34圆周角和圆心角的关系

1、九年级数学(下)第三章圆3.4 3.4 圆周角和圆心角的关系（圆周角和圆心角的关系（1 1） 圆周角定理圆周角定理宝氮子校宝氮子校 陈明侠陈明侠.OBCA特征：特征： 角的顶点在圆上角的顶点在圆上. 角的两边都与圆相交角的两边都与圆相交.圆周角定义圆周角定义: : 顶点在圆上顶点在圆上,并且并且两边都和圆相交两边都和圆相交的角的角叫叫圆周角圆周角.练习练习：1.判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。不是不是不是不是是是不是不是不是不是图图图图图图图图图图类比圆心角类比圆心角探知探知圆周角圆周角n在在同圆同圆或或等圆等圆中中, ,相等的相等的

2、弧弧所对的所对的圆心角圆心角相等相等. .n在在同圆同圆或或等圆等圆中中, ,相等的相等的弧弧所对的所对的圆周角圆周角有什么关系？有什么关系？n 为了解决这个问题为了解决这个问题, ,我们先探究一条弧所对的圆周我们先探究一条弧所对的圆周角和圆心角之间的关系角和圆心角之间的关系. .圆周角圆周角和和圆心角圆心角的关系的关系n如图如图, ,观察观察弧弧ACAC所对的所对的圆周角圆周角ABCABC与与圆心角圆心角AOCAOC, ,它们的大小有什么关系它们的大小有什么关系? ?n说说你的想法说说你的想法,并与同伴交流并与同伴交流.n教师提示教师提示:注意圆心与圆周角的位置关系注意圆心与圆周角的位置关系

3、.OABCOABCOABC圆周角圆周角和和圆心角圆心角的关系的关系n1 1. .首先考虑一种特殊情况：首先考虑一种特殊情况：当当圆心圆心(O)在在圆周圆周角角(ABC)的一边的一边(BC)上时上时,圆周角圆周角ABC与与圆心角圆心角AOC的大小关系的大小关系AOCAOC是是ABOABO的外角，的外角，AOC=B+A.AOC=B+A.OA=OBOA=OB，OABCA=B.A=B.AOC=2B.AOC=2B.即即 ABC = AOC.ABC = AOC.21一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所等于它所对的对的圆心角圆心角的一半的一半. .圆周角圆周角和和圆心角圆心角的关系的关系n2.2.当

4、当圆心圆心(O)(O)在在圆周角圆周角(ABC)(ABC)的内部时的内部时, ,圆周圆周角角ABCABC与圆心角与圆心角AOCAOC的大小关系会怎样的大小关系会怎样? ?n过点过点B B作直径作直径BD.BD.由由1 1可得可得: :O ABC = AOC. ABC = AOC.21一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所等于它所对的对的圆心角圆心角的一半的一半. .ABCDnABD = AOD,CBD = COD,ABD = AOD,CBD = COD,2121nABD+CBD= AOD+COD,ABD+CBD= AOD+COD,21n过点过点B B作直径作直径BD.BD.由由1 1可得

5、可得: :O ABC = AOC. ABC = AOC.21一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所等于它所对的对的圆心角圆心角的一半的一半. .DnABD = AOD,CBD = COD,ABD = AOD,CBD = COD,2121ABCnABD -ABD -CBD = (AOD-COD),= (AOD-COD),21圆周角圆周角和和圆心角圆心角的关系的关系n3.当当圆心圆心(O)在在圆周角圆周角(ABC)的外部时的外部时,圆圆周角周角ABC与圆心角与圆心角AOC的大小关系会怎的大小关系会怎样样?练习：练习：2.如图，圆心角如图，圆心角AOB=100，则，则ACB=_。OABCBAO

6、.70 x1.求圆中角求圆中角X的度数的度数AO.X120130AO.X120 C C D B如图所示，如图所示，ADB、ACB、AOB分别是分别是什么角？它们有何共同点？什么角？它们有何共同点？ ADB与与ACB有什么关系？有什么关系？ 同弧同弧 所对的圆周角相等所对的圆周角相等.(等弧等弧)思考思考: 相等的圆周角所对的弧相相等的圆周角所对的弧相等吗等吗?在同圆或等圆中在同圆或等圆中都等于都等于这条弧所对的圆心角的一半这条弧所对的圆心角的一半.圆周角定理推论圆周角定理推论: :BOADC1.相等相等的的圆周角圆周角所对的所对的弧弧相等相等.2.在同圆或等圆中在同圆或等圆中,探究：探究：3.

7、3.试找出下图中所有相等的圆周角。试找出下图中所有相等的圆周角。 ABCD123456782=71=43=65=8ABOC4、如图、如图,AB是直径是直径,则则ACB=.903. 直径直径所对的圆周角所对的圆周角是直角是直角;4. 90度度的圆周角所对的弦的圆周角所对的弦是直径。是直径。圆周角定理推论圆周角定理推论: :5.5.如图：如图：OAOA、OBOB、OCOC都是都是O O的半径的半径 AOB=2BOC.AOB=2BOC.求证：求证：ACB=2BAC.ACB=2BAC.证明：证明：ACB= AOB12BAC= BOC2AOB=2BOCAOBCACB=2BAC1 规律规律:解决圆周角和圆

8、心角的计算和证明问题解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理然后再灵活运用圆周角定理分析分析:AB所对圆周角是所对圆周角是ACB, 圆心角是圆心角是AOB. 则则ACB= AOB. BC所对圆周角是所对圆周角是 BAC , 圆心角是圆心角是BOC, 则则 BAC= BOC 21_21_O ODABC 6. 6.如图如图,AB,AB是是O O的直径，的直径，BDBD是弦是弦, ,延长延长BDBD到到C,C,使使AC=AB,AC=AB,BDBD与与CDCD的大小有什么关系的大小有什么关系? ?为什么为什么?

9、?解：解：BD=CD. 理由是：理由是：连接连接AD.AB是是 O的直径的直径ADB90即即ADBD又又ACABBDCD拓展拓展 化化心心动为动为行行动动7.7.在在O O中中,A=50,A=50, ,求求C C的大小的大小. .OCABD定理：定理：圆内接四边形的对角互补。圆内接四边形的对角互补。1.同弧或等弧所对的圆周角相等同弧或等弧所对的圆周角相等; 在同圆或等圆中在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等相等的圆周角所对的弧相等.2.直径所对的圆周角是直角直径所对的圆周角是直角; 90的圆周角所对的弦是直径的圆周角所对的弦是直径.3圆内接四边形的对角互补圆内接四边形的对角互补条件条件“同

10、弧或等弧同弧或等弧”改为改为“同弦或等弦同弦或等弦”,或或删去删去“同圆或等圆同圆或等圆”的条件，结论都不成立了的条件，结论都不成立了.圆周角定理：圆周角定理：一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所对的等于它所对的圆圆心角心角的一半的一半. .圆周角定理推论：圆周角定理推论：例题精解例题精解 7. 如图，如图，AD是是ABC的高，的高，AE是是ABC的外接圆直的外接圆直径。求证：径。求证：AB AC = AE ADAOBCDEAE是是ABC的外接圆直径的外接圆直径ABADAEAC ADC ABEABE90AD是是ABC的高的高ADCABE90CE AB AC = AE AD 证明：连接证

11、明：连接BE.1 1、证明题的思路寻找方法；、证明题的思路寻找方法；2 2、等积式的证明方法；、等积式的证明方法；3 3、辅助线的思考方法。、辅助线的思考方法。9.9.如图如图, ,圆圆O O中中,AB,AB是直径是直径, ,半径半径COCOAB,DAB,D是是COCO的中点的中点,DEAB,DEAB,求求ABEABE的度数的度数. .ABEODC拓展拓展 化心动为行动化心动为行动3、 如图，在直径为如图，在直径为AB的半圆中，的半圆中，O为圆心，为圆心，C、D为半圆上的两点，为半圆上的两点，COD=500，则，则CAD=_ 4、AB、AC为为 O的两条弦，延长的两条弦，延长CA到到D，使，使AD=AB，如果，如果ADB=350，求，求BOC的度数。的度数。讨论与思考讨论与思考ABC