形ADEF中，AD=AF,.ZBAC=ZDAF=90°,./BAD=/CAF,X/AB=AC,DABAFAC(SAS),./ABC=/ACF,.AB=AC,ZBAC=90°,/./ABC=ZACB=45°,./ACB+/ACF45+45=90°,即BCXCF;ADABZFAC,.CF=BD,-.BC=BD+CD,.BC=CF+

20、CD;故答案为：BC=CF+CD;(2) CFBC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC.理由如下：.正方形ADEF中，AD=AF,/ZBAC=ZDAF=90°,./BAD=ZCAF,X/AB=AC,DABAFAC(SAS),./ABD=/ACF,./BAC=90°,AB=AC,/ACB=ZABC=45°./ABD=180°45°=135°,./BCF=/ACF/ACB=135°-45=90°,.-.CFXBC.CD=DB+BC,DB=CF,/.CD=CF+BC.(3)过点A作AH，BC于点H,过点E作EM

21、±BD于点M,EN，CF于点N,./BAC=90°,AB=AC=2J2,.BC=4,1.CD=-BC=1,.BD=5,由(2)同理可证得ZXDABAFAC,BC±CF,CF=BD=5,.四边形ADEF是正方形，.OD=OF,/DCF=90°,DF=VC&+CF2=v26，OC=§.3.证明：(1)如图2,延长DG交BE于H,四边形ABCD,四边形AEFG是正方形，AB=AD,AG=AE,ZDAB=ZGAE=90°,./DAG=/BAE,DAGABAE(SAS),.BE=DG,/ADG=/ABE,./C+/CBA+ZABE+ZB

22、HD+ZCDH=360°,.90+90°+ZADG+/CDH+/BHD=360°,./BHD=90°,DG±BE;(2)如图3,连接BD,正方形ABCD的边长是4V2,正方形AEFG的边长为3v2,，BD=v2aD=8,GE=v2aE=6,.BD2=DE2+BE2,-64=(6+BE)2+BE2,BE=v23-3.R例33证明：(1)二将线段AD绕点A逆时针旋转a,.,.AD=AE,/DAE=a,./BAC=ZDAE,./BAD=/CAE,又AB=AC,AD=AE,.BADACAE(SAS).BD=CE;(2) AC=CD+CE,理由如下：AB

23、=AC,/BAC=60°.ABC是等边三角形，/.AC=BC,由(1)可知：BD=CE,BC=BD+CD=CE+CD,/.AC=CD+CE;(3) ZACE=45°,BD2+CD2=2AD2,理由如下：AB=AC,ZBAC=90°, ./ABC=/ACB=45°,/BADACAE ./ACE=/ABC=45。，./BCE=/ACE+/ACB=90。，.CE2+CD2=DE2,.AD=AE,/DAE=90°,，DE2=2AD2, -CE2+CD2=2AD2,BD2+CD2=2AD2.R例41(1)证明：四边形ABCD是正方形,AD=DC,/ADP

24、=/CDP=45°,又,.PD=PD,ADPACDP(SAS), ./PAD=/PCD,AP=CP,.PC=PE, .AP=PE,./PAD=ZPED, ./PCD=/PED;(2)证明：二四边形ABCD是正方形，ADC=ZEDF=90°,由(1)知，/PCD=/PED,/CFP=/EFD(对顶角相等)，180°-ZCFP-/PCD=180°-ZEFD-/PED,即/CPF=/EDF=90°, PC=PE,CPE是等腰直角三角形， 1EC=CP,由(1)知，AP=CP, 1-EC=AP;(3)解：AP=CE;理由如下：二,四边形ABCD是菱形，

25、ZDAB=60°,，AB=BC,/ABP=/CBP=60°,/BAD=/BCD,/EDC=/DAB=60°,又PBuPB,.AABPACBP(SAS),，PA=PC,/BAP=/BCP,./DAP=/DCP,/PC=PE,，PA=PE,./DAP=/AEP,./DCP=/AEP,./CFP=/EFD,.180°-/CFP-/PCF=180°-/EFD-/AEP,即/CPF=/EDF=60°,.EPC是等边三角形，PC=EC,EC=AP,R尝试练习14.解：(1)AE=CG,理由如下：二四边形ABCD和四边形DEFG都是菱形，.-.DA

26、=DC,DE=DG,又./ADE=/CDG,/.DAEADCG(SAS),，AE=CG；(2)成立，理由如下：:/ADC=/EDG,./ADC/EDC=/EDG/EDC,即/ADE=/CDG,又.DA=DC,DE=DG,/.DAEADCG(SAS),，AE=CG;(3)AEXCG,理由如下：延长线段AE、GC交于点H,AD/BC,，/CEH=/DAE,.AE=CD,X-.AC=AC,/.ACEACAD(SSS,2=x2,解得：x=F，OA=4.AD=BC,BC=EC,.1.AD=EC,由(2)可知，ZXDAEADCG,./DAE=/DCG,./CEH=/DCG,四边形ABCD是菱形，/ADC=

27、90°,四边形ABCD是正方形，BCD=90°,./ECH+/DCG=90°,.ZECH+ZCEH=90°,./CHE=90°,AEXCG.5.(1)证明：由折叠的性质得：ZxABCAAAEC,./ACB=/ACE,BC=EC, 四边形ABCD是平行四边形，AD=BC,AD/BC./.EC=AD,/ACB=/CAD,./ACE=/CAD,.-.OA=OC,.-.OD=OE,/ODE=/OED,/ZAOC=ZDOE,/.ZCAD=ZACE=ZOED=ZODE,.AC/DE;(2)解：二,平行四边形ABCD中，/B=90°, 四边形ABC

28、D是矩形，./CDO=90°,CD=AB=v3,AD=BC=v6，由(1)得：OA=OC,设OA=OC=x,则OD=v6-x,在RtAOCD中，由勾股定理得：(£)2+(v6-x) .OAC的面积=1OA>CD=1>55X=这；2248(3)解：分两种情况：如图3,当/EAD=90°时，延长EA交BC于G,.AD/BC,ZEAD=90°,，/EGC=90°, /B=30°,AB=2V3，/AEC=30°,一11一，一， -GC=2EC=2BC,，G是BC的中点，一，一"五在RtAABG中，BG=yAB=

29、3,.BC=2BG=6;如图4,当/AED=90°时.AD=BC,BC=EC,图4由折叠的性质得：AE=AB, ./ECA=/DAC,OA=OC,，OE=OD, ./OED=/ODE,./AED=/CDE, ./AED=90°,./CDE=90°,，AE/CD,又.AB/CD,B,A,E在同一直线上， ./BAC=/EAC=90°,.RtAABC中，/B=30°,AB=2v3,-AC=Z_AB=2,BC=2AC=4;综上所述，当AAED是直角三角形时，BC的长为4或6.6.证明：(1)AF平分/BAD,BAF=/DAF,二四边形ABCD是平行四

30、边形，AD/BC,AB/CD,/DAF=/CEF,/BAF=/CFE,/CEF=/CFE,/.CE=CF,又四边形ECFG是平行四边形，四边形ECFG为菱形；(2)4BDG是等边三角形，理由如下：二四边形ABCD是平行四边形，AB/DC,AB=DC,AD/BC,./ABC=120°,./BCD=60°,/BCF=120°,由(1)知，四边形CEGF是菱形，.CE=GE,ZBCG=2/BCF=60°,-.CG=GE=CE,/DCG=120°,/EG/DF, .ZBEG=120=ZDCG,AE是/BAD的平分线，./DAE=/BAE,.AD/BC,

31、./DAE=/AEB,./BAE=/AEB,.AB=BE,.-.BE=CD,.BEGQDCG(SAS),BG=DG,/BGE=/DGC,./BGD=/CGE,-，CG=GE=CE,CEG是等边三角形, ./CGE=60°,/BGD=60°,;BG=DG, .BDG是等边三角形；(3)如图2中，连接BM,MC,/ABC=90°,四边形ABCD是平行四边形，四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形,/ECF=90°,，四边形ECFG为正方形. ./BAF=/DAF,BE=AB=DC, M为EF中点，./CEM=ZECM=45°, .

32、/BEM=/DCM=135°,/.BMEADMC(SAS),，MB=MD,/DMC=/BME./BMD=/BME+/EMD=/DMC+/EMD=90°,.BMD是等腰直角三角形.AB=10,AD=24,BD=a/aB+AD2=26,.DM=JbD=13幅.【自主反馈】7.解：(1)ABC是等边三角形，.AB=AC=BC,/BAC=/B=/ACB=60°,XBD=AE,/.AABDACAE(SAS),./BAD=/ACE,/ZBAD+ZDAC=60°,/DFC=/ACE+ZDAC=60°；(2)根据题意补全图形如图2所示：1线段BE与CQ的数量关

33、系为：CQ=2BE;理由如下：CE绕着点C逆时针旋转120。，得到CP,.CE=CP,ZECP=120°,./DFC=60°,AD/CP,ADC=/DCP,ABDACAE,，CE=AD,，AD=CP,1ADQAPCQ(AAS),.CQ=DQ.CD,11/AB=BC,BD=AE,BE=CD,CQ=BE.8.解：(1);ABC,AADE均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，.AB=AC,AD=AE,/BAC=/DAE,./BAD=/CAE,.-.AABDAACE(SAS)；(2),一ABC是等边三角形，AB=AC,ZBAC=60°,由旋车t知，

34、AC=AD,ZCAD=90°,一一一1AB=AD,ZBAD=ZBAC+ZCAD=150,.ZD=-(180-/BAD)=15, .AE是/BAC的平分线，./CAE=1/BAC=30°,/.ZDAE=/CAD+/CAE=120°, ./AED=180°-ZD-ZDAE=45°BD=2CE+AE;证明：如图，.ABC是等边三角形，AB=AC,AE是/BAC的角平分线，BAE=/CAE,.AE=AE,.BAEACAE(SAS),BE=CE,过点A作AFAE交DE于F,./EAF=90°,由旋转知，ZCAD=90°, ./CAE=

35、/DAF,由知，ZAED=45°,AFE=45=ZAEF,/.AE=AF, 1EF=AE,-.AC=AD,/.AACEAADF(SAS),DF=CE,/.BD=BE+EF+DF=CE+AE+CE=2CE+V2AE.9.解：(1)./ABC=90°,ZBAC=30°,/ACB=60°,ABC绕点A顺时针旋转a得到那ED,点E恰好在AC.一一一一一1一上，CA=AD,ZEAD=ZBAC=30,/.ZACD=ZADC=-(180-30)=75°,1./EDA=ZACB=60°,./CDE=/ADC-/EDA=15°；(2)连接BF

36、,二,点F是边AC中点，D11.一bf=AF=2AC,./BAC=30,BC=-AC,/.ZFBA=ZBAC=30°,ABC绕点A顺时针旋转60得到AAED,/BAE=/CAD=60°,CB=DE,ZDEA=ZABC=90°,(2)证明：由折叠的性质得：B'D=BD,B'E=BE,/B'DE=/BDE,/DB'/BC,DE=BF,.B'DE=/BED,BDE=/BED,，BD=BE,，B'D=BE,.四边形BDB'E是平行四边形,延长BF交AE于点G,贝U/BGE=/GBA+ZBAG=90°,又,B

37、'D=BD,二.四边形BDB'E为菱形;./BGE=/DEA,BF/ED,解：ABC是等腰直角三角形，点D是斜边AB的中点，.CD=aB=BD,四边形BFDE是平行四边形,.DF=BE;由折叠的性质得：B'D=BD,/.CD=B'D,(3)二.点B、C的坐标分别是(0,0),(0,2),./DCB'=ZDB'C,/ACB=90°,.AC，BC,DB'/BC,DB'XAC,/ACB'=90°/DB'C,.BC=2,由得：四边形BDB'E为菱形,./ABC=90°,ZBAC=30&

38、#176;AB/B'E,CDXAB,/.CDIB'E,.AC=4,AB=2V3,/EB'C=90-/DCB',/ACB'=/EB'C,若/QMA=90°,CQ=MQ时，如图3,设CQ=QM=x,/CAB=30°,AQ=2x,AM=x,.FB'=FC,即AB'FC为等腰三角形;.AC=x+2x=3x=4,x=4,AM=v3,33(3)解：连接B'C,如图所示：ABC是等腰直角三角形，点.BM=AB-AM=2芯-异乎D是斜边AB的中点，AB=10,.BC=JaB=5J2,/B=45°,CD.点M(

39、注0)3若/AQM=90°,CQ=QM时，如图4,设CQ=QM=x,ZCAB=30°,AQ=v3x,AM=2x,-AC=x+v3x=4,=-AB=BD,ZACD=-/B'=/B=45°,ACB=45,由折叠的性质得：B'D=BD,.CD=B'D,.DCB'=/DB'C,FCB'=ZFB'C,.CF=B'F,/.CEF的周长=EF+CF+CE=EF+B'F+CE=B'E+CE=BE+CE=BC=5v2;11.解：(1)BHXHE,BH=HE;理由如下:r=23-2,.AM=4V3-4,延

40、长EH交AB于M,如图1所示:BM=2v3-(44)=4-2石,四边形ABCD和四边形CEFG是正方形,AB/CD/EF,AB=BC,CE=FE,/ABC=90°,/AMH=/综上所述：M(2，0)或(4-2V30).3H是AF的中点,10.(1)解：ABC是等腰直角三角形，点DAH=FH,AMHAFEH(AAS),1是斜边AB的中点，AB=10,/.CD=2AB=5AM=FE=CE,MH=EH,/.BM=BE,z?图2.ZABC=90°,BHXHE,BH=；ME=HE;(2)结论仍然成立.BHHE,BH=HE.理由如下：延长EH交BA的延长线于点M,如图2所示： 四边形A

41、BCD是正方形，四边形EFGC是正方形，/.ZABE=ZBEF=90°,AB=BC,AB/CD/EF,CE=FE,./HAM=/HFE,AHMAFHE(ASA)，HM=HE,AM=EF=CE,，BM=BE,./ABE=90°,1BH±EH,BH=§EM=EH;(3)延长EH至ijM,使得MH=EH,连接AH、BH,如图3所示：同(2)得：ZAMHAFEH(SAS),，AM=FE=CE,ZMAH=ZEFH, .AM/BF,BAM+/ABE=180°, ./BAM+/CBE=90°,/BCE+/CBE=90°，/BAM=/BCE,ABMACBE(SAS),1BM=BE,/ABM=/CBE,./MBE=/ABC=90,/MH=EH,，BH，EH,BH=-EM=M