历年高三数学高考题中的翻折问题二

1、历年数学高考题中的翻折问题（二）2006江苏（19）（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分5分，第三小问满分5分）在正三角形ABC中，E、F、P分别是ABACBC边上的点,满足AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2（如图1）。WAAEF沿EF折起到MiEF的位置，使二面角AEFB成直二面角，连结AB、AiP（如图2）（I）求证：AE，平面BEP（口）求直线AE与平面ABP所成角的大小；（m）求二面角BAPF的大小（用反三角函数表示）19本小题主要考查线面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识，以及空间线面位置关系的证明、角和距离的计算等，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算

2、能力。解法一：不妨设正三角形ABC的边长为3在图1中，取BE中点D,连结DF.AE:EB=CFFA=1:2：AF=AD=2而/A=600,：ADF是正三角形，又AE=DE=1,.-.EF±AD在图2中，AiE±EF,BE±EF,：/AEB为二面角A-EFB的平面角。由题设条件知此二面角为直二面角，AELBE,又BEP|EF=E：AiE，平面BEF,即AE，平面BEP在图2中，AiE不垂直AB,：AiE是平面ABP的垂线，又AEL平面BEP,二.AiEBE.从而BP垂直于AiE在平面AiBP内的射影（三垂线定理的逆定理）设AiE在平面ABP内的射影为AiQ,且AiQ

3、交BP于点Q,则/EiAQ就是AE与平面ABP所成的角，且BP±AiQ.在EBP中，BE=EP=2而/EBP=60,.EBP是等边三角形.又AiE,平面BEP,：AiB=AP,：Q为BP的中点，且EQ=J3,又AE=i,在RtAiEQ中，tan/EAQ=空_=J3：/EAQ=6a:直线AE与平面ABP所成的角为60°AE.在图3中，过F作FgAiP与M连结QM,QF,VCP=CF=i,/C=6d,i.FCP是正二角形，：PF=i.有PQ=_BP=i：PF=PQD,2.AiE，平面BEP,EQ=EF=I3：AE=AQ,.AF昨AQP从而/APF=/APGW,由及MP为公共边知

4、FM国AQMP,QMP=FMP=9Q且MF=MQ,从而/FMQJ二面角BAPF的平面角.RtAiQP中，AiQ=AF=2,PQ=i,又AP=.5MQ±AiPMQ_AQQ二AP2.552.5MF=在FCQ中,FC=i,QC=2,/C=60,由余弦7E理得5QF=3在fmqKcosFMQ=MF2MQ2-QF22MF*MQ;二面角Bapf的大小为aarccos82007安徽文io.把边长为J2的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，折成直二面角后，在AB,C,D四点所在的球面上，B与D两点之间的球面距离为（）A.个27tC.冗B.D.232007广东理科i9.（本小题满分i4分）如图6所

5、示，等腰ABC的底边AB=6J6,高CD=3,点E是线段BD上异于点B,D的动点，点F在BC边上，且EF，AB,现沿EF将4BEF折起到4PEF的位置，使PE，AE,记BE=x,V（x）表示四棱锥P-ACFE的体积.E（D求V（x）的表达式;(2)当X为何值时，V(X)取得最大值?(3)当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值.(1)由折起的过程可知，PE，平面ABCS浅bc=9$6,S整f="，S存dc=J6x254:12V(x)=x(9x2)(0<*<3褥)312610(2)V'(x)=J(9_x2),所以xW(0,6)时，v'(x)

6、>0,V(x)单调递增；6<x<3展时v'(x)<0,34V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)取得最大值12乔；(3)过F作MF/AC交AD与M,则叫_=且1=王=_川8=2BE=12,PM=6J2,ABBCBD1B2MF=BF=PF=_6BC二6.549二.；42,36384-7222在PFM中，cos/PFM=.异面直线AC与PF所成角的余弦值为一；42772007湖南18.(2007高考湖南卷)如图2,E,F分别是矩形ABCD的边AB,CD的中点，G是EF上的一点，将4GAB,GCD分别沿AB,CD翻折成AG1AB,AG2CD,并连结G1G2,使得平面

7、G1AB，平面ABCD,G1G2/AD,且G1G2<AD.连结BG2,如图3.18.解：解法一：(I)因为平面G1ABL平面ABCD,平面G1ABp平面ABCD=AB,AD±AB,AD仁平面ABCD，所以AD，平面G1AB，又AD仁平面GADG2,所以平面G1AB，平面G1ADG2.(II)过点B作BH，AG1于点H,连结G2H由(I)的结论可知，BH±平面G1ADG2，所以NBG2H是BG2和平面G1ADG2所成的角.因为平面G1AB，平面ABCD,平面G1ABH平面ABCD=AB,G1E±AB,GiEu平面GiAB,所以GEL平面ABCD，故GE,EF.

8、因为G1G2<AD,AD=EF,所以可在EF上取一点O,使EO=G1G2，又因为G1G2/AD/EO,所以四边形6£062是矩形.由题设AB=12,BC=25,EG=8,则GF=17.所以G20=G1E=8,G2F=17,OF=172-82=15,G1G2=E0=10,因为AD，平面G1AB,G1G2IIAD,所以G1G2±平面GA,B从而G1"2G出B；=G2B1E261E82G1BG0=1G>/220=0一一T2TT_I_81248又AG1=yj6+8=10,由BHLAG1=GE_AB得BH=.一105BH故sinBG2H二BG24812510.2

9、25即直线BG2与平面G1ADG2所成的角是.12日arcsi-n-25解法二：(I)因为平面GAB,平面ABCD,平面G1ABC平面ABCD=AB,G1E±AB,GEu平面G1AB，所以GE，平面ABCD,从而G1E，AD.又AB，AD，所以AD±平面G1AB.因为ADu平面G1ADG2,所以平面G1AB±平面G1ADG2.(II)由(I)可知，GE，平面ABCD.故可以E为原点，分别以直线EB,EF,EG1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)，*zy由题设AB=12,BC=25,£6=8,则£8=6,EF=25,EG1=8,相关各点的坐标分别是A(-6,0,0),D(-6,25,0),G1(0,0,8),B(6,0,0).所以AD=(0,25,0),AG1=(6,0,8).设n=(x,y,z)是平面GADG2的一个法向量,，,口25y=0得7故可取n=(4,0,3).过点G2作G2O,平面ABCD于点O,nLAG1=0.6x8z=0因为G2C=G2D，所以OC=OD,于是点O在y轴上.因为G1G2/AD,所以G1GEF,GzO=GE=8.设6