第五章无穷级数第一节常数项级数ppt课件

1、第一节第一节 常数项级数常数项级数常数项级数的概念及基本性质常数项级数的概念及基本性质正项级数及其判敛法正项级数及其判敛法任意项级数任意项级数一一 常数项级数的概念及基本性质常数项级数的概念及基本性质1 常数项级数的概念常数项级数的概念 引例引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正依次作圆内接正),2,1,0(23 nn边形边形, , 这个和逼近于圆的面积这个和逼近于圆的面积 A .0a1a 2a na 设设 a0 表表示示,时时 n即即 naaaaA210内接正三角形面积内接正三角形面积, ak 表示边数表示边数增加时增加的面积增加时增加的面积,

2、 则圆内接正则圆内接正边边形形面面积积为为n23 引例引例2.小球从小球从 1 米高处自由落下米高处自由落下, 每次跳起的高度减每次跳起的高度减少一半少一半, 问小球是否会在某时刻停止运动问小球是否会在某时刻停止运动? 说明道理说明道理.由自由落体运动方程由自由落体运动方程2g21ts 知知g2st 则小球运动的总时间为则小球运动的总时间为1tT 22t 32t g21 2122)2(1 设设 tk 表示第表示第 k 次小球落地的时间次小球落地的时间, 第第 k 次小球跳起的次小球跳起的高度为高度为112k 米，米， 因而因而12.2kktg 定义：定义： 给定一个数列给定一个数列,321nu

3、uuu将各项依将各项依,1 nnu即即 1nnu nuuuu321称上式为无穷级数，称上式为无穷级数， 其中第其中第 n 项项nu叫做级数的一般项叫做级数的一般项,级数的前级数的前 n 项和项和 nkknuS1称为级数的部分和称为级数的部分和.nuuuu 321次相加次相加, 简记为简记为,lim存存在在若若SSnn 收敛收敛 ,则称无穷级数则称无穷级数并称并称 S 为级数的和为级数的和, 记作记作 1nnuS当级数收敛时当级数收敛时, 称差值称差值 21nnnnuuSSr为级数的余项为级数的余项.,lim不存在不存在若若nnS 则称无穷级数发散则称无穷级数发散 .显然显然0lim nnr例例

4、1. 讨论等比级数讨论等比级数 (又称几何级数又称几何级数)0(20 aqaqaqaaqannn( q 称为公比称为公比 ) 的敛散性的敛散性. 解解: 1) 假假设设,1 q12 nnqaqaqaaSqaqan 1时，时，当当1 q, 0lim nnq由由于于从而从而qaSnn 1lim因此级数收敛因此级数收敛 ,;1qa ,1时时当当 q,lim nnq由由于于从而从而,lim nnS则部分和则部分和因此级数发散因此级数发散 .其和为其和为2). 假假设设,1 q,1时时当当 qanSn 因此级数发散因此级数发散 ;,1时时当当 q aaaaan 1)1(因而因而 nSn 为奇数为奇数n

5、为偶数为偶数从而从而nnS lim综合综合 1)、2)可知可知,1 q时时, 等比级数收敛等比级数收敛 ;1 q时时, 等比级数发散等比级数发散 .那那么么, 级数成为级数成为,a,0不存在不存在 , 因此级数发散因此级数发散.此时此时qaaqnn 10如果级数如果级数 11nn n131211是发散的。是发散的。解解例例2. 说明调和级数说明调和级数: 11kk是收敛的，是收敛的，那么那么,limSSnn ,lim2SSnn , 0)(lim2 nnnSS但但nnSS 2nnnn 1211112 , 0)(lim2 nnnSS所以，所以， 级数级数 11kk是发散的是发散的例例3. 判别下列

6、级数的敛散性判别下列级数的敛散性: .)1(1)2( ;1ln)1(11 nnnnnn解解: (1) 12ln nS nnln)1ln()2ln3(ln)1ln2(ln )1ln( n） n(所以级数所以级数 (1) 发散发散 ;技巧技巧:利用利用 “拆项相消拆项相消” 求求和和23ln 34ln nn1ln (2) )1(1431321211 nnSn 211111 n） n(1所以级数所以级数 (2) 收敛收敛, 其和为其和为 1 . 3121 4131 111nn技巧技巧:利用利用 “拆项相消拆项相消” 求求和和 .)1(1)2( 1 nnn 例例4. 判别级数判别级数 2211lnnn

7、的敛散性的敛散性 .解解: 211lnn 221lnnn nnnln2)1ln()1ln( 2211lnkSnkn 2ln21ln3ln 3ln22ln4ln ln2)1ln()1ln(nnn 5ln4ln23ln 2ln nnln)1ln( 2ln)1ln(1 n, 2lnlim nnS故原级数收敛故原级数收敛 , 其和为其和为.2ln 2 无穷级数的基本性质无穷级数的基本性质 性质性质1 若级数若级数1nnu收敛于收敛于 S ,1 nnuS则各项则各项乘以常数乘以常数 c 所得级数所得级数1nnuc也收敛也收敛 ,证证: 令令,1 nkknuS那么那么 nkknuc1 ,nSc nn li

8、mSc 这说明这说明 1nnuc收敛收敛 , 其和为其和为 c S . nnSc lim说明说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .即即其和为其和为 c S .即即 11nnnncuuc性质性质2 设有两个收敛级数设有两个收敛级数,1 nnuS 1nnv 则级数则级数)(1nnnvu 也收敛也收敛, 其和为其和为. S证证: 令令,1 nkknuS,1 nkknv 那那么么)(1knkknvu nnS )( nS 这说明级数这说明级数)(1nnnvu 也收敛也收敛, 其和为其和为. S即即 111)(nnnnnnnvuvu说明说明:(2) 若两级数中一个

9、收敛一个发散若两级数中一个收敛一个发散 , 那那么么)(1nnnvu 必发散必发散 . 但若二级数都发散但若二级数都发散 ,)(1nnnvu 不一定发散不一定发散.例如例如, ,)1(2nnu 取取,)1(12 nnv0 nnvu而而(1) 性质性质2 表明收敛级数可逐项相加或减表明收敛级数可逐项相加或减 .(用反证法可证用反证法可证)例例5判别下列级数的敛散性，如果收敛，求其和判别下列级数的敛散性，如果收敛，求其和 1)2)1(32()1(nnnn)232()2(1nnnn 解解（1） 因为因为 112)1(,32nnnnn均收敛，均收敛， 所以所以 1)2)1(32(nnnn收敛，收敛，

10、且且 1)2)1(32(nnnn 11)31(32nn 11)21(21nn311132 211121 32 （2）因为因为 132nnn收敛，收敛， 12nn发散，发散，)232(1nnnn 发散。发散。性质性质3. 在级数前面加上或去掉有限项在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级不会影响级数的敛散性数的敛散性.证证: 将级数将级数1nnu的前的前 k 项去掉项去掉, 1nnku的部分和为的部分和为 nllknu1 knkSS nknS 与与 ,时时由由于于 n数敛散性相同数敛散性相同. 当级数收敛时当级数收敛时, 其和的关系为其和的关系为.kSS 类似可证前面加上有限项的情况类似可证前面

11、加上有限项的情况 .极限状况相同极限状况相同, 故新旧两级故新旧两级所得新级数所得新级数性质性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和数的和.证证: 设收敛级数设收敛级数,1 nnuS若按某一规律加括弧若按某一规律加括弧, )()(54321uuuuu则新级数的部分和序列则新级数的部分和序列 ), 2 , 1( mm 为原级数部分和为原级数部分和序列序列 ),2,1( nSn的一个子序列的一个子序列,nnmmS limlim S 推论推论: 若加括弧后的级数发散若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散则原级数必发散.注意注意: 收敛级数去括弧后所

12、成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,0)11()11( 但但 1111发散发散.因此必有因此必有例如，例如，用反证法可证用反证法可证例如例如例例6.判断级数的敛散性判断级数的敛散性: 141141131131121121解解: 考虑加括号后的级数考虑加括号后的级数 )()()(1411411311311211211111 nnan21n nna 2发散发散 ,从而原级数发散从而原级数发散 .nn121 设收敛级数设收敛级数,1 nnuS则必有则必有.0lim nnu证证: 1 nnnSSu1limlimlim nnnnnnSSu0 SS可见可见: 若级数的一般项不趋于若级

13、数的一般项不趋于0 , 则级数必发散则级数必发散 .性质性质5. 收敛级数的必要条件收敛级数的必要条件注意注意:0lim nnu并非级数收敛的充分条件并非级数收敛的充分条件.例如例如, 调和级数调和级数 nnn13121111虽然虽然，01limlim nunnn但此级数发散但此级数发散 .例例7.说明下列级数是发散的说明下列级数是发散的 192)1(nnn 11)2(nnnn 123)1()3(nnnn;!)4(1 nnnnne解解92 nnun（1）),(21 n所以原级数是发散的所以原级数是发散的（2）nnnnu 1),( n所以原级数是发散的所以原级数是发散的（3）2622 nnun,

14、31561212 nnun,31 级数是发散级数是发散（4） nnuu1nne)1(1 ),2,1(1 n11)1(! )1( nnnnennnne!,!nnnnneu 111)1()1( nnnne故故011 uuunn从而从而,0lim nnu这说明级数这说明级数(1) 发散发散.二二 正项级数及其判敛法正项级数及其判敛法假假设设,0 nu1nnu基本定理基本定理 1nnu收敛的充要条件是收敛的充要条件是 部分和部分和nS),2,1( n有界有界 .假设假设 1nnu收敛收敛 , ,收敛收敛则则nS,0 nu部分和数列部分和数列 nS nS有界有界, 故故 nS 1nnu从而从而又已知又已

15、知故有界故有界.则称则称为正项级数为正项级数 .单调递增单调递增, 收敛收敛 , 也收敛也收敛.证证: “ ”“ ”正项级数正项级数序列序列, Zn,nnvku 都有都有定理定理2 (比较审敛法比较审敛法)设设,1 nnu 1nnv且存在且存在, ZN对一切对一切,Nn 有有(1) 若级数若级数 1nnv则级数则级数 1nnu(2) 若级数若级数 1nnu则级数则级数 1nnv证证:设对一切设对一切和和令令nSn 则有则有收敛收敛 ,也收敛也收敛 ;发散发散 ,也发散也发散 .分别表示级数分别表示级数nnvku 是两个正项级数是两个正项级数, (常数常数 k 0 ),因在级数前加、减有限项不改

16、变其敛散性因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨故不妨部分和部分和, 则有则有,1 nnu 1nnv(1) 若级数若级数 1nnv则有则有nn lim因此对一切因此对一切, Zn有有nS由定理由定理 1 可知可知, 1nnu则有则有(2) 若级数若级数 1nnu,lim nnS因而因而,lim nn 这说明级数这说明级数 1nnv也发散也发散 . k nSnk 也收敛也收敛 .发散发散, ,收敛收敛,级数级数 ppppn14131211).0( p例例8. 8. 讨论讨论p-p-级数级数的收敛性的收敛性解解: 1) 假假设设, 1p因为对一切因为对一切, Zn而调和级数而调和级数 11

17、nn由比较审敛法可知由比较审敛法可知 p 级数级数 11npnn1 发散发散 .发散发散 ,pn1,1 p因为当因为当nxn 1,11ppxn 故故 nnppxnn1d11 nnpxx1d1 111)1(111ppnnp考虑级数考虑级数 1121)1(1ppnnn的部分和的部分和n 111)1(11ppnkkk n故级数故级数时时,1)1(11 pn 11111)1(113121211pppppnn12) 假假设设p 级数收敛级数收敛 . 1121)1(1ppnnn收敛收敛 , 由比较审敛法知由比较审敛法知 发发散散时时当当收收敛敛时时当当级级数数,1,111ppnpnp重要参考级数重要参考级

18、数: : 几何级数几何级数, p-, p-级数级数, , 调和级数调和级数. . 15tan)1(nn 1412)2(nnn 11041)3(nndxxx 104411)4(nndxx例例9. 9. 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性 解解nn55tan (1) 而而 11nn 发散发散, 所以所以 原级数发散原级数发散(2)124 nn442nnn 231n 1231nn收敛，收敛， 所以所以 1412nnn收敛收敛.(3) ndxxx1041 ndxx1023132n 1231nn收敛，收敛， 所以所以 11041nndxxx收敛收敛.(4) ndxx04411 nxdx0122n

19、121nn 所以所以 原级数收敛原级数收敛收敛收敛例例10. 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性 2ln1)1(nnn 22ln1)2(nnn解解(1)当当)1, nnx时，时，xxnnln1ln1 nnln1 1ln1nndxnn 1ln1nndxxxnnlnln)1ln(ln 则级数则级数 2)lnln)1ln(lnnnn n 2lnln3lnln nnlnln)1ln(ln 2lnln)1ln(ln n)( n发散，发散，所以级数所以级数 2ln1nnn发散发散.(2), 1(nnx 时，时，)2(ln1ln122 nxxnn nn2ln1 nndxnn12ln1 nndxxx12

20、ln1nnln1)1ln(1 对于级数对于级数, ln1)1ln(13 nnn由于由于 n 3ln12ln1 4ln13ln1 nnln1)1ln(1 nln12ln1 )(2ln1 n则收敛，则收敛， 所以级数所以级数 22ln1nnn收敛收敛.定理定理3. (比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式),1 nnu 1nnv,limlvunnn 则有则有两个级数同时收敛或发散两个级数同时收敛或发散 ;(2) 当当 l = 0 ,1收敛时收敛时且且 nnv;1也收敛也收敛 nnu(3) 当当 l = ,1发发散散时时且且 nnv.1也发散也发散 nnu证证: 据极限定义据极限定义, 0 对对,

21、 ZN存存在在 lvunn)( l设两正项级数设两正项级数满足满足(1) 当当 0 l 时时,时时当当Nn nnnvluvl)()( , l 取取由定理由定理 2 可知可知与与 1nnu 1nnv同时收敛或同时发散同时收敛或同时发散 ;)(Nn ),()(Nnvlunn 利用利用(3) 当当l = 时时, ZN存在存在,时时当当Nn ,1 nnvu即即nnvu 由定理由定理2可知可知, 假假设设 1nnv发散发散 , ;1也也收收敛敛则则 nnu(1) 当当0 l 时时,(2) 当当l = 0时时,由定理由定理2 知知 1nnv收敛收敛 , 假设假设.1也也发发散散则则 nnu特别取特别取,1

22、pnnv 推论极限判别法）推论极限判别法） 设设 1nnu为正项级数，为正项级数，)(lim 或或lunnpn假如假如,0 , 1 lp则级数则级数 1nnu收敛；收敛；假如假如,0 , 1 lp则级数则级数 1nnu发散；发散；例例11 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性nn1sin)1(1 1412)2(nnn 12)21ln()3(nn 21)4(nnnn解解 (1) nlimnn1sinnnn1lim 1 1sinnn1根据比较审敛法的极限形式知根据比较审敛法的极限形式知.1sin1发散发散 nn(2)12lim423 nnnn22 根据比较审敛法的极限形式知根据比较审敛法的极限

23、形式知 1412nnn收敛收敛(3) nlim2n 211lnn )11ln(2n 21n221limnnn 1 根据比较审敛法的极限形式知根据比较审敛法的极限形式知 .11ln12收敛收敛 nn(4)nnnn1lim )1(limln1 nnnen1ln nne nnlnnnnnlnlim nnnlnlim 0 根据比较审敛法的极限形式知根据比较审敛法的极限形式知.12收敛收敛 nnnn23n例例12 判别级数判别级数)0(111 aann的敛散性的敛散性.解解当当10 a时时nna 11lim, 1 当当1 a时，时，nna 11lim21 当当10 a时时 111nna发散，发散，当当1

24、 a时，时，nnnaa 11lim, 1 11nna收敛收敛根据比较审敛法的极限形式知根据比较审敛法的极限形式知.112收敛收敛 nna nnnuu1lim由由定理定理4 . 比值审敛法比值审敛法 ( Dalembert 判别法判别法)设设 nu为正项级数为正项级数, 且且,lim1 nnnuu那那么么(1) 当当1(2) 当当1证证: (1),1时时当当 11 nnuunnuu)(1 12)( nu 1)( NNnu , 1 使使取取收敛收敛 ,.收敛收敛 nu时时, 级数收敛级数收敛 ;或或时时, 级数发散级数发散 ., ZN知知存存在在,时时当当Nn k)( 由比较审敛法可知由比较审敛法

25、可知,1时时或或 , 0, NuZN必必存存在在, 11 nnuu,0lim Nnnuu因而因而所以级数发散所以级数发散.Nn 当当时时(2) 当当nnuu 11 nuNu 1lim1 nnnuu说明说明: : 当当时时, ,级数可能收敛也可能发散级数可能收敛也可能发散. .例如例如, p , p 级数级数:11 npnnnnuu1lim ppnnn1)1(1lim 1 但但,1 p级数收敛级数收敛 ;,1 p级数发散级数发散 .从而从而注意注意 (1) 当当1 时比值审敛法失效时比值审敛法失效; ;,11发发散散级级数数例例如如 nn,112收敛收敛级数级数 nn)1( 条件是充分的条件是充

26、分的,而非必要而非必要. (2),2)1(211收收敛敛级级数数例例如如 nnnnnu,)1(2(2)1(211nnnnnauu 但但,61lim2 nna,23lim12 nna.limlim1不存在不存在nnnnnauu (3)在判别收敛时，在判别收敛时，求极限过程不可缺，求极限过程不可缺，而而11 nnuu发散发散 1nnu事实上事实上11 nnuunnuu 101 u0lim nnu 1!nnnn 110!nnn 12)12(1nnn例例13 13 判别下列级数的收敛性判别下列级数的收敛性: :(1)(2) (3)解解(1) nnuu1 nnnnnn!)1()!1(1nn)11(1 n

27、lim nlim nlime1 1 所以所以 1!nnnn收敛收敛.)3( nnuu1, 1 比值审敛法失效比值审敛法失效, , 改用比较审敛法改用比较审敛法211lim,(21) 24nnnn .)12(211收敛收敛故级数故级数 nnn)22()12(2)12( nnnn nlim nlim(2) nnuu1nnnn10!10)!1(1 101 n)9(1 n所以所以发散发散 110!nnn lim n)0(11 xxnnn的敛散性的敛散性 .解解: nnnuu1lim nxn)1( 1 nxnx 根据定理根据定理4可知可知:,10时时当当 x级数收敛级数收敛 ;,1时时当当 x级数发散级

28、数发散 ;.1发散发散级数级数 nn,1时时当当 x例例14. 讨论级数讨论级数对任意给定的正数对任意给定的正数 ,lim nnnu定理定理5. 根值审敛法根值审敛法 ( Cauchy判别法判别法)设设 1nnu为正为正,lim nnnu那那么么;,1)1(级数收敛级数收敛时时当当 .,1)2(级数发散级数发散时时当当 证明提示证明提示: , ZN存存在在 nnu有有时时当当,Nn 即即nnnu)()( 分别利用上述不等式的左分别利用上述不等式的左,右部分右部分, 可推出结论正确可推出结论正确., )1( 1111项级数项级数, 且且例例15. 证明级数证明级数11nnn收敛于收敛于S ,近似

29、代替和近似代替和 S 时所产生的误差时所产生的误差 . 解解: : nnnnnu1 n1 )(0 n由定理由定理5可知该级数收敛可知该级数收敛 . 令令,nnSSr 则所求误差为则所求误差为 21)2(1)1(10nnnnnr 21)1(1)1(1nnnn 1)1(1nnnnn)1(1 1111 n并估计以部分和并估计以部分和 Sn三三 任意项级数任意项级数则各项符号正负相间的级数则各项符号正负相间的级数 nnuuuu1321)1(称为交错级数称为交错级数 .定理定理6 . ( Leibnitz 判别法判别法 ) 若交错级数满足条件若交错级数满足条件:则级数则级数; ),2,1()11 nuu

30、nn,0lim)2 nnunnnu 11)1(收敛收敛 , 且其和且其和 ,1uS 其余项满足其余项满足.1 nnur,2,1,0 nun设设1 交错级数交错级数证证: )()()(21243212nnnuuuuuuS )()()(1222543212 nnnuuuuuuuS1u 是单调递增有界数列是单调递增有界数列,nS212limuSSnn 又又)(limlim12212 nnnnnuSSnnS2lim 故级数收敛于故级数收敛于S, 且且,1uS :的余项的余项nS0nu2 nnSSr )(21 nnuu 21nnnuur1 nu故故S 例例16 16 判别级数判别级数 21)1()2(nnnn的收敛性的收敛性. . 11)1()1(nnn解解 (1)nun1 ,111 nun且且, 0li