第2章 (上)电磁场基本方程20140919

1、Shanghai Jiao Tong University电磁场理论电磁场理论第2章（上）：电磁场的基本方程耿军平耿军平 副教授副教授电电信信学院，电子系，现代天线研究中心学院，电子系，现代天线研究中心电院楼群电院楼群1 1522522Email:Email:Tel:34204663Tel:342046632011.09.062011.09.062022-4-222电磁场的基本方程电磁场的基本方程电磁场的源电磁场的源电荷和电流电荷和电流静态场的基本方程电磁感应定律与全电流定律麦克斯韦方程组与边界条件电磁场的源电磁场的源电荷和电流电荷和电流 电荷密度dldQlQll0limdVdQVQV0lim

2、dSdQSQSS0limllSVdlQdSQdVQS，或，或电流和电流和电流密度电流密度dtdQI 0limSIJS JSIdJSdQdVdSdl电流和电流密度电流和电流密度体电流密度体电流密度J是一个矢量是一个矢量，方向为导体内某点正电荷的运动方向方向为导体内某点正电荷的运动方向大小为垂直于它的单位面积上的电流大小为垂直于它的单位面积上的电流传导电流传导电流：电子定向运动，服从欧姆定律电子定向运动，服从欧姆定律运流电流运流电流：自由空间或气体中带电粒子的自由空间或气体中带电粒子的定向运动，不服从欧姆定律定向运动，不服从欧姆定律电荷守恒定律（电流连续性方程电荷守恒定律（电流连续性方程）条件：体

3、电荷密度 带电体内任一封闭曲面S 瞬间流出S的电流i为SidJSJ电荷守恒定律（电流连续性方程）（续电荷守恒定律（电流连续性方程）（续）VVdVdVt JSVdQddidVdtdt JStJ积分形式：微分形式：V静止,散度定理电荷守恒定律（电流连续性方程）电荷守恒定律（电流连续性方程） （续（续）SVdQddidVdtdt JSt J积分形式：微分形式：流过恒定电流：0Sd JS0J或2022-4-229电磁场的基本方程电磁场的基本方程电磁场的源电荷和电流静态场的基本方程静态场的基本方程电磁感应定律与全电流定律麦克斯韦方程组与边界条件静态场的基本方程静态场的基本方程 库仑定律与电场强度（点源）

4、（点源）1212320044RQQQQRRRFa31014niiiiQRERQFE304QRRE0QFER, Ri:从源点从源点指向场点指向场点满足线性规则和叠加原理静态场的基本方程静态场的基本方程 库仑定律与电场强度真空中有限区域V 内连续分布的体电荷，V 外外 p点点电场强度 E33001( )1( )()44|VVrdVdVRRrrrErr静态场的基本方程（续）静态场的基本方程（续） 静态场，E的通量不包含电荷的区域：0nSSEdE dSES的通量包含电荷q的区域：EnSSqdE dSES的通量静态场的基本方程（续）静态场的基本方程（续） 静态场，E的散度EVVQnSSdE dSdVdV

5、EESE内曲面内总电荷1的通量高斯定理与电通量高斯定理与电通量密度密度电通量密度，电位移矢量，电通量密度，电位移矢量，D： 只与发出电通量的电荷有关， 而与空间中所填充的媒质无关0DE高斯定理高斯定理 穿过真空或自由空间中任意封闭面的电通量等于此封闭面所包围的自由电荷总量 0SQdES或SVddVDSSdQDS若体电荷位于封闭面内VVdVdVD高斯定理高斯定理表明：表明：1）研究区域适于源区域）研究区域适于源区域2）源区域）源区域3）该空间任一点处电通量密度的散度等于该点处空间任一点处电通量密度的散度等于该点处的电荷密度的电荷密度4）积分方程不一定要完全满足以上条件）积分方程不一定要完全满足以

6、上条件1）和）和2）（充分而非必要）（充分而非必要）D静电场的无旋静电场的无旋性性0E000bbaalWQddE lE l闭合路径或0bbaaWQd El0dWQd El0QFE外力克服电场力做功，与路径无关外力克服电场力做功静电场是无旋场或保守场斯托克斯定理毕奥毕奥萨伐尔定律与磁通量萨伐尔定律与磁通量密度密度2102211212l(l)4RllI dI dFR a 真空中磁场力2112FF221122211022214lllRdI)RdI(dIBlallF安培总结的公式毕奥毕奥萨伐尔定律与磁通量萨伐尔定律与磁通量密度密度2102211212l(l)4RllI dI dFR a 真空中磁场力2

7、112FF221122211022214lllRdI)RdI(dIBlallF安培总结的公式各微小电流单元间的作用力并不一定等值反向；线圈间的总的作用力等值反向。毕奥毕奥萨伐尔定律与磁通量萨伐尔定律与磁通量密度密度1211014lRRdIalB1211014lRsinldI|B 磁通量密度 （磁感应强度）相当于回路相当于回路l1作用于作用于回路回路l2的单位电流元的单位电流元上的磁场力上的磁场力单位：单位：T1T1Wb/m2毕奥毕奥萨伐尔定律与磁通量萨伐尔定律与磁通量密度密度1211014lRRdIalB 磁通量密度 （磁感应强度）相当于回路相当于回路l1作用于作用于回路回路l2的单位电流元的

8、单位电流元上的磁场力上的磁场力SSdSR304RJBVdVR304RJB体电流J面电流JS载流导体在外磁场B中所受磁场力dVJSdIdJlllIdBlFBF dQVdVBJF运动速度(c),电荷密度dQdVdVJ磁通量与磁通连续性磁通量与磁通连续性原理原理SdSB磁力线闭合磁力线闭合0 B0SdSB封闭曲面S微分形式散度定理散度定理磁场是无散场或磁场是无散场或管形场管形场安培环路定律与磁场强度安培环路定律与磁场强度0BH Id)(llB0安培环路定律磁场强度Idl0lB或闭合曲线闭合曲线l只是一条几何意义上的闭合曲线，不一定是导体只是一条几何意义上的闭合曲线，不一定是导体）（简单媒质BH 安培

9、环路定律与安培环路定律与磁场强度磁场强度磁场存在漩涡磁场存在漩涡源源J(面电流面电流)安培环路定律积分形式IdllHSSSlddddSJSHstokesSJlH）（定理左边，用JH 安培环路定律微分形式安培环路定律与安培环路定律与磁场强度磁场强度表明：表明：1）研究区域适于源区域）研究区域适于源区域2）源区域）源区域3）该空间任一点处磁场强度的旋度等于该点处空间任一点处磁场强度的旋度等于该点处的电流密度的电流密度4）积分方程不一定要完全满足以上条件）积分方程不一定要完全满足以上条件1）和）和2）（充分而非必要）（充分而非必要）JH 安培环路定律与磁场强度安培环路定律与磁场强度2H()2(/)I

10、rRrII rR a无限长载流实心圆柱载流导体周围磁力线为一组同心圆IdllHH()2IrRra静态静态场场 相对于观察者静止的、且其电量静止的、且其电量分布不随时间变化的电荷分布不随时间变化的电荷所引起的电场，称为静电场 表征电场特性的场量是电场强度电场强度E E和电位移和电位移D D 静电场是保守场（E的旋度为0） 静磁场是管形场（B的散度为0） 高斯定律 安培环路定律 静电场和静磁场可以单独存在，两者可以无任何联系JH D0 B0E2022-4-2229 时变电场与时变磁场 相互联系，相互产生思考：思考： 1. 静态场：指哪些场？静态场：指哪些场？ 2. 静态场静态场 E，可为漩涡场吗？

11、，可为漩涡场吗？ 提示：螺线管提示：螺线管思考：思考：点电荷点电荷线电流线电流有耗导线有耗导线螺线管电流螺线管电流有耗导线有耗导线2022-4-2232电磁场的基本方程电磁场的基本方程电磁场的源电荷和电流静态场的基本方程电磁感应定律与全电流定律电磁感应定律与全电流定律麦克斯韦方程组与边界条件电磁感应定律 电磁感应定律E:导体内感应电场强度dt dSlddtddSBlEdS与与dl满足右手螺旋满足右手螺旋导线回路电流Elld 电磁感应定律电磁感应定律 电磁感应定律表明表明： 感应电场强度 E沿任意闭曲线的线积分等于该路径所交磁链通量的时间变化率的负值。 注意注意：形成封闭曲线的环路不一定是导电的

12、。电磁感应定律电磁感应定律导线回路在磁场中运动回路运动，回路运动，动生电动动生电动势势磁场随时间磁场随时间变化，感生变化，感生电动势电动势S BlSlBd() dt SBSSEd )(dtBd)(SSSStokes定理Stokes定理Elld 电磁感应定律电磁感应定律SBSSEd )(dtBd)(SSS)(tBBE电磁感应定律微分形式回路静止tBE全电流全电流定律定律t J0)(JH静磁场静磁场时变场时变场电流连续性方程电流连续性方程安培环路定安培环路定律修正律修正t)(JH由静磁场得出的安由静磁场得出的安培环路定律不能直培环路定律不能直接用于时变场接用于时变场,J不不可能总是无散的可能总是无

13、散的全电流全电流定律定律SDJlHdtdSl)(高斯定理安培环路定律修正安培环路定律修正t)(JH)(t(DJHdtJJDJH位 移 电位 移 电流密度流密度全电流定律微分形式全电流定律微分形式全电流定律积分形式全电流定律积分形式 D2022-4-2239电通量密度D与位移电流l合上开关K，对S1和S2曲面，分别应用安培环路定律电通量密度D与位移电流电通量密度D与位移电流电通量密度D与位移电流2022-4-2243电通量密度D与位移电流2022-4-2244电磁场的基本方程电磁场的基本方程电磁场的源电荷和电流静态场的基本方程电磁感应定律与全电流定律麦克斯韦方程组与边界条件麦克斯韦方程组与边界条

14、件麦克斯韦方程组与边界条件麦克斯韦方程组与边界条件 微分形式的麦克斯韦方程组t DJHtBE(电磁感应定律)(全电流定律)时变磁场激发时变电场传导电流和时变电场均激发时变磁场麦克斯韦方程组与边界条件麦克斯韦方程组与边界条件 D0 B(磁通连续性原理)(高斯原理)穿过封闭曲面的磁通量恒等于0穿过封闭曲面的电通量等于该封闭曲面包围的自由电荷量2022-4-2247说明： 微分、瞬时形式非限定性的麦氏方程组；微分、瞬时形式非限定性的麦氏方程组； 适用适用：静态场，时变场； 严格意义上，E(r,t), B(r,t) 注意注意：E、D包括感应场，也包括库仑电场；t DJHtBE D0 B麦克斯韦方程组麦

15、克斯韦方程组本构关系本构关系场量与场量之间的关系：线性、均匀、各向同性：媒质的参数与场强的大小无关 ：媒质的参数与位置无关 ：媒质的参数与场强的方向无关 ：媒质参数与频率无关本构关系本构关系场量与场量之间的关系：线性、均匀、各向同性：媒质的参数与场强的大小无关 ：媒质的参数与位置无关 ：媒质的参数与场强的方向无关 ：媒质参数与频率无关简单媒质的本构关系：E JH,B , ED自由空间：000 , , =0 =0 理想媒质理想媒质= 理想导体理想导体0 导电媒质导电媒质 足够大：良导体足够大：良导体本构关系本构关系2022-4-2251各向异性媒质各向异性媒质比如等离子体“黑幕”问题111213

16、2122233132332022-4-2252手征介质（手征介质（Chriral medium）自然界中手征介质很少见，但一般介质中掺入金属小螺旋可实现人工手征介质2D( , )( , )( , )B( , )( , )( , )cccccr tE r tjH r tr tjE r tH r t媒质2022-4-22532022-4-2254左手材料左手材料 和同时为负的介质 1986年苏联学者Veselago论述 1996年，Pedery用金属周期杆产生负现象 用开口环形谐振器周期阵结构产生负现象 Smith和Shelby证实了和同时为负的现象 Supper metalmaterial超材料

17、左手材料（左手材料（Lefthanded material）,也也称异向介质称异向介质2022-4-22552022-4-2256左手材料左手材料2022-4-22572022-4-2258左手材料左手材料2022-4-2259哈奇森效应 http:/ 物体持续飘浮起来，像木头、塑料、泡沫塑料、铜、锌，它们会在空中盘旋，来回穿梭，形成旋涡并且不断升起，甚至有些物体会以惊人的速度自动抛出，撞击到人身上。 由水泥和石头堆砌起来的屋子周围会突然起火；镜子自己碎裂，碎片能飞到100米之外！金属会卷曲、破裂，甚至会碎成面包屑状的粉末；不同的金属可以在室温下熔合在一起，有的金属可以变成果冻或泥的状态，当仪

18、器所产生的场被撤走后，它们会重新变硬；空中出现光束，紧接着无数光环显现，与此同时，容器中的水开始打旋 2022-4-2260哈奇森效应（续） 哈奇森本人为什么不受磁场影响？ 可能是因为人体是有耗介质，不是理想导体，或者导电率太低。2022-4-2261微分瞬时形式限定性的麦氏方程组：tEJHtHE E0 H微微分形式分形式的麦克斯韦方程组的麦克斯韦方程组2022-4-2262积分形式积分形式的麦克斯韦方程组的麦克斯韦方程组SldtdSDJlH)(SBlEdtdSl(电磁感应定律)(全电流定律)(磁通连续性原理)(高斯原理)0SdSBVSdVdSDStokes定理散度定理高斯原理中的电荷、磁荷2

19、022-4-2263麦克斯韦方程组及电流麦克斯韦方程组及电流连续性方程的连续性方程的关系关系1.电磁感应定律与磁通连续性原理电磁感应定律与磁通连续性原理两边取散度对换时间和空间的微商tBE0B0(E)Bt 两边对时间积分，取积分常数为0()0Bt2022-4-2264麦克斯韦方程组及电流麦克斯韦方程组及电流连续性方程的连续性方程的关系关系2.全电流定律与电流连续性方程，高斯原理全电流定律与电流连续性方程，高斯原理两边取散度对换时间和空间的微商tDHJ0()()t DHJ()tt JD电流连续性方程高斯原理高斯原理2022-4-2265麦克斯韦方程组及电流麦克斯韦方程组及电流连续性方程的连续性方

20、程的关系关系1c1DHl(J)SlSddt3.高斯原理高斯原理S1面的全电流定律S2面的全电流定律2c2DHl(J)SlSddt cDJSS0SSddt2022-4-2266cJSSddt DS0S-0SSddttD ddt或DSCSdd常数电流连续性方程对时间积分VSdVdSD实验表明常数C02022-4-2267电磁场边界条件电磁场边界条件交界面处媒质突变2022-4-2268 边界条件一般媒质界面方法：交界面处媒质突变麦克斯韦方程组的积分形式h无穷小无穷小2022-4-22691212ElElElBS0ttlSdE lE lBdlhtt 0)2121EEa(EEntt或h无穷小无穷小E的

21、切向边界条件：的切向边界条件：2022-4-2270类似的，对于HSnStt(JHHJHHa)2121或H的切向边界条件：1212ttlVSSSdH l H lJlh J ldJ lt H lHl HlDS0lhtdtSDSDh无穷小无穷小考虑导体趋附深度很小，若Js存在，必是有限值，可看做： Js=Jh2022-4-2271QSDDSSdnnnnS)(2121aDaDSD对于对于DSnSnn(DD)2121DDa或D的法向边界条件：h无穷小，无穷小，积 分 时 圆积 分 时 圆柱 侧 面 积柱 侧 面 积可忽略可忽略2022-4-22720)(2121SBBS)dnnnnSBaBaSB0)2

22、121BBa(BBnnn或B的法向边界条件：的法向边界条件：h无穷小无穷小类似的，对于类似的，对于B2022-4-2273SVVSdtdVtdVtdSDDSJ)(D类似的，对于类似的，对于J散度定理h无穷小无穷小,忽忽略圆柱侧面，略圆柱侧面，只考虑上下只考虑上下底面底面SttQdtSJJSSnnSD)(21 电流连续性方程2022-4-2274t(Sn)21JJa或J的法向边界条件：tJJSnn21注意：注意： S是自由电荷密度，不是束缚电荷是自由电荷密度，不是束缚电荷 2022-4-22750)2121EEa(EEntt或SnStt(JHHJHHa)2121或SnSnn(DD)2121DDa

23、或0)2121BBa(BBnnn或tJJSnn21t(Sn)21JJa或一般媒质界面边界条件小结说说 明：明：前两个条件的推导用闭合曲线，后三个条件用闭合曲面：麦氏积分方程，线积分、面积分；前者旋度，后者散度前者旋度，后者散度本构关系，E、H考虑介质的影响，B、D只考虑进去量和流出去量2022-4-2276 边界条件无源理想媒质与理想媒质界面0的无损耗介质0)2121EEa(EEntt或0)02121HHa(HHntt或0)02121DDa(DDnnn或0)2121BBa(BBnnn或021nnJJ注意： 理想介质0，介质中不可能有传导电流。2022-4-2277 边界条件理想媒质与理想导体界

24、面02222HBDE10的无损耗介质； 2的导体0011EantE或SnStJHJHa11或SnSnD11Da或1100aBnnB或注意：注意： 对于电导率较小电导率较小的媒质，其传导电流只是以体电流分布的形式 存在的，在分界面上没有面电流分布，则边界上磁场切向分量是连续的，H1tH2t 。12ttSHHJ12nnSDD12ttEE2022-4-2278 静态电磁场的边界条件电介质中静电场0)(2121EEanttEE或0SJ0121BannnBB或SnSnn(DD)2121DDa或0)(2121HHanttHH或磁介质中静磁场2022-4-2279 静态电磁场的边界条件00E电壁电壁，电力线和导体表面垂直，又终止于导体表面磁壁磁壁，理想情况下，导磁体，磁力线和导磁体表面垂直理想介质和导体界面的静电场aDnSnSD或00EantE或导体内部2022-4-2280例20已知：两块无限大平行导电板位于空气中，板上通有均匀电流，面电流密度分别为Js1,Js2 Am,求：场域内各点的磁感应强度B。2022-4-2281解 先讨论一块无限大载流导电板的情况，当面电流分布均匀时，其周围的磁感应