2018高考_空间向量与立体几何理科

1、第14讲空间向量与立体几何知识要点.空间向量1 .空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：(1)向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。(2)向量具有平移不变性2 .空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)。OBOAABab；运算律：加法交换律：ab加法结合律：(ab)数乘分配律：BAOAOBab；baca(bc)运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3.共线向量。(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,量，a a 平行于 b b，记作a/b(2)(2)共线向量定理：空间任意两

2、个向量 a a、b b( (bWbW0),0),a a/b b 存在实数入，使 a=a=入 b b。(3)三点共线：A、B、C三点共线ABACOCxOAyOB(其中 xy1)xy1)a(4)与a共线的单位向量为尸a4.共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的。(ab)ab那么这些向量也叫做共线向量或平行向(1)定义：一般地，能平移到同平面的向量叫做共面向量。a,ba,b 不共线，p p 与向量 a,ba,b 共面的条件是存在实数x,y使pxayb。(2)(2)共面向量定理：如果两个向量(3)四点共面：若A、BC、P四点共面APxAByAC4*OPxOAyOBzOC(其中xyz1)5 .空间向量

3、基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使pxaybzC。TIte若三向量a,b,c不共面，我们把a,b,C叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数x,y,z,使OPxOAyOBzOCo6 .空间向量的直角坐标系：(1)空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一点 A,A,存在唯一的有序实数组(x,y,z),i i串P P. .OAxiyizk,有序实数组(x,y,z)(x,y,z)叫作

4、向量 A A 在空间直角坐标系 OxyzOxyz 中的坐标，记作A(x,y,z)A(x,y,z), ,x x 叫横坐标，y y 叫纵坐标，z z 叫竖坐标。注： 点A(x,y,z)关于x轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。在y轴上的点设为(0,y,0),在平面yOz中的点设为(0,y,z)示。空间中任一向量axiyjzk=(x,y,z)(3)空间向量的直角坐标运算律：一一 f若a(4,a2,a3),b(bbzth),则ab(a1b,a2b2,a3t),FFab(a1b1,a2与自bs),a(a1

5、,a2,23)(R),(2)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1,1,这个基底叫单位正交基底，用i,j,k表AABC中AB?AC0AB?AC0A为锐角AB?ACAB?ACa/ba1n，a2b2,a3b3(R),aba1bla2b2a3b30。若人区/乌)，B(X2，y2，Z2),则赢(x22yi,z2zi)。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。定比分点公式：若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),APPB,则点P坐标为,XiX2yiy2ziz2、皿口r(,)。推导：设P(x,y,z)则iii(x%yyi?zz)(x2x,y2y,

6、z2z),显然，当P为AB中点时，“x2yiy2ziz2)2，2，2P P( (x xiX2x x3y yiV2V3(3,23,24z4z2z z3AABC的五心:心P：切圆的圆心，角平分线的交点:AP外心P：外接圆的圆心，中垂线的交点:KA,ABAC、(尸=i尸(单位向量)ABACPB|PC|垂心P：高的交点：PAPBPAPCPBPC(移项，积为0,则垂直)重心P：中线的交点，三等分点(中位线比)i,_、AP(ABAC)3中心：正三角形的所有心的合一。(4)(4)模长公式：若 a a(5(5 透2,生),b b3力2息)，则|a|2a?2a3,|b|vbb(5)(5)夹角公式：costabc

7、ostab|a|b|a|b|ajaj20 0A为钝角，钝角A；屋a aib bia a2b b2一o22b b2b b3锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.sincosAP,n(6)(6)两点间的距离公式：若 A(xA(x1,y,y1,z,zi),B(x),B(x2,y,y2,z,z2),),则| |福| |ABB2、(X X2X Xi) )2(y(y2y yi) )2(Z(Z2Z Zi) )2,或 d dA,B(X(X2X Xi) )2(y(y2y yi) )2(Z(Z2)27 .空间向量的数量积。(i)(i)空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量 a,ba,b,

8、,在空间任取一点 O,O,作 OAa,OBbOAa,OBb, ,i-I-则AOB叫做向量 a a 与 b b 的夹角，记作a,b；且规定0a,b,显然有a,bb,a；若 a,ba,b,则称 a a 与 b b 互相垂直，记作：abab。2 2(2)向量的模：设 OAa,OAa,则有向线段 OAOA 的长度叫做向量 a a 的长度或模，记作：|a|a|o oFfc-(3)向量的数量积：已知向量 a,b,a,b,则|五|b|cosa,b叫做 a,ba,b 的数量积，记作 ab,ab,即ab|a|b|cosa,bo(4)(4)空间向量数量积的性质：2一一ae|a|cosa,e。abab0。|a|aa

9、o(5)空间向量数量积运算律：卜F(a)b(ab)a(b)。abba(交换律)。tehk k- -b-kb-ka(bc)abac(分配律)。V-V-h hh hf f不满足乘法结合率：(ab)ca(bc).空间向量与立体几何1.线线平行两线的方向向量平行i-i线面平行线的方向向量与面的法向量垂直i-2面面平行两面的法向量平行2.线线垂直(共面与异面)两线的方向向量垂直2-i线面垂直线与面的法向量平行2-2面面垂直两面的法向量垂直3.线线夹角(共面与异面)00O,90,90O 两线的方向向量 n n；,n,n；的夹角或夹角的补角，coscosni,n23-i线面夹角000,90,900：求线面夹

10、角的步骤：先求线的方向向量 APAP 与面的法向量 n n 的夹角，若为3-2面面夹角（二面角）00,1800：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量n1,n2的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.coscosn1,n24.点面距离 h h:求点 PxPx0,y,y0 0到平面的距离：在平面上取一点 Qx,yQx,y, ,得向量 PQPQ 计算平;PQ=?n|面的法向量 n n;.hI In4-1线面距离（线面平行）：转化为点面距离4-2面面距离（面面平行）：转化为点面距离随堂演练一.选择题1.2017浙江）如国，已知正四面体 D-ABC（所有模长均相等的三棱锥，P、DQ.R 分别为 AB,BC.CA 上的点，艇喑 0分别记二面角 D-PRZflQD-PQ-R,D-QR-P 的平面角为八八则（）BA A- -B B C C- -D D- -2.1口17清城区校级一模）已知向量=BT-2Cr0D.彳或-23（201 八甘肃二棋）已知片 C-3；2；5）於1,h-T）,且；后 2,则工的值是（）A.6B.SC,4D,34.（2017阳山县校级一模）已知 A（2,-5,1）,BZADC=ZPAB=90c,BC=CD=yAD.E 为棱 AD 的中点，异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90。.（I）在平面 PAB 内找一点 M,使得直线 CM平面 PBE,并说明