人工智能原理02章 归结推理方法23 谓词逻辑归结法基础

1、2.3 谓词逻辑归结法基础由于谓词逻辑与命题逻辑不同，有量词、变量和函数，所以在生成子句集之前要对逻辑公式做处理，具体的说就是要将其转化为Skolem标准形，然后在子句集的基础上再进行归结，虽然基本的归结的基本方法都相同，但是其过程较之命题公式的归结过程要复杂得多。本节针对谓词逻辑归结法介绍了Skolem标准形、子句集等一些必要的概念和定理。 231 Skolem 标准形Skolem标准形的定义：前束范式中消去所有的存在量词，则称这种形式的谓词公式为Skolem标准形，任何一个谓词公式都可以化为与之对应的Skolem标准形。但是，Skolem标准形不唯一。 前束范式：A是一个前束范式，如果A中

2、的一切量词都位于该公式的最左边（不含否定词），且这些量词的辖域都延伸到公式的末端。 Skolem标准形的转化过程为，依据约束变量换名规则，首先把公式变型为前束范式，然后依照量词消去原则消去或者略去所有量词。具体步骤如下： 将谓词公式G转换成为前束范式前束范式的形式为：(Q1x1)(Q2x2)(Qnxn)M(x1,x2,xn)即： 把所有的量词都提到前面去。注意：由于所有的量词的辖域都延伸到公式的末端，即，最左边量词将约束表达式中的所有同名变量。所以将量词提到公式最前端时存在约束变量换名问题。要严守规则。 约束变量换名规则：(Qx ) M（x） （Qy ） M（y） (Qx ) M（x,z） （

3、Qy ） M（y,z）量词否定等值式：(x ) M（x） （y ） M（y） (x ) M（x） （y ） M（y）量词分配等值式：(x )( P（x） Q（x）) (x ) P（x） (x ) Q（x）(x )( P（x） Q（x）) (x ) P（x） (x ) Q（x）消去量词等值式：设个体域为有穷集合（a1, a2, an）(x ) P（x） P（a1） P（a2） P（an）(x ) P（x） P（a1） P（a2） P（an）量词辖域收缩与扩张等值式：( x )( P（x） Q) ( x ) P（x） Q(x )( P（x） Q) ( x ) P（x） Q (x )( P（x） Q

4、) (x ) P（x） Q (x )( Q P（x） ) Q (x ) P（x） (x )( P（x） Q) (x ) P（x） Q(x )( P（x） Q) (x ) P（x） Q (x )( P（x） Q) (x ) P（x） Q (x )( Q P（x） ) Q (x ) P（x）消去量词量词消去原则：1) 消去存在量词""，即，将该量词约束的变量用任意常量（a, b等）、或全称变量的函数(f(x), g(y)等)代替。如果存在量词左边没有任何全称量词，则只将其改写成为常量；如果是左边有全程量词的存在量词，消去时该变量改写成为全程量词的函数。 2) 略去全程量词&qu

5、ot;"，简单地省略掉该量词。Skolem 定理：谓词逻辑的任意公式都可以化为与之等价的前束范式，但其前束范式不唯一。 注意：公式G的SKOLEM标准形同G并不等值。例题2-2将下式化为Skolem标准形：(x)(y)P(a, x, y) (x)(y)Q(y, b)R(x)解：第一步，消去号，得：(x)(y)P(a, x, y) (x) (y)Q(y, b)R(x)第二步，深入到量词内部，得：(x)(y)P(a, x, y)(x) (y)Q(y, b)R(x) (x)(y)P(a, x, y) (x) (y)Q(y, b)R(x)第三步，全称量词左移，（利用分配律），得(x)( (y

6、)P(a, x, y) (y)(Q(y, b)R(x)第四步，变元易名，存在量词左移，直至所有的量词移到前面，得：(x)( (y)P(a, x, y) (y)(Q(y, b)R(x) (x) ( (y)P(a, x, y) (z)(Q(z, b)R(x)= (x) (y) (z) (P(a, x, y) Q(z, b)R(x)由此得到前述范式第五步，消去""（存在量词），略去""全称量词消去(y)，因为它左边只有("x)，所以使用x的函数f(x)代替之，这样得到：(x)(z)( P(a, x, f(x) Q(z, b)R(x)消去(z)，同理使

7、用g(x)代替之，这样得到：(x) ( P(a, x, f(x) Q(g(x), b)R(x)则，略去全称变量，原式的Skolem标准形为：P(a, x, f(x) Q(g(x), b)R(x)2.3.2子句集文字：不含任何连接词的谓词公式。子句：一些文字的析取（谓词的和）。子句集：所有子句的集合对于任一个公式G，都可以通过Skolem标准形，标准化建立起一个子句集与之相对应。因为子句不过是一些文字的析取，是一种比较简单的形式，所以对G的讨论就用对子句集S的讨论来代替，以便容易处理。 子句集S可由下面的步骤求取：1. 谓词公式G转换成前束范式2. 消去前束范式中的存在变量，略去其中的任意变量，

8、生成SKOLEM标准形3. 将SKOLEM标准形中的各个子句提出，表示为集合形式 教师提示：为了简单起见，子句集生成可以理解为是用"，"取代SKOLEM标准形中的""，并表示为集合形式 。注意：SKOLEM标准形必须满足合取范式的条件。即，在生成子句集之前逻辑表达式必须是各"谓词表达式"或"谓词或表达式"的与。定理谓词表达式G是不可满足的当且仅当 其子句集S是不可满足的公式G与其子句集S并不等值，但它们在不可满足的意义下是一致的。因此如果要证明A1A2A3B，只需证明G A1A2A3B的子句集是不可满足的，这也正是

9、引入子句集的目的。 注意：公式G和子句集S虽然不等值，但是它们的之间一般逻辑关系可以简单的说明为：G真不一定S真，而S真必有G真，即，S G。在生成SKOLEM标准形时将存在量词用常量或其他变量的函数代替，使得变量讨论的论域发生了变化，即论域变小了。所以G不能保证S真。定理的推广对于形如G = G1 G2 G3 Gn 的谓词公式，G的子句集的求取过程可以分解成几个部分单独处理。如果Gi的子句集为Si，则有 S' = S1 S2 S3 Sn，虽然G的子句集不为S'，但是可以证明：SG 与S1 S2 S3 Sn在不可满足的意义上是一致的。即SG 不可满足 S1 S2 S3 Sn不可

10、满足由上面的定理，我们对SG的讨论，可以用较为简单的S1 S2 S3 Sn来代替。为方便起见，也称S1 S2 S3 Sn为G的子句形，即：SGS1 S2 S3 Sn。根据以上定理可对一个谓词表达式分而治之，化整为零，大大减少了计算复杂度。 例23对所有的x,y,z来说，如果y是x的父亲，z又是y的父亲，则z是x的祖父。又知每个人都有父亲，试问对某个人来说谁是它的祖父？用一阶逻辑表示这个问题，并建立子句集。解：这里我们首先引入谓词：P(x, y) 表示x是y的父亲Q(x, y) 表示x是y的祖父ANS(x) 表示问题的解答于是有：对于第一个条件，"如果y是x的父亲，z又是y的父亲，则z是x的祖父"，一阶逻辑表达式如下：A1：(x)(y)(z)(P(x, y)P(y, z)Q(x, z)则把A1化为合取范式，进而化为Skolem标准形，表示如下：S A1：P(x ,y)P(y, z)Q(x, z)对于