数学必修ⅰ北师大版 函数的奇偶性与周期性 课件

1、1第三节第三节 函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性 2三年三年1212考考 高考指数高考指数: :1.1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.2.会运用函数的图像理解和研究函数的奇偶性；会运用函数的图像理解和研究函数的奇偶性；3.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性函数的周期性31.1.函数的奇偶性、周期性的应用是高考的重要考向；函数的奇偶性、周期性的应用是高考的重要考向；2.2.常与函数的图像、单调性、对称性、零点等综合命题常与函数的图像、单调性、对称性、零点等综合命

2、题; ;3.3.多以选择、填空题的形式出现，属中低档题目多以选择、填空题的形式出现，属中低档题目. .41.1.函数奇偶性的定义函数奇偶性的定义(1)(1)图像定义：图像定义：f(x)f(x)为奇函数为奇函数图像关于图像关于_对称；对称；f(x)f(x)为偶函数为偶函数图像关于图像关于_对称；对称；(2)(2)符号定义：对于函数符号定义：对于函数f(x)f(x)的定义域内的任意一个的定义域内的任意一个x xf(x)f(x)为偶函数为偶函数_; ;f(x)f(x)为奇函数为奇函数_. .原点原点y y轴轴f(-x)=f(x)f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)5【即时

3、应用即时应用】(1)(1)思考：函数思考：函数f(x)=x+sinx,g(x)=xsinxf(x)=x+sinx,g(x)=xsinx各自图像有什么各自图像有什么对称性？对称性？提示：提示：f(x)f(x)为奇函数，所以其图像关于原点对称；为奇函数，所以其图像关于原点对称；g(x)g(x)为偶为偶函数，所以其图像关于函数，所以其图像关于y y轴对称轴对称. .6(2)(2)判断下列六个函数是否是奇函数判断下列六个函数是否是奇函数.(.(请在括号中填请在括号中填“是是”或或“否否”) )y=xy=x2 2-|x| ( )-|x| ( )y=sin3x y=sin3x ( ) ( )y=x+ y=

4、x+ ( )( )y=3y=3x x-3-3-x -x ( )( )y=|x|cosx ( )y=|x|cosx ( )y=xy=x2 2,x(-1,1,x(-1,1 ( )( )1x7【解析解析】由奇函数、偶函数的符号定义知，函数由奇函数、偶函数的符号定义知，函数, ,为偶为偶函数，函数，, , ,为奇函数为奇函数, ,是非奇非偶函数是非奇非偶函数. .答案：答案：否否 是是 是是 是是 否否 否否8(3)(3)已知已知f(x)=axf(x)=ax2 2+bx+bx是定义在是定义在a-1,2aa-1,2a上的偶函数，那么上的偶函数，那么a+ba+b的值是的值是_._.【解析解析】由已知得由已

5、知得a-1=-2a,a-1=-2a,解得解得a=a=f(x)= +bx,f(x)= +bx,又又f(-x)=f(x),f(-x)=f(x),即即又又xx ,b=0,b=0,故故a+b= +0=a+b= +0=答案：答案：1,321x32211xbxxbxbx0,332 2,3 3131.3139(4)(4)已知已知f(x)f(x)为为R R上的奇函数，且当上的奇函数，且当x0 x0时，时，f(x)=xf(x)=x2 2, ,则则f(x)=f(x)=_._.【解析解析】由题意知由题意知f(0)=0,f(0)=0,当当x0 x0,-x0,f(-x)=(-x)f(-x)=(-x)2 2=x=x2 2

6、, ,又又f(-x)=-f(x),f(x)=-xf(-x)=-f(x),f(x)=-x2 2, ,答案：答案：22x ,x0f(x)0 x0 .x ,x0综上，22x ,x0 x ,x010(5)(5)若若f(x)f(x)为为R R上的偶函数，且在上的偶函数，且在0 0，+)+)上单调递减，则上单调递减，则f(x)f(x)在在(-,0(-,0上的单调性为上的单调性为_._.【解析解析】由图像关于由图像关于y y轴对称知在轴对称知在(-,0(-,0上为单调增函数上为单调增函数. .答案：答案：单调递增单调递增112.2.周期性周期性(1)(1)周期函数：常数周期函数：常数T T为函数为函数f(x

7、)f(x)的一个周期，则需满足的条件：的一个周期，则需满足的条件：T0;T0;f(x+T)=_f(x+T)=_对定义域内的任意对定义域内的任意x x都成立都成立. .(2)(2)最小正周期：如果在周期函数最小正周期：如果在周期函数f(x)f(x)的所有周期中存在一个的所有周期中存在一个_，那么这个，那么这个_就称为它的最小正周期就称为它的最小正周期f(x)f(x)最小的正数最小的正数最小的正数最小的正数12【即时应用即时应用】(1)(1)已知函数已知函数f(x),f(x),对任意对任意xRxR，都有，都有f(x+4)=f(x),f(x+4)=f(x),且且x(0,2)x(0,2)时，时，f(x

8、)=2 012xf(x)=2 012x2 2, ,则则f(2 013)=_.f(2 013)=_.(2)(2)函数函数f(x)f(x)对于任意实数对于任意实数x x满足条件满足条件f(x+1)=-f(x),f(x+1)=-f(x),则则f(x)f(x)的最小正周期为的最小正周期为_._.13【解析解析】(1)f(x+4)=f(x),(1)f(x+4)=f(x),f(x)f(x)的最小正周期为的最小正周期为4 4，f(2 013)=f(503f(2 013)=f(5034+1)=f(1)=2 0124+1)=f(1)=2 0121 12 2=2 012.=2 012.(2)f(x+1)=-f(x

9、),(2)f(x+1)=-f(x),f(x+2)=f(x+1)+1)=-f(x+1)=-f(x+2)=f(x+1)+1)=-f(x+1)=-f(x)-f(x)=f(x).=f(x).最小正周期为最小正周期为2.2.答案：答案：(1)2 012 (2)2 (1)2 012 (2)2 14 判定函数的奇偶性判定函数的奇偶性【方法点睛方法点睛】判定函数的奇偶性的常用方法及思路判定函数的奇偶性的常用方法及思路(1)(1)符号定义法：符号定义法：15(2)(2)图像定义法：图像定义法：f(x)f(x)的图象的图象关于原点对称关于原点对称关于关于y y轴对称轴对称f(x)f(x)为奇函数为奇函数f(x)f

10、(x)为偶函数为偶函数16(3)(3)性质法：用奇、偶函数的性质来判断其和差积商函数的性质法：用奇、偶函数的性质来判断其和差积商函数的奇偶性奇偶性奇函数与奇函数奇函数与奇函数 奇函数与偶函数奇函数与偶函数 偶函数与偶函数偶函数与偶函数 和和 差差奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数积积 商商17【提醒提醒】“性质法性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的才成立的. . 18【例例1 1】判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=x(1)f(x)=x3

11、 3-x;-x;(2)f(x)=(x+1)(2)f(x)=(x+1)(3)(3)【解题指南解题指南】由奇偶性的符号定义，先看函数的定义域是否由奇偶性的符号定义，先看函数的定义域是否关于原点对称，再计算关于原点对称，再计算f(-x)f(-x)，并判断其与，并判断其与f(x)f(x)的关系，从的关系，从而得出函数的奇偶性而得出函数的奇偶性. .1 x;1 x22xx,x0f(x).xx,x019【规范解答规范解答】(1)(1)显然函数显然函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为R R，关于原点对称，关于原点对称，又又f(-x)=(-x)f(-x)=(-x)3 3-(-x)=-(x-(-x)=-(x

12、3 3-x)=-f(x),f(x)-x)=-f(x),f(x)为奇函数为奇函数. .(2)(2)使使f(x)=(x+1) f(x)=(x+1) 有意义，则有有意义，则有 0 0且且1+x0,1+x0,解得解得函数的定义域为函数的定义域为(-1,1(-1,1, ,不关于原点对称，因此函数不关于原点对称，因此函数f(x)f(x)既不既不是奇函数，也不是偶函数是奇函数，也不是偶函数. .1 x1 x1 x1 x20(3)(3)显然函数显然函数f(x)f(x)的定义域为：的定义域为：(-(-，0)(0,+)0)(0,+)，关于原，关于原点对称，点对称，当当x0 x0-x0，则，则f(-x)=-(-x)

13、f(-x)=-(-x)2 2-x-x=-x=-x2 2-x=-f(x)-x=-f(x)；当当x0 x0时时,-x0,-x0 x0时，时，-x0,-x0,又又x0 x0时，时，f(x)=2xf(x)=2x2 2-x,-x,f(-x)=2(-x)f(-x)=2(-x)2 2-(-x)=2x-(-x)=2x2 2+x,+x,又又f(-x)=-f(x),f(-x)=-f(x),即即:-f(x)=2x:-f(x)=2x2 2+x,f(x)=-2x+x,f(x)=-2x2 2-x.-x.综上综上, , 222xx,x0f x.2xx,x033【反思反思感悟感悟】利用函数的奇偶性可将未知区间上的求函数利用函

14、数的奇偶性可将未知区间上的求函数值、求解析式、作图像、判定单调性问题转化为已知区间上值、求解析式、作图像、判定单调性问题转化为已知区间上的函数值、解析式、图像、单调性问题求解，充分体现了数的函数值、解析式、图像、单调性问题求解，充分体现了数学的转化与化归思想学的转化与化归思想. .34【变式备选变式备选】奇函数奇函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为-5,5-5,5. .若当若当xx0,50,5时，时，f(x)f(x)的图像如图所示，则不等式的图像如图所示，则不等式f(x)0f(x)0的解集的解集是是_._.35【解析解析】由奇函数图像对称性补出其在由奇函数图像对称性补出其在-5,0)-5,

15、0)上的图像，上的图像，由图像知解集为由图像知解集为(-2,0)(2,5(-2,0)(2,5. .答案：答案：(-2,0)(2,5(-2,0)(2,536 函数周期性的应用函数周期性的应用【方法点睛方法点睛】关于函数周期性的几个常用结论关于函数周期性的几个常用结论(1)(1)若对于函数若对于函数f(x)f(x)定义域内的任意一个定义域内的任意一个x x都有：都有：f(x+a)=-f(x)f(x+a)=-f(x)，则函数，则函数f(x)f(x)必为周期函数，必为周期函数，2|a|2|a|是它的一个是它的一个周期；周期；f(x+a)= f(x+a)= 则函数则函数f(x)f(x)必为周期函数，必为

16、周期函数，2|a|2|a|是它的一个周是它的一个周期；期；f(x+a)= f(x+a)= 则函数则函数f(x)f(x)必为周期函数，必为周期函数，2|a|2|a|是它的一个是它的一个周期；周期；1f(x)，1f(x)，37(2)(2)如果如果T T是函数是函数y=f(x)y=f(x)的周期，则的周期，则kT(kZ,k0)kT(kZ,k0)也是函数也是函数y=f(x)y=f(x)的周期，即的周期，即f(x+kT)=f(x)f(x+kT)=f(x)；若已知区间若已知区间m,nm,n(mn)(m10 x10时，时，|lgx|1,|lgx|1,因此结合图像及数据特点因此结合图像及数据特点y=f(x)y

17、=f(x)与与y=|lgx|y=|lgx|的图像交点共有的图像交点共有1010个个. .42【反思反思感悟感悟】已知周期函数在长度为一个周期的区间上的已知周期函数在长度为一个周期的区间上的解析式或图像，则可求在其他区间上的函数值、解析式或画解析式或图像，则可求在其他区间上的函数值、解析式或画出其他区间上的图像，关键是用好其周期性进行转化出其他区间上的图像，关键是用好其周期性进行转化. .43【变式训练变式训练】设设f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的奇函数，且对任意实数上的奇函数，且对任意实数x x，恒有恒有f(x+1)=f(1-x).f(x+1)=f(1-x).当当xx0,20,2时，

18、时，f(x)=2x-xf(x)=2x-x2 2. .(1)(1)求证：求证：f(x)f(x)是周期函数是周期函数; ;(2)(2)当当xx2,42,4时，求时，求f(x)f(x)的解析式的解析式; ;(3)(3)计算计算f(0)+f(1)+f(2)+f(2 013).f(0)+f(1)+f(2)+f(2 013).44【解析解析】(1)f(x+1)=f(1-x),(1)f(x+1)=f(1-x),f(x+2)=f(x+1)+1)f(x+2)=f(x+1)+1)=f(1-(x+1)=f(-x)=-f(x)=f(1-(x+1)=f(-x)=-f(x)f(x+2)=-f(x),f(x+2)=-f(x

19、),f(x+4)=-f(x+2)=f(x).f(x+4)=-f(x+2)=f(x).f(x)f(x)是周期为是周期为4 4的周期函数的周期函数. .45(2)(2)当当xx-2,0-2,0时，时，-x-x0,20,2，由已知得，由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)f(-x)=2(-x)-(-x)2 2=-2x-x=-2x-x2 2, ,又又f(x)f(x)是奇函数，是奇函数，f(-x)=-f(x)=-2x-xf(-x)=-f(x)=-2x-x2 2, ,当当xx-2,0-2,0时，时，f(x)=xf(x)=x2 2+2x.+2x.又当又当xx2,42,4时，时，x-4x-4-2,0-2,0

20、,f(x-4)=(x-4),f(x-4)=(x-4)2 2+2(x-+2(x-4).4).又又f(x)f(x)是周期为是周期为4 4的周期函数，的周期函数，f(x)=f(x-4)=(x-4)f(x)=f(x-4)=(x-4)2 2+2(x-4)=x+2(x-4)=x2 2-6x+8.-6x+8.从而求得从而求得xx2,42,4时，时，f(x)=xf(x)=x2 2-6x+8.-6x+8.46(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.又又f(x)f(x)是周期为是周期为4 4的周期函数的周期函数, ,f(0)+

21、f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)= =f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0.=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0.f(0)+f(1)+f(2)+f(0)+f(1)+f(2)+f(2 013)=f(0)+f(1)=0+1=1.+f(2 013)=f(0)+f(1)=0+1=1.47【变式备选变式备选】设函数设函数f(x)f(x)是是(-,+)(-,+)上的奇函数，且上的奇函数，且f(x+2)=-f(x)f(

22、x+2)=-f(x)，当，当xx0,10,1时，时，f(x)=x.f(x)=x.(1)(1)求求f()f()的值；的值；(2)(2)当当xx-4,4-4,4时，求时，求f(x)f(x)的图像与的图像与x x轴所围成的图形的轴所围成的图形的面积面积. .48【解析解析】(1)(1)由由f(x+2)=-f(x)f(x+2)=-f(x)得得f(x+4)=-f(x+2)f(x+4)=-f(x+2)，f(x+4)=f(x)f(x+4)=f(x)，则则f(x)f(x)是以是以4 4为周期的周期函数为周期的周期函数. .f()=f(-1f()=f(-14+)=f(-4)4+)=f(-4)，f(x)f(x)是

23、是(-,+)(-,+)上的奇函数，上的奇函数，f(-4)=-f(4-)=-(4-)=-4.f(-4)=-f(4-)=-(4-)=-4.f()=-4.f()=-4.49(2)(2)由由f(x)f(x)是是(-,+)(-,+)上的奇函数与上的奇函数与f(x+2)=-f(x)f(x+2)=-f(x)得得f(x+2)=f(-x)f(x+2)=f(-x)，故知函数故知函数y=f(x)y=f(x)的图像关于的图像关于x=1x=1对称，对称，又又xx0,10,1时，时，f(x)=xf(x)=x，且，且f(x)f(x)的图像关于原点对称，则的图像关于原点对称，则f(x)f(x)的图像如图所示的图像如图所示50

24、当当xx-4,4-4,4时，时，f(x)f(x)的图像与的图像与x x轴所围成的图形的面积为：轴所围成的图形的面积为：S=4SS=4SOABOAB=4=4( ( 2 21)=4.1)=4.1251【创新探究创新探究】创新应用函数的奇偶性与周期性创新应用函数的奇偶性与周期性【典例典例】(2011(2011福建高考福建高考) )对于函数对于函数f(x)=asinx+bx+c(f(x)=asinx+bx+c(其中其中, ,a,bR,cZ)a,bR,cZ)，选取，选取a,b,ca,b,c的一组值计算的一组值计算f(1)f(1)和和f(-1)f(-1)，所得，所得出的正确结果一定不可能是出的正确结果一定

25、不可能是( )( )(A)4(A)4和和6 (B)36 (B)3和和1 1(C)2(C)2和和4 (D)14 (D)1和和2 252【解题指南解题指南】解答本题需根据函数解答本题需根据函数f(x)f(x)解析式的结构特征，解析式的结构特征，构造奇函数构造奇函数g(x)=f(x)-c,g(x)=f(x)-c,然后利用奇函数的性质，然后利用奇函数的性质，g(-g(-1)+g(1)=0,1)+g(1)=0,探究出探究出f(-1)+f(1)f(-1)+f(1)与与c c的关系，从而由的关系，从而由cZcZ限定限定f(1)f(1)与与f(-1)f(-1)不可能的取值不可能的取值. .53【规范解答规范解

26、答】选选D.D.令令g(x)=f(x)-c=asinx+bx,g(x)=f(x)-c=asinx+bx,g(-x)=asin(-x)+b(-x)=-(asinx+bx)=-g(x),g(-x)=asin(-x)+b(-x)=-(asinx+bx)=-g(x),g(x)g(x)为定义在为定义在R R上的奇函数上的奇函数. .则由奇函数的性质，得则由奇函数的性质，得:g(-1)+g(1)=0,:g(-1)+g(1)=0,即即f(-1)+f(1)-2c=0.f(-1)+f(1)-2c=0.f(-1)+f(1)=2c,f(-1)+f(1)=2c,又又cZ,f(1)+f(-1)cZ,f(1)+f(-1)

27、是偶数，是偶数，而选项中只有而选项中只有D D中两数和为奇数，故选中两数和为奇数，故选D.D.54【阅卷人点拨阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，可以得到以下创新通过对本题的深入研究，可以得到以下创新点拨及备考建议点拨及备考建议: :创创新新点点拨拨本题有以下创新点：本题有以下创新点：(1)(1)命题方式创新：题目虽为选择题，但并不是直接考查命题方式创新：题目虽为选择题，但并不是直接考查而是以间接否定的形式考查而是以间接否定的形式考查. .(2)(2)考查内容创新：本题通过所给函数的解析式及所求函考查内容创新：本题通过所给函数的解析式及所求函数值，间接考查函数奇偶性的确定与应用，较好地考查数值，间接考查函数奇偶性的确定与应用，较好地考查了学生的创新应用意识、探究能力和逻辑推理能力，是了学生的创新应用意识、探究能力和逻辑推理能力，是考查函数奇偶性与周期性的一个新的亮点考查函数奇偶性与周期性的一个新的亮点. . 55备备考考建建议议从该题的解答过程来看，我们在备考函数奇偶性