第13章.能量方法

1、材料力学材料力学 第十三章第十三章 能量方法能量方法第二十六讲第二十六讲材料力学材料力学 第十三章第十三章 能量方法能量方法131 概述概述 132 杆件应变能的计算杆件应变能的计算133 应变能的普遍表达方式应变能的普遍表达方式 134 互等定理互等定理137 单位载荷法单位载荷法 莫尔积分莫尔积分材料力学材料力学 第十三章第十三章 能量方法能量方法131 131 概述概述能量原理：能量原理：弹性体内部所贮存的应变能，在数值上等于外力所作的功，弹性体内部所贮存的应变能，在数值上等于外力所作的功，即即VW能量方法：能量方法：利用功能关系分析计算可变形固体的位移、变利用功能关系分析计算可变形固体

2、的位移、变形和内力的方法。形和内力的方法。能量法的应用范围：能量法的应用范围：（1 1）线弹性体；非线性弹性体）线弹性体；非线性弹性体（2 2）静定问题；超静定问题）静定问题；超静定问题材料力学材料力学 第十三章第十三章 能量方法能量方法2NF( )V d2LxxEA2N1FV2niiiiiLE A单位体积内的应变能单位体积内的应变能( (应变比能应变比能) )：1.1.轴向拉压杆的应变能：轴向拉压杆的应变能：132 132 杆件应变能的计算杆件应变能的计算WV lF 21EAlFEAlFN2222FlFllFFl2122E材料力学材料力学 第十三章第十三章 能量方法能量方法2.2.扭转轴的应

3、变能：扭转轴的应变能：21pTV2G IniiiiiLlmmmppGIlTGIlmmWV222122xGIxTVlpd 2)( 2G2212应变比能应变比能材料力学材料力学 第十三章第十三章 能量方法能量方法lxxIExMVd)(2)(23.3.弯曲杆的应变能计算：弯曲杆的应变能计算：EIlmmWV2212ddxMM材料力学材料力学 第十三章第十三章 能量方法能量方法4、应变能公式统一形式：、应变能公式统一形式：WV 12F其中，其中，F-广义力，广义力，-与与F对应的广义位移对应的广义位移.,lFF材料力学材料力学 第十三章第十三章 能量方法能量方法332211212121FFFWV克拉贝依

4、隆原理：克拉贝依隆原理：线弹性体的变形能等于每一外力与其线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘积的二分之一的总和。相应位移乘积的二分之一的总和。材料力学材料力学 第十三章第十三章 能量方法能量方法比例加载比例加载0 . 10 , , ,321PPPdddd332211PPPWP3P1P2321 , , ,321 P Pn nPPdP10332211d )(dPPPWWV材料力学材料力学 第十三章第十三章 能量方法能量方法2( )2NLFx dxVEA2( )2LMx dxEI2( )2PLTx dxGI三种基本变形组合三种基本变形组合杆应变能计算杆应变能计算dxFN(x)FN(x)M(x)

5、M(x)T t(x)T t(x) 材料力学材料力学 第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学材料力学 第十三章第十三章 能量方法能量方法Pl / 2l / 2EIlPxEIxMVl96d 2)( 2322 0 2EIlPPy962132maxEIPly483max2)(PxxMymax思考：分布荷载时，可否用此法求思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？点位移？材料力学材料力学 第十三章第十三章 能量方法能量方法 例例13.2 13.2 图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A A点受铅垂力点受铅垂力P P的作用，求的作用，求A A点的垂直位移。点的垂直位移

6、。解：解：内力方程内力方程sin)(:PRM弯矩:T( )(1 cos )PR扭矩APR材料力学材料力学 第十三章第十三章 能量方法能量方法A A点的垂直位移点的垂直位移应变能：应变能：222T ( )( )( )V d d d222LLLPxMxNxxxxEAGIEI02220222d2)(sind2)cos1(REIRPRGIRPPEIRPGIRPP44332321V2AWPfEIPRGIPRfPA22333材料力学材料力学 第十三章第十三章 能量方法能量方法forces displacements strain energy21,PP21,22112121PP43,PP43,443321

7、21PPP1P221P3P443First groupSecond group13-4 互等定理互等定理材料力学材料力学 第十三章第十三章 能量方法能量方法P1P221P3P443P1P2P3P44312If we first apply P1 and P2 , and then apply P3 and P444332211121212121PPPPUIf we first apply P3 and P4, and then apply P1 and P222114433221212121PPPPU21UU 44332211PPPP212211PP4433PP34strain energys

8、train energy材料力学材料力学 第十三章第十三章 能量方法能量方法 第一组力在第二组力所引起的位移上所作的功，等于第一组力在第二组力所引起的位移上所作的功，等于第二组力在第一组力所引起的位移上所作的功。第二组力在第一组力所引起的位移上所作的功。P1P221P3P443P1P2P3P443122134说明：互等定理中的力和位移都为广义的。说明：互等定理中的力和位移都为广义的。44332211PPPP材料力学材料力学 第十三章第十三章 能量方法能量方法212121FF，则得若21FF 211212F1F2说明：互等定理中的位移为广义的。说明：互等定理中的位移为广义的。F21222F111

9、21第一力作用点沿第一力方向因第二力引起的位移，等于第一力作用点沿第一力方向因第二力引起的位移，等于第二力作用点沿第二力方向因第一力引起的位移。第二力作用点沿第二力方向因第一力引起的位移。材料力学材料力学 第十三章第十三章 能量方法能量方法求解求解解解EIlalEIa3),3(63221用功的互等定理用功的互等定理:021BRPlPaCAB1XBRP ,0 (at point B)03)3(632EIlRalEIPaB)3(232allPaRBPRBCABX=1CAB21材料力学材料力学 第十三章第十三章 能量方法能量方法21BCMwF解：由功的互等定理IElFMwFC2221得：IEMlwC

10、821由此得：1CwB2F 例例6：求图示悬臂梁中点：求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移处的铅垂位移 。材料力学材料力学 第十三章第十三章 能量方法能量方法材料力学材料力学 第十三章第十三章 能量方法能量方法第二十七讲第二十七讲材料力学材料力学 第十三章第十三章 能量方法能量方法应变能表达式：应变能表达式：能量原理：能量原理：VW互等定理互等定理: 212121FF21122( )2NLFx dxVEA2( )2LMx dxEI2( )2PLTx dxGI材料力学材料力学 第十三章第十三章 能量方法能量方法137 单位载荷法单位载荷法 莫尔积分莫尔积分 欲求梁上欲求梁上C点在载荷点在载荷P1，P2

11、，作用下的位移，作用下的位移，可在可在C点假想有单位力点假想有单位力P0=1作用，作用，xEIxMUld2)( 2P0=1作用的应变能：作用的应变能：xEIxMUld 2)( 2 P1 ,P2, 作用的应变能：作用的应变能：lBACP1P2BAC1P01材料力学材料力学 第十三章第十三章 能量方法能量方法先作用单位力先作用单位力P0 ,后后作用作用P1， P2，,梁内梁内应变能应变能:xEIxMxMUUVld 2)()(1 2 xEIxMxMld )()( lBACP1P2BAC1P01P1P2xEIxMUld2)( 2xEIxMUld 2)( 2 BA1CP01莫尔定理莫尔定理材料力学材料力

12、学 第十三章第十三章 能量方法能量方法这些式子统称为莫尔定理这些式子统称为莫尔定理,式中积分称为莫尔积分式中积分称为莫尔积分.)(),(),(xFxTxMN是单位力系统的内力是单位力系统的内力.l梁梁l轴轴xGIxTxTlpd )()( l拉压杆拉压杆xEAxFxFlNNd )()( 桁架桁架niiiiNiNEAlFF1xEIxMxMld )()( xGIxTxTxEIxMxMxEAxFxFlpllNNd )()(d )()(d )()( 组合组合结构结构材料力学材料力学 第十三章第十三章 能量方法能量方法求两点的相对位移求两点的相对位移: 在两点的联线方向加一对方向相反的单位力在两点的联线方

13、向加一对方向相反的单位力xEIxMxMlBAd )()( lBAlBA11求两截面相对转角求两截面相对转角?在两截面上加方向相反的在两截面上加方向相反的一对单位力偶。一对单位力偶。材料力学材料力学 第十三章第十三章 能量方法能量方法单位载荷法：用单位载荷法：用莫尔定理莫尔定理求结构位移的方法。求结构位移的方法。)(T ),( ),(xxMxFNl 步骤步骤:先建立单位力系统先建立单位力系统列单位力系统的内力方程列单位力系统的内力方程)(T),( ),(xxMxFN列载荷系统的内力方程列载荷系统的内力方程用用莫尔定理莫尔定理求结构位移。求结构位移。材料力学材料力学 第十三章第十三章 能量方法能量

14、方法注意事项：注意事项：3.莫尔积分必须遍及整个结构莫尔积分必须遍及整个结构。1.所加单位力必须是原结构所加单位力必须是原结构, 与所求位移对应的广义力。与所求位移对应的广义力。2.单位力系统的内力单位力系统的内力与与载荷系统的内力载荷系统的内力坐标系必须一致。坐标系必须一致。材料力学材料力学 第十三章第十三章 能量方法能量方法Solution:2)(2qxPxxMEIPlEIqlxxqxPxEIxEIxMxMyllB38d)(2( 1d )()( 3402 xxM)(PABlqxBAx 例例7.求图示悬臂梁求图示悬臂梁B处的铅垂位移处的铅垂位移 。1材料力学材料力学 第十三章第十三章 能量方

15、法能量方法Solution: (1) AyB1111)( ,)(xxMPxxMaxMPaxM)( ,)(22ACPBalEI1EI21ACBx1x2x2x1202101112022210111d )(1d )(1d )()(d )()(xaPaEIxxPxEIxEIxMxMxEIxMxMylalaA22133EIlPaEIPa 例例8.求图示刚架求图示刚架A处的铅垂位移处的铅垂位移 和和B处截面转角处截面转角 。材料力学材料力学 第十三章第十三章 能量方法能量方法(2) Apply an unit couple at the point B:Segment AB:0)( ,)(111xMPxx

16、MSegment BC:1)( ,)(22xMPaxMACBACPBalEI1EI21ACBx1x2x2x12202d 1)(1EIPalxPaEIlB1x1x2材料力学材料力学 第十三章第十三章 能量方法能量方法BARP1BARPP)cos1()( ),cos1()(RMPRMEIPREIPRREIMMAB3 0 23 0 3d)cos1(2d)()(2BAORPPddsdds 例例9.求图示刚圈求图示刚圈A.B处铅垂方向的相对位移。处铅垂方向的相对位移。材料力学材料力学 第十三章第十三章 能量方法能量方法BACD12345111BACD12345BACD123452PlPl111FDFCy

17、FCx 例例10.求图示桁架求图示桁架B 处的水平位移和处的水平位移和AD两点的相对位移。两点的相对位移。EAPlEAPlEAlNNiiiiBx828.3)12(251EAPlEAlNNiiiiAB251材料力学材料力学 第十三章第十三章 能量方法能量方法编号iliNiNiiilNNiNiiilNNAB(1)AC(2)BD(3)CD(4)CB(5)00- 102l2121212100- Pl0Pl22P- 2PP0P2Pl2lllll 22Pl2Pl22Pl0Pl2Pl) 122(51iiiilNN列表求桁架载荷系统和两种列表求桁架载荷系统和两种单位力系统单位力系统各杆的轴力各杆的轴力;51i

18、iiilNN材料力学材料力学 第十三章第十三章 能量方法能量方法例例11. 11. 求求C点的挠度和转角。梁为等截面直梁。点的挠度和转角。梁为等截面直梁。2)(2qxaqxxM ;(0)2( )(2) ;(2 )2xxaM xxaxaxa解：解：BAaaCqBAaaC0P =1x20( )( )( )( )dd aaCaM x M xM x M xfxxEIEI4524qaEI材料力学材料力学 第十三章第十三章 能量方法能量方法求求C截面转角截面转角aaCxaxqxqaxEIxaxqxqaxEI022222011211d2)2(1d2)2(12)( :211qxqaxxMAC 1 ( )2xM xa 0 2)( :222qxqaxxMBC2( )2xM xaqBAaaCx2x1BAaaCM0=1材料力学材料力学 第十三章第十三章 能量方法能量方法例例12 12 拐杆如图，拐杆如图，A A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但不能处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但不能上下移动，已知：上下移动，已知：E E=210Gpa=210Gpa，G G=0.4E=0.4E，求求B B点的垂直位移。点的垂直位移。PxxMAB)( )ABMxx1T ()0.3CAxP1T( )0.3CAx解：解：510 20A300P=60NBx500Cx1ABC=1P0材料力学材料力学 第十三