计算方法第五章(数值微积分)剖析

1、第五章第五章数值微积分数值微积分第一节第一节 等距节点求积公式等距节点求积公式1.1基本求积公式基本求积公式本章研究核心课题：本章研究核心课题：给定一个已知给定一个已知 f(x)，求其在区间上的积分。求其在区间上的积分。方法方法1：给出一组节点后，利用函数在这组节点的插值多项式近：给出一组节点后，利用函数在这组节点的插值多项式近似代替函数进行积分，从而求出积分的近似值。似代替函数进行积分，从而求出积分的近似值。 ( )baI ff x dx01200 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )nnbbbniiaaainbiiaiaxxxxbI ff x dxQ fL x dxl x f x d

2、xl x dx f x 记：记：则得到插值型求积公式，通常称为牛顿柯特斯公式：则得到插值型求积公式，通常称为牛顿柯特斯公式：显然，公式的计算误差为：显然，公式的计算误差为：等距节点时，等距节点时， ，记，记 ，求积系数为：，求积系数为：011011()()()()( )()()()()bbiiniiaaiiiiiinxxxxxxxxAl x dxdxxxxxxxxx0 ( )niiiI fQ fA f x(1)011 ( )()()()(1)!bnnaR fI fQ ffxxxxxx dxn,()/(0,1,2, )ixaihhban in,0, xathtn0( 1)(1)(1)(1)()!

3、()!n inihAt ttititn dti ni 为方便计算，引入为方便计算，引入此时，牛顿柯特斯公式变为：此时，牛顿柯特斯公式变为：这里，我们称这里，我们称 为柯特斯系数，下面的表中给出了常用的为柯特斯系数，下面的表中给出了常用的柯特斯系数。柯特斯系数。001( 1)(1)(1)(1)()()() !()!( 1)(1)(1)(1)()!()!n inniin inhCAt ttititn dtbaba i nit ttititn dtn i ni 0 ()( )nniiiI fQ fbaC f xniC柯特斯系数表柯特斯系数表n系数系数11/21/221/62/31/631/83/83

4、/81/847/9016/452/1516/457/905192882596251442514425961928864184093592803410592809354184077511728035771728013231728029891728029891728013231728035771728075117280898928350588828350-928283501049628350-4540283501049628350-9282835058882835098928350n=1时，称为时，称为梯形公式梯形公式，n=2时，称为时，称为Simpson公式（辛浦生）公式（辛浦生），n=4时，称

5、为时，称为柯特斯公式柯特斯公式(Cotes)，301()1 ()( ) , ( )212baI fQ ff xf xR fh f 5(4)012()1 ()4 ( )() , ( )690baI fQ ff xf xf xR fh f hba()/2hba()/4hba012347(6)() 7 ()32 () 12 ()32 ()7 ()908 ( )945baI fQ ff xf xf xf xf xR fh f 1.2复化求积公式复化求积公式计算积分时，常常将积分区间分成许多小区间，在每个小区间计算积分时，常常将积分区间分成许多小区间，在每个小区间上应用基本积分公式，上应用基本积分公式，

6、再相加得到新的求积公式，这种公再相加得到新的求积公式，这种公式称为式称为复化求积公式复化求积公式。复化梯形公式复化梯形公式，区间，区间 n 等分，分点为等分，分点为 ，步长，步长 ： 112( )( )22 ()( ), , 12nkkhI fT hf af xf bhR fba fa b kx()/hban区间区间2n等分等分， ，则得到，则得到复化辛浦生公式复化辛浦生公式()/2hban 1212114(4)( )( )423 ()( ), , 180nnkkkkhI fS hf af xf xf bhR fba fa b 例：利用各种公式计算例：利用各种公式计算sinx在区间在区间0 ,

7、 /2上的积分。上的积分。结果为：结果为：梯形公式：梯形公式：0.7854Simpson公式：公式：1.0023柯特斯公式：柯特斯公式：0.9999复化梯形公式：复化梯形公式：100个点计算结果，个点计算结果，0.99978复化辛浦生公式：复化辛浦生公式：100个点计算结果，个点计算结果，0.999987准确值：准确值：cos(0.0) - cos( /2)=1 DOUBLE PRECISION h,sum,sum1，paiinteger n OPEN(10,FILE=INPUT.DAT,STATUS=UNKNOWN) OPEN(20,FILE=OUTPUT.DAT,STATUS=UNKNOW

8、N)pai=3.14159h=pai/2/4sum=pai*(32*sin(h)+12*sin(2*h)+32*sin(3*h)+7*sin(4*h)/180.0 n=100 sum1=0.0h1=pai/2/100do 10 i=1,99 sum1=sin(i*h1)+sum110 continue sum1=(sin(0.0)+sum1*2+sin(100*h1)*h1/2write(20,*) sum,sum1END变步长积分法变步长积分法：实际计算中，常常采取如下策略：事先给出某个步长实际计算中，常常采取如下策略：事先给出某个步长 （可（可以稍大一点），然后逐次减半，直到某前后两次计算

9、的偏以稍大一点），然后逐次减半，直到某前后两次计算的偏差差 在精度范围内为止。在精度范围内为止。对于梯形法，步长二分前后梯形公式值有如下递推关系式：对于梯形法，步长二分前后梯形公式值有如下递推关系式：首先，设步长为首先，设步长为 ， ， 等分后得：等分后得： h /2I hI h213211( ()()()22nnnhTTf xf xf xbahnixaih 1111( )22nnkkI fThf af xf b类似的可以得到变步长的类似的可以得到变步长的辛浦生辛浦生公式：公式：22213nnnnSTTT例：计算积分，直到相邻两次计算绝对值小于例：计算积分，直到相邻两次计算绝对值小于0.01精

10、确值精确值数值结果数值结果用辛浦生公式用辛浦生公式可以看出，对于同一步长，可以看出，对于同一步长，辛浦生公式计算比梯形公式好辛浦生公式计算比梯形公式好!12041Idxx1102044|1Idxarctgxx(1)3,(1/2)3.1,(1/4)3.13117647TTT(1/8)3.138988493(1/4)(1/8)0.01TTTstop1(1/8)(1/8) (1/8)(1/4)3.14159253STTT1.3 代数精度与待定系数法：代数精度与待定系数法：一般地，取一般地，取 内若干个内若干个(n个个)节点节点 处的函数值处的函数值 ，求，求积公式可以表示为：积公式可以表示为：定义：

11、称求积公式具有定义：称求积公式具有m阶（代数）精度阶（代数）精度，如果它对于一切，如果它对于一切不超过不超过m次多项式是准确的，但对于次多项式是准确的，但对于m+1次多项式不准确。次多项式不准确。取取 f(x) = 1 , x ，容易推出系数满足：容易推出系数满足：, a bix if x 0nbiiaif x dxA f x2200110,()/2,()/1nniiiiinmmmiiiAbaAxbaAxbam1.4 广义皮亚诺定理广义皮亚诺定理广义皮亚诺定理：设下面的积分计算公式具有广义皮亚诺定理：设下面的积分计算公式具有m阶代数精度阶代数精度则其计算误差为：则其计算误差为： 0 niiiQ

12、 fA f x(1)01 ( ) ( )( )( )()()()(1)! , mmiR f xR e xfxe xxxxxxxmxa b1.5 求积公式的舍入误差求积公式的舍入误差舍入误差分析表明：求积分公式舍入误差分析表明：求积分公式的系数一般要大于零！的系数一般要大于零！n较大时的牛顿柯特斯公式由于有系数较大时的牛顿柯特斯公式由于有系数小于零，所以不能用！小于零，所以不能用！ 0 nbiiaiI ff x dxA f x第二节第二节 龙贝格积分法龙贝格积分法复化梯形公式计算值与积分精确值之间有如下关系复化梯形公式计算值与积分精确值之间有如下关系(h为步长为步长)：因此，用因此，用 作为积分

13、精确值作为积分精确值 的近似值，误差为：的近似值，误差为：容易看出：容易看出：则则2412 ( )I fT ha ha h( )T h I f24212()a ha hO h00104( /2)( )( ),( )( )3T hT hT hT hT h46123 ( )I fT hb hb h由此可得龙贝格积分法（逐次分半加倍法或梯形公式外推由此可得龙贝格积分法（逐次分半加倍法或梯形公式外推法）：法）： 的计算误差为的计算误差为 。下面，给出龙贝格积分法在计算机上实现的具体计算步骤。下面，给出龙贝格积分法在计算机上实现的具体计算步骤。引入记号引入记号 ， i 表示将区间表示将区间a , b i

14、 等分。等分。步骤如下：步骤如下：02112( )( )2( /2)( )( )21kkkkkT hT hThThT h( )kT h2(1)()kO h00,( /2 )iiikTTT h1、求、求2、把区间二等分，计算、把区间二等分，计算3、把区间再对分（设、把区间再对分（设 等分）计算等分）计算 ，依次计算，依次计算最后求出最后求出4、如、如 ，则可以将，则可以将 作为积分的值，否则继续按作为积分的值，否则继续按照第三步计算。照第三步计算。0000, ( )( )2baTTf af b100( /2)TT h10100100001044 14 1TTTTTT0iT2m111111111,

15、2,3,4,0,1,4141kiiiiiikkkkkkkkkmTTTTTTimk0mT001mmTT计算流程为（计算流程为（称为称为 T 数表数表）：）：00100121001232100123TTTTTTTTTT用用梯梯形形公公式式计计算算例：计算例：计算首先：首先：按流程得下表按流程得下表1011Idxx(1)0.75,(1/2)0.708333(1/4)0.697024,(1/8)0.694122IIII0.750.7083330.6944440.6970240.6932540.6931750.6941220.6931550.6931480.6931480iT3iT2iT1iT第三节第三

16、节 高斯型求积公式高斯型求积公式更一般地，研究带权函数的积分更一般地，研究带权函数的积分本节目的：研究本节目的：研究 n + 1 个节点个节点的求积公式的代数精度。的求积公式的代数精度。可以证明，上面公式的代数精度不超过可以证明，上面公式的代数精度不超过2n+1，称具有称具有2n+1阶代数精度的如上所示的求积公式为阶代数精度的如上所示的求积公式为高斯型公式高斯型公式。0 ( )niiiI fQ fA f x ( ) ( ),( )0( )0baI fx f x dxxandxn 个节点对于高斯求积分公式，有如下结论：个节点对于高斯求积分公式，有如下结论：1、代数精度不超过、代数精度不超过2n+

17、12、代数精度代数精度m n的充要条件是：的充要条件是：这里，这里， 是拉各朗日插值基函数。是拉各朗日插值基函数。3、代数精度为、代数精度为m=2n+1的充要条件是节点为的充要条件是节点为a,b上相对权函数上相对权函数的的n+1次正交多项式的零点，且积分公式的系数满足次正交多项式的零点，且积分公式的系数满足( ) ( )biiaAx l x dx( )il x( ) ( )biiaAx l x dx高斯公式的构造：高斯公式的构造：1、节点：节点选为区间、节点：节点选为区间a , b上关于上关于权函数权函数 的的 n + 1 次次正交多项式正交多项式 的零点，的零点，2、系数：、系数： 为拉格朗

18、日插值基函数，则高斯积分公式的为拉格朗日插值基函数，则高斯积分公式的系数为系数为高斯公式为高斯公式为3、误差：、误差：( )x1( )ngx( )il x( ) ( )biiaAx l x dx0 ( )niiiQ fA f x(22)201( ) ( )( )(22)!( )()()()nbanfR fxx dxnxxxxxxx常用的高斯型求积公式：常用的高斯型求积公式：1、GaussLegendre（高高斯勒让德）公式斯勒让德）公式2、 GaussLaguerre（高高斯拉盖尔）公式斯拉盖尔）公式110( )( )niiif x dxA f x234(22)32(1)! ( ),11(23

19、)(22)!nnnR ffnn 00( )( )nxiiief x dxA f x2(22)(1)! ( ),0(22)!nnR ffn 3、GaussHermite（高高斯埃尔密特）公式斯埃尔密特）公式4、高高斯切比雪夫公式斯切比雪夫公式20( )( )nxiiief x dxA f x(22)1(1)! ( ),2(22)!nnnR ffn 1210( )21(cos)1221nif xidxfnnx(22)21 ( ),112(22)!nnR ffn 第四节第四节 数值微分数值微分4.1 基本数值微分公式：基本数值微分公式：方法：利用插值多项式代替被求导的函数进行求导运算，将求方法：利用

20、插值多项式代替被求导的函数进行求导运算，将求出的导数作为函数的导数值。于是：出的导数作为函数的导数值。于是：特别，在节点处导数值为：特别，在节点处导数值为：( )( )( )0( )( )( )nkkkni iifxLxylx( )( )( )0()()(),0,1,nkkkjnji ijifxLxylxjn(1)( )( )01() ()( )( )(1)!( )()()()nkkkxjnknfdR ffxLxxdxnxxxxxxx在等距节点情况下，可得常用的数值微分公式：在等距节点情况下，可得常用的数值微分公式：1、两点公式：、两点公式：2、三点公式：、三点公式：0101101()()(

21、)21( )()( )2hfxyyfhhfxyyfh200122102220121()( 34)( )231()()( )261()(43)( )23hfxyyyfhhfxyyfhhfxyyyfh3、二阶数值微分公式：、二阶数值微分公式：2(4)0012122(4)101222(4)2012121()(24)( )( )61()(2)( )121()(2)( )( )6hfxyyyhffhhfxyyyfhhfxyyyhffh代数精度：代数精度：如果数值导数公式对于所有不超过如果数值导数公式对于所有不超过 n 阶多项式是准确的，称阶多项式是准确的，称此公式具有此公式具有 n 阶代数精度。阶代数精度。利用代数精度的概念，可以用待定系数法构造具有一定代数精利用代数精度的概念，可以用待定系数法构造具有一定代数精度的数值导数公式。度的数值导数公式。例：确定系数，使公式具有尽可能高的代数精度。例：确定系数，使公式具有尽可能高的代数精度。解：取函数解：取函数 ，带入上面公式，得方程，带入上面公式，得方程0102031()()()()fxa f xa fxa f x2( )1, ,f xx x213233221230,0,22/,2/,2/aaaa ha hahahah 4.3 外推法外推法利用泰勒公式利用泰勒公式232324(5)2(21)1()( )( )( )( )23!()( )( )(