小学图形与几何培训讲座(精品)（智囊书屋）

1、“图形与几何”入格培训博雅小学博雅小学 彭静彭静 1沐雨书屋 更突出体现了几何学的本质：以图更突出体现了几何学的本质：以图形作为重要的研究对象，以空间形式作形作为重要的研究对象，以空间形式作为分析和探讨的核心。为分析和探讨的核心。“空间与图形空间与图形”“图形与几何图形与几何”实验稿实验稿修订稿修订稿2沐雨书屋图形与几何领域的核心概念图形与几何领域的核心概念 看到看到“图形与几何图形与几何”这几个字，你想这几个字，你想到了哪些关键词？到了哪些关键词？3沐雨书屋空间观念空间观念: 主要是指根据物体特征主要是指根据物体特征抽象抽象出几何图形，出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；根据几何

2、图形想象出所描述的实际物体；想象想象出体的方位和相互之间的位置关系；出体的方位和相互之间的位置关系；描述描述图形图形的运动和变化；依据语言的描述的运动和变化；依据语言的描述画出画出图形等。图形等。概念解释概念解释 4沐雨书屋概念解释概念解释 几何直观几何直观: 主要是指利用图形描述和分析问题主要是指利用图形描述和分析问题。借。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中发挥重要作用。

3、在整个数学学习过程中发挥重要作用。5沐雨书屋 下面是学生借助图形研究来解决问题的例子。这下面是学生借助图形研究来解决问题的例子。这些学生都能够利用直观图形的形式，来描述分配乘船些学生都能够利用直观图形的形式，来描述分配乘船这件事情，并设计方案，找到最合理的形式。这件事情，并设计方案，找到最合理的形式。每条小船限乘每条小船限乘4 4人，人，1818人最少需要租几条人最少需要租几条船？你认为怎么样分配才合适？船？你认为怎么样分配才合适？案例几何直观生生1：生生2：6沐雨书屋生生1：生生2： 上图通过圆点、长方形等图形，把分上图通过圆点、长方形等图形，把分配方案很简捷直观地表现出来，这就属于配方案很

4、简捷直观地表现出来，这就属于典型的几何直观，就是图形直观。典型的几何直观，就是图形直观。 我们平时解题过程中所画的线段图，我们平时解题过程中所画的线段图，示意图等也是几何直观。示意图等也是几何直观。案例几何直观7沐雨书屋概念解释概念解释 推理能力：推理能力： 推理一般包括推理一般包括合情推理合情推理和和演绎推理演绎推理,合情推合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的

5、定义、法则、顺序等）出发，按则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。论。8沐雨书屋n知识与技能知识与技能n数学思考数学思考n问题解决问题解决n情感态度情感态度四维目标四维目标基本目标基本目标 9沐雨书屋n知识与技能知识与技能:经历图形的抽象、分类、性质探讨、经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程，掌握图形与几何的基础运动、位置

6、确定等过程，掌握图形与几何的基础知识和基本技能。知识和基本技能。n数学思考：建立空间观念，初步形成几何直观能数学思考：建立空间观念，初步形成几何直观能力，发展形象思维和抽象思维。力，发展形象思维和抽象思维。n问题解决：初步学会从数学的角度发现问题和提问题解决：初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决问题，体验方法出问题，综合运用数学知识解决问题，体验方法的多样性，学会与他人合作交流，初步形成反思的多样性，学会与他人合作交流，初步形成反思意识。意识。n情感态度：积极参与、好奇心、求知欲、克服困情感态度：积极参与、好奇心、求知欲、克服困难的意志力、自信心、认真勤奋、独立思考、反

7、难的意志力、自信心、认真勤奋、独立思考、反思质疑、严谨求实。思质疑、严谨求实。基本目标基本目标 10沐雨书屋主要内容主要内容 n图形的认识图形的认识n测量测量n图形的运动图形的运动n图形与位置图形与位置“图形与几何图形与几何” 主要内容主要内容11沐雨书屋主要内容主要内容 图形的认识图形的认识第一学段：第一学段：1.能通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等能通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体。几何体。 2.能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体。到的简单物体。 3.能辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、

8、圆等能辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形。简单图形。4.通过观察、操作，初步认识长方形、正方形的特征。通过观察、操作，初步认识长方形、正方形的特征。 5.会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图。会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图。 6.结合生活情境认识角，了解直角、锐角和钝角。结合生活情境认识角，了解直角、锐角和钝角。 7.能对简单几何体和图形进行分类。能对简单几何体和图形进行分类。12沐雨书屋主要内容主要内容 图形的认识图形的认识第二学段：第二学段：1.结合实例了解线段、射线和直线。结合实例了解线段、射线和直线。2.体会两点间所有连线中线段最短，知道两点

9、间的距离。体会两点间所有连线中线段最短，知道两点间的距离。 3.知道平角与周角，了解周角、平角、钝角、直角、锐角知道平角与周角，了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系。之间的大小关系。 4.结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系。垂直）关系。 5.通过观察、操作，认识平行四边形、梯形和圆，知道扇通过观察、操作，认识平行四边形、梯形和圆，知道扇形，会用圆规画圆。形，会用圆规画圆。 13沐雨书屋主要内容主要内容 图形的认识图形的认识第二学段：第二学段：6.认识三角形，通过观察、操作，了解三角形两边之和大认识三角形，通过观察

10、、操作，了解三角形两边之和大于第三边、三角形内角和是于第三边、三角形内角和是180。 7.认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。形、钝角三角形。 8.能辨认从不同方向（前面、侧面、上面）看到的物体的能辨认从不同方向（前面、侧面、上面）看到的物体的形状图形状图9.通过观察、操作，认识长方体、正方体、圆柱和圆锥，通过观察、操作，认识长方体、正方体、圆柱和圆锥，认识长方体、正方体和圆柱的展开图。认识长方体、正方体和圆柱的展开图。14沐雨书屋主要内容主要内容 测量测量第一学段：第一学段：1.结合生活实际，经历用不同方式测量物体长

11、度的过程，结合生活实际，经历用不同方式测量物体长度的过程，体会建立统一度量单位的重要性。体会建立统一度量单位的重要性。 2.在实践活动中，体会并认识长度单位千米、米、厘米，在实践活动中，体会并认识长度单位千米、米、厘米，知道分米、毫米，能进行简单的单位换算，能恰当地选知道分米、毫米，能进行简单的单位换算，能恰当地选择长度单位。择长度单位。 3.能估测一些物体的长度，并进行测量。能估测一些物体的长度，并进行测量。 4.结合实例认识周长，并能测量简单图形的周长探索并掌结合实例认识周长，并能测量简单图形的周长探索并掌握长方形、正方形的周长公式。握长方形、正方形的周长公式。 5.结合实例认识面积，体会

12、并认识面积单位厘米结合实例认识面积，体会并认识面积单位厘米2、分米、分米2 、和米和米2 ，能进行简单的单位换算。，能进行简单的单位换算。 6.探索并掌握长方形、正方形的面积公式，会估计给定简探索并掌握长方形、正方形的面积公式，会估计给定简单图形的面积。单图形的面积。15沐雨书屋主要内容主要内容 测量测量第二学段：第二学段：1.能用量角器量指定角的度数，能画指定度数的角，会用能用量角器量指定角的度数，能画指定度数的角，会用三角尺画三角尺画30，45，60，90角。角。 2.探索并掌握平行四边形、三角形和梯形的面积公式，并探索并掌握平行四边形、三角形和梯形的面积公式，并能解决简单的实际问题。能解

13、决简单的实际问题。 3.知道面积单位：千米知道面积单位：千米2、公顷。、公顷。 4.通过操作，了解圆的周长与直径的比为定值，掌握圆的通过操作，了解圆的周长与直径的比为定值，掌握圆的周长公式；探索并掌握圆的面积公式，并能解决简单的周长公式；探索并掌握圆的面积公式，并能解决简单的实际问题。实际问题。 16沐雨书屋主要内容主要内容 测量测量第二学段：第二学段：5.会用方格纸估计不规则图形的面积。会用方格纸估计不规则图形的面积。 6.通过实例了解体积（包括容积）的意义及度量单位通过实例了解体积（包括容积）的意义及度量单位（米（米3、分米、分米3 、厘米、厘米3 、升、毫升），能进行单位之间的、升、毫升

14、），能进行单位之间的换算，感受换算，感受1米米3 、1厘米厘米3以及以及1升、升、1毫升的实际意义。毫升的实际意义。 7.结合具体情境，探索并掌握长方体、正方体、圆柱的体结合具体情境，探索并掌握长方体、正方体、圆柱的体积和表面积以及圆锥体积的计算方法，并能解决简单的积和表面积以及圆锥体积的计算方法，并能解决简单的实际问题。实际问题。 8.体验某些实物（如土豆等）体积的测量方法。体验某些实物（如土豆等）体积的测量方法。17沐雨书屋主要内容主要内容 图形的运动图形的运动第一学段：第一学段：1.结合实例，感受平移、旋转、轴对称现象。结合实例，感受平移、旋转、轴对称现象。 2. 能辨认简单图形平移后的

15、图形。能辨认简单图形平移后的图形。 3. 通过观察、操作，初步认识轴对称图形。通过观察、操作，初步认识轴对称图形。18沐雨书屋主要内容主要内容 图形的运动图形的运动第二学段：第二学段：1.通过观察、操作等活动，进一步认识轴对称图形及其对通过观察、操作等活动，进一步认识轴对称图形及其对称轴，能在方格纸上画出轴对称图形的对称轴；能在方称轴，能在方格纸上画出轴对称图形的对称轴；能在方格纸上补全一个简单的轴对称图形。格纸上补全一个简单的轴对称图形。 2.通过观察、操作等，在方格纸上认识图形的平移与旋转，通过观察、操作等，在方格纸上认识图形的平移与旋转，能在方格纸上按水平或垂直方向将简单图形平移，会在能

16、在方格纸上按水平或垂直方向将简单图形平移，会在方格纸上将简单图形旋转方格纸上将简单图形旋转90。3.能利用方格纸按一定比例将简单图形放大或缩小能利用方格纸按一定比例将简单图形放大或缩小4.能从平移、旋转和轴对称的角度欣赏生活中的图案，并能从平移、旋转和轴对称的角度欣赏生活中的图案，并运用它们在方格纸上设计简单的图案。运用它们在方格纸上设计简单的图案。19沐雨书屋主要内容主要内容 图形与位置图形与位置第一学段：第一学段：1.会用上、下、左、右、前、后描述物体的相对位置。会用上、下、左、右、前、后描述物体的相对位置。 2.给定东、南、西、北四个方向中的一个方向，能辨认其给定东、南、西、北四个方向中

17、的一个方向，能辨认其余三个方向，知道东北、西北、东南、西南四个方向，余三个方向，知道东北、西北、东南、西南四个方向，会用这些词语描绘物体所在的方向。会用这些词语描绘物体所在的方向。 20沐雨书屋主要内容主要内容 图形与位置图形与位置第二学段：第二学段：1.了解比例尺；在具体情境中，会按给定的比例进行图了解比例尺；在具体情境中，会按给定的比例进行图上距离与实际距离的换算。上距离与实际距离的换算。 2.能根据物体相对于参照点的方向和距离确定其位置。能根据物体相对于参照点的方向和距离确定其位置。3.会描述简单的路线图。会描述简单的路线图。 4.在具体情境中，能在方格纸上用数对（限于正整数）在具体情境

18、中，能在方格纸上用数对（限于正整数）表示位置，知道数对与方格纸上点的对应。表示位置，知道数对与方格纸上点的对应。21沐雨书屋“一个知识点、一个例题、一组练习题一个知识点、一个例题、一组练习题”点状教学，分散点状教学，分散割裂，就题论题。割裂，就题论题。 问题一：结构把握不当，做不到前瞻后顾。 问题与建议问题与建议 结构包括：结构包括：1、体现知识整体的框架性结构；、体现知识整体的框架性结构； 2、体现知识形成的过程性结构；、体现知识形成的过程性结构； （发现猜想（发现猜想-验证去伪验证去伪-归纳概括归纳概括-反思拓展）反思拓展） 3、 体现学生学习的方法性结构。体现学生学习的方法性结构。 案例

19、：三角形的认识（三年级）案例：三角形的认识（三年级）22沐雨书屋案例：三角形的认识（三年级）案例：三角形的认识（三年级）边边角角这节课的主要教学任务不仅是从实物中抽象出三角形，这节课的主要教学任务不仅是从实物中抽象出三角形，知道三角形的基本特征和定义，更重要的是帮助学生知道三角形的基本特征和定义，更重要的是帮助学生认识图形构成的基本要素认识图形构成的基本要素“边边”和和“角角”，在以后的学习，在以后的学习中会自觉地从这两方面来判断认识图形。这两个要素中会自觉地从这两方面来判断认识图形。这两个要素就成为学生认识和研究几何图形的框架性知识，也就就成为学生认识和研究几何图形的框架性知识，也就是说，学

20、生可以从这些角度展开几何图形的认识、发是说，学生可以从这些角度展开几何图形的认识、发现、认证和获得结论的研究活动。现、认证和获得结论的研究活动。“种根种根”“培根培根”23沐雨书屋问题二：概念教学时重结论、轻过程。 问题与建议问题与建议 直接呈现概念、让学生记忆概念，然后运用概念。直接呈现概念、让学生记忆概念，然后运用概念。 概念学习过程：概念学习过程：1、感知、感知2、分析（材料归纳、分析（材料归纳-辨析比较辨析比较-抽象提炼）抽象提炼） 3、定义或命名、定义或命名 案例：认识面积（三年级）、垂直与平行（四年级）案例：认识面积（三年级）、垂直与平行（四年级）24沐雨书屋案例：认识面积（三年级

21、）案例：认识面积（三年级） 首先通过大量的感性材料进行充分的感知；其次，首先通过大量的感性材料进行充分的感知；其次，引导学生对大量材料进行特征分析，从中提炼和抽取引导学生对大量材料进行特征分析，从中提炼和抽取出共性特征；最后，对反映大量材料的本质属性进行出共性特征；最后，对反映大量材料的本质属性进行定义和命名。定义和命名。 认识面积时：从摸书的封面和课桌面，到摸身边认识面积时：从摸书的封面和课桌面，到摸身边物体，从用眼看着摸到闭眼摸，从教室里延伸到教室物体，从用眼看着摸到闭眼摸，从教室里延伸到教室外，从用手摸到用语言表达，让学生在更大的范围里外，从用手摸到用语言表达，让学生在更大的范围里体会，

22、每个面的大小是这个面的面积。然后让学生涂体会，每个面的大小是这个面的面积。然后让学生涂出封闭图形的面积，在涂的过程不知不觉就把这个图出封闭图形的面积，在涂的过程不知不觉就把这个图形的面积印入脑海中，这胜过于任何言语的说教。学形的面积印入脑海中，这胜过于任何言语的说教。学生对面积概念的理解全部是以摸、说、涂、比等一系生对面积概念的理解全部是以摸、说、涂、比等一系列直观活动为载体，充分感知，理解深刻。列直观活动为载体，充分感知，理解深刻。25沐雨书屋案例：垂直与平行（四年级）案例：垂直与平行（四年级） 整体认识和感悟直线的位置关系，引导学生经历整体认识和感悟直线的位置关系，引导学生经历如下过程：如

23、下过程：1、注意激发学生丰富的感受，避免学生认识的单一和、注意激发学生丰富的感受，避免学生认识的单一和思维的定式，要引导学生观察各种不同的位置情形，形思维的定式，要引导学生观察各种不同的位置情形，形成丰富的认识。成丰富的认识。2、注意引导学生学会想象，避免学生的认识停留在表、注意引导学生学会想象，避免学生的认识停留在表面现象。面现象。3、注意引导学生学会知识梳理。、注意引导学生学会知识梳理。4、注意引导学生发现生活中的直线位置关系，避免仅、注意引导学生发现生活中的直线位置关系，避免仅停留在书本。停留在书本。26沐雨书屋问题三：操作目标不明确、不深入。 问题与建议问题与建议 操作形式化，走过场；

24、或者操作目的只是推导计算公式。操作形式化，走过场；或者操作目的只是推导计算公式。 有效操作：有效操作：1、操作的目的是揭示和感受概念的本质属性，帮助学、操作的目的是揭示和感受概念的本质属性，帮助学生抽象、概括规律；生抽象、概括规律；2、操作材料要有利于促进认识活动；、操作材料要有利于促进认识活动；3、操作过程自主化、开放化；、操作过程自主化、开放化；4、揭示结论的过程与操作的过程环环相扣。、揭示结论的过程与操作的过程环环相扣。 案例：认识物体（一年级）、三角形的分类（按边分）案例：认识物体（一年级）、三角形的分类（按边分）27沐雨书屋案例：认识物体（一年级）案例：认识物体（一年级） 学生只对操

25、作活动本身感兴趣，好玩；教师满足学生只对操作活动本身感兴趣，好玩；教师满足于学生分类结果的正确性；而没有引导学生去观察不于学生分类结果的正确性；而没有引导学生去观察不同物体的共同点和差异，也不注意学生的语言表述；同物体的共同点和差异，也不注意学生的语言表述；更没有引导学生概括、提炼、抽象。更没有引导学生概括、提炼、抽象。 正确做法：正确做法： 首先，教师要注意引导学生经历从生活中的物体首先，教师要注意引导学生经历从生活中的物体形状提炼出其本质属性的抽象过程；形状提炼出其本质属性的抽象过程； 其次，教师要注意与学生形成语言上的互动；其次，教师要注意与学生形成语言上的互动； 最后，教师要注意在活动

26、过程中适时地提供学生最后，教师要注意在活动过程中适时地提供学生模仿和练习语言的机会。模仿和练习语言的机会。28沐雨书屋案例：三角形的分类（按边分类）案例：三角形的分类（按边分类） 第一环节，学生用小棒搭三角形，充分感知三角第一环节，学生用小棒搭三角形，充分感知三角形形“边边”的特征。活动要求：怎样选择小棒能不重复、的特征。活动要求：怎样选择小棒能不重复、不遗漏地把各种不同的三角形全部搭出来？操作的目不遗漏地把各种不同的三角形全部搭出来？操作的目的：让学生在搭的过程中充分感知各种的：让学生在搭的过程中充分感知各种“边的特征边的特征”。操作材料：选用操作材料：选用3种颜色的小棒若干根，相同颜色的种

27、颜色的小棒若干根，相同颜色的小棒长度一样；不同的组颜色可以不同。小棒长度一样；不同的组颜色可以不同。 第二个环节，对搭出的各种形状的三角形进行分第二个环节，对搭出的各种形状的三角形进行分类。（避开颜色干扰）类。（避开颜色干扰） 第三个环节，根据每一类型的三角形特征进行语第三个环节，根据每一类型的三角形特征进行语言描述或者命名。言描述或者命名。 最后总结和拓展：要引导学生对学习过程进行反最后总结和拓展：要引导学生对学习过程进行反思，对搭出不同类型三角形的思路进行方法结构的提炼，思，对搭出不同类型三角形的思路进行方法结构的提炼，并拓展联想到四边形是否也有各种不同类型。并拓展联想到四边形是否也有各种

28、不同类型。 29沐雨书屋问题四：想象力的训练缺乏，学生空间观念薄弱。 问题与建议问题与建议 过分依赖直观，重静态而轻动态，缺乏空间想象力；知识的过分依赖直观，重静态而轻动态，缺乏空间想象力；知识的习得与生活经验脱节。习得与生活经验脱节。“能从较复杂的图形中分解出基本的图形，或由几何能从较复杂的图形中分解出基本的图形，或由几何图形想象出实物的形状；能通过图形的位置关系想象图形想象出实物的形状；能通过图形的位置关系想象出图形的运动变化过程，或通过运动变化描述想象出出图形的运动变化过程，或通过运动变化描述想象出运动后的结果运动后的结果”。 30沐雨书屋空间想象力包括：空间想象力包括：（1）熟悉基本几

29、何图形（平面或空间），并能找出其）熟悉基本几何图形（平面或空间），并能找出其概念原型，能正确的画出几何图形；概念原型，能正确的画出几何图形；（2）能分析图形中的基本元素之间的位置关系及度量）能分析图形中的基本元素之间的位置关系及度量关系；关系；（3）能借助于图形来反映并思考客观事物或用数学语）能借助于图形来反映并思考客观事物或用数学语言表达的空间形状和位置关系；言表达的空间形状和位置关系；（4）能对画出的图形或头脑中已有的形象进行分析、）能对画出的图形或头脑中已有的形象进行分析、组合、从而产生新的空间形象并能判断其性质。组合、从而产生新的空间形象并能判断其性质。31沐雨书屋怎样培养学生的空间想

30、象力？怎样培养学生的空间想象力？（1）通过大量实物操作，充分利用生活经验，建）通过大量实物操作，充分利用生活经验，建立有直观基础的直觉支持；立有直观基础的直觉支持；（2）经历生活经验回忆、观察、操作、想象、描）经历生活经验回忆、观察、操作、想象、描述、思考、交流、分析、推理、表示等活动过程；述、思考、交流、分析、推理、表示等活动过程；（3）培养学生看图的能力，适当训练学生自己作）培养学生看图的能力，适当训练学生自己作图，留给学生想象的空间和时间；图，留给学生想象的空间和时间；（4）指导学生适当的设计、制作几何教具模型。）指导学生适当的设计、制作几何教具模型。32沐雨书屋例例2：一根长一根长2米的直圆柱木料，截成米的直圆柱木料，截成2个圆柱后，个圆柱后，表面积比原来增加表面积比原来增加12.56平方分米，原来圆柱体木平方分米，原来圆柱体木料的底面积是料的底面积是( )平方分米，体积是（平方分米，体积是（ ）立方分米。立方分米。 例例3：判断下列哪些图形可以折成正方体？判断下列哪些图形可以折成正方体？例例1：把：把5个边长是个边长是0.4分米的正方形拼成一个长方分米的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是（形，这个长方形