全等三角形(常见辅助线)

1、专题学习专题学习 -几何证明中常见的几何证明中常见的 “添辅助线添辅助线”方法方法 -“-“周长问题周长问题”的转化的转化.连结连结目的目的: :构造构造全等三角形全等三角形或或等腰三角形等腰三角形适用情况适用情况: :图中已经图中已经存在两个点存在两个点X X和和Y Y语言描述语言描述: :连结连结XYXY注意点注意点: :双添双添-在图形上添虚线在图形上添虚线 在在证明过程中描述添法证明过程中描述添法.连结连结典例典例1: 1:如图如图,AB=AD,BC=DC,AB=AD,BC=DC,求证求证:B=D.:B=D.ACBD1. 1.连结连结ACAC构造全等三角形构造全等三角形2. 2.连结连

2、结BDBD构造两个等腰三角形构造两个等腰三角形.连结连结典例典例2: 2:如图如图,AB=AE,BC=ED, B=E,AMCD,AB=AE,BC=ED, B=E,AMCD, 求证求证: :点点M M是是CDCD的中点的中点. .ACBD连结连结ACAC、ADAD构造全等三角形构造全等三角形EM.连结连结典例典例3: 3:如图如图,AB=AC,BD=CD, M,AB=AC,BD=CD, M、N N分别是分别是BDBD、CDCD的中点，求证：的中点，求证：AMBAMB ANCANCACBD连结连结ADAD构造全等三角形构造全等三角形NM.连结连结典例典例4: 4:如图如图,AB,AB与与CDCD交

3、于交于O, O, 且且AB=CDAB=CD，AD=BCAD=BC，OB=5cmOB=5cm，求，求ODOD的长的长. .ACBD连结连结BDBD构造全等三角形构造全等三角形O目的目的: :构造构造直角三角形直角三角形, ,得到得到距离相等距离相等适用情况适用情况: :图中已经图中已经存在一个点存在一个点X X和和一条线一条线MNMN语言描述语言描述: :过点过点X X作作XYXYMNMN注意点注意点: :双添双添-在图形上添虚线在图形上添虚线 在在证明过程中描述添法证明过程中描述添法.角平分线上点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线段.角平分线上点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线段典例

4、典例1: 1:如图如图, ,ABCABC中中, C =90, C =90o o,BC=10,BD=6,BC=10,BD=6, AD AD平分平分BAC,BAC,求点求点D D到到ABAB的距离的距离. .ACD过点过点D D作作DEABDEAB构造了构造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距离相等距离相等BE.角平分线上点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线段典例典例2: 2:如图如图, ,ABCABC中中, C =90, C =90o o,AC=BC,AC=BC, AD AD平分平分BAC,BAC,求证求证:AB=AC+DC.:AB=AC+DC.ACD过点过点D D作作DEABDE

5、AB构造了构造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距离相等距离相等BE 思考思考: : 若若AB=15cm,AB=15cm,则则BEDBED的周长是多少的周长是多少? ?.角平分线上点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线段典例典例3: 3:如图如图, ,梯形中梯形中, A= D =90, A= D =90o o, , BE BE、CECE均是角平分线均是角平分线, , 求证求证:BC=AB+CD.:BC=AB+CD.ACD过点过点E E作作EFBCEFBC构造了构造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距离相等距离相等BF 思考思考: : 你从本题中还能得到哪些结论你从本题中还

6、能得到哪些结论? ?E.角平分线上点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线段典例典例4: 4:如图如图,OC ,OC 平分平分AOB, DOE +DPE =180AOB, DOE +DPE =180o o, , 求证求证: PD=PE.: PD=PE.ACD过点过点P P作作PFOA,PG OBPFOA,PG OB构造了构造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距离相等距离相等BF 思考思考: : 你从本题中还能得到哪些结论你从本题中还能得到哪些结论? ?EPGO目的目的: :构造构造直角三角形直角三角形, ,得到得到斜边相等斜边相等适用情况适用情况: :图中已经存在图中已经存在一条线一

7、条线段段MNMN和和垂直平垂直平分线上一个点分线上一个点X X 语言描述语言描述: :连结连结X XM M和和X XN N注意点注意点: :双添双添-在图形上添虚线在图形上添虚线 在在证明过程中描述添法证明过程中描述添法.垂直平分线上点向两端连线段垂直平分线上点向两端连线段目的目的: :构造构造直角三角形直角三角形, ,得到得到斜边相等斜边相等适用情况适用情况: :图中已经存在图中已经存在一条线段一条线段MNMN和和垂直平垂直平分线上一个点分线上一个点X X 语言描述语言描述: :连结连结X XM M和和X XN N注意点注意点: :双添双添-在图形上添虚线在图形上添虚线 在在证明过程中描述添

8、法证明过程中描述添法.中线延长一倍中线延长一倍1.AD1.AD是是ABCABC的中线，的中线，.中线延长一倍中线延长一倍ABCDE)(21ACABAD求证：延长延长ADAD到点到点E E，使，使DE=ADDE=AD，连结连结CE.CE.角平分线上点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线段2. 2.如图如图, ,梯形中梯形中, A= D =90, A= D =90o o, , BE BE、CECE均是角平分线均是角平分线, , 求证求证:BC=AB+CD.:BC=AB+CD.延长延长BEBE和和CDCD交于点交于点F F构造了构造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形F 思考思考: : 你从本

9、题中还能得到哪些结论你从本题中还能得到哪些结论? ?ACDBE1. 1.如图如图, ,ABCABC中中,C=90,C=90o o,AC=BC,AD,AC=BC,AD平分平分ACB,ACB, DEAB. DEAB.若若AB=6cm,AB=6cm,则则DBEDBE的周长是多少的周长是多少? ?.“.“周长问题周长问题”的转化的转化 借借助助“角平分线性质角平分线性质”BACDEBE+BD+DEBE+BD+CDBE+BCBE+ACBE+AEAB2. 2.如图如图, ,ABCABC中中, D, D在在ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上, ,E E在在ACAC的垂直平分线上的垂直平分线上. .若若BC

10、=6cm,BC=6cm,求求ADEADE的周长的周长. .“.“周长问题周长问题”的转化的转化 借借助助“垂直平分线性质垂直平分线性质”BACDEAD+AE+DEBD+CE+DEBC3. 3.如图如图,A,A、A A1关于关于OMOM对称对称, A, A、A A2关于关于ONON对称对称. .若若A A1 A A2 =6cm, =6cm,求求ABCABC的周长的周长. .“.“周长问题周长问题”的转化的转化 借借助助“垂直平分线性质垂直平分线性质”BACOMAB+AC+BCA A1 B+ A A2 C+BCA A1 A A2A1A2N4. 4.如图如图, , ABCABC中，中，MNMN是是ACAC的垂直平分线的垂直平分线. .若若AN=3cm, AN=3cm, ABMABM周长为周长为13cm13cm，求，求ABCABC的周长的周长. .“.“周长问题周长问题”的转化的转化 借借助助“垂直平分线性质垂直平分线性质”BACMAB+BC+ACAB+ BM+MC+6NAB+ BM+AM+613+65. 5.如图如图, , ABCABC中，中，BPBP、CPCP是是ABCABC的角平分线，的