组合及组合数公式 课件

1、栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理12.2组合组合栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理跟踪训练跟踪训练1某次文艺晚会上共演出某次文艺晚会上共演出8个节目个节目,其中其中2个唱歌、个唱歌、3个个舞蹈、舞蹈、3个曲艺节目个曲艺节目,求分别满足下列条件的节目编排方求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？法有多少种？(1)一个唱歌节目开头一个唱歌节目开头,另一个放在最后压台另一个放在最后压台;(2)2个唱歌节目互不相邻个唱歌节目互不相邻;(3)2个唱歌节目相邻且个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻个舞蹈节目不相邻栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理在排列问题中，某些元素在题意

2、中已排定了顺序，对在排列问题中，某些元素在题意中已排定了顺序，对这些元素在排列时，则不再考虑其他顺序这些元素在排列时，则不再考虑其他顺序2.“固定固定”顺序的排列（顺序的排列（定序问题定序问题） 7人站成一排人站成一排(1)甲、乙、丙排序一定时，有多少种排法？甲、乙、丙排序一定时，有多少种排法？(2)甲在乙的左边甲在乙的左边(不一定相邻不一定相邻)有多少种不同的排法有多少种不同的排法？【思路点拨】【思路点拨】(1)甲、乙、丙排序一定，即不再考甲、乙、丙排序一定，即不再考虑他们三人的顺序虑他们三人的顺序(2)“甲在乙的左边甲在乙的左边”即固定了甲即固定了甲、乙的前后顺序、乙的前后顺序例例3问题一

3、：问题一：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名去参加某名去参加某天的一项活动，其中天的一项活动，其中1 1名同学参加上午的活动，名同学参加上午的活动，1 1名名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题二：问题二：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名去参加名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？某天一项活动，有多少种不同的选法？236A 甲、乙；甲、丙；乙、丙甲、乙；甲、丙；乙、丙 3 3从已知的从已知的3个不同个不同元素中每元素中每次取出次取出2个元素个元素 , ,并成一并成一组组问题问题2从已知

4、的从已知的3 个不同个不同元素中每元素中每次取出次取出2个元素个元素 , ,按照一按照一定的顺序定的顺序排成一列排成一列. .问题问题1排列排列组合组合有有顺顺序序无无顺顺序序第一课时组合及组合数公式第一课时组合及组合数公式第一章计数原理第一章计数原理栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理学习导航学习导航栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理新知初探思维启动新知初探思维启动1组合组合(1)一般地一般地,从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素个元素_,叫做从叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个组合个元素的一个组合.(2)如果两个组合中的元素如果两个组

5、合中的元素_,那么不管元素的顺序那么不管元素的顺序如何如何,都是相同组合都是相同组合,只有当两个组合中的元素只有当两个组合中的元素_时时,才是不同的组合才是不同的组合合成一组合成一组完全相同完全相同不完全相同不完全相同栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理想一想想一想组合与取出元素的顺序有关吗？组合与取出元素的顺序有关吗？提示提示:无关无关做一做做一做1.下列实际问题属于组合问题是下列实际问题属于组合问题是_三人互相握手的次数三人互相握手的次数;三人抬水三人抬水,每两人抬一次的不每两人抬一次的不同抬法同抬法;三点不共线三点不共线,可确定直线的条数可确定直线的条数答案答案:栏目栏目导引导引

6、第一章计数原理第一章计数原理所有不同组合所有不同组合1栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理答案答案:21190栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理典题例证技法归纳典题例证技法归纳例例1题型一组合的概念题型一组合的概念 判断下列问题是组合问题还是排列问题判断下列问题是组合问题还是排列问题:(1)设集合设集合Aa,b,c,d,e,则集合则集合A的子集中含有的子集中含有3个元素的有个元素的有多少个？多少个？(2)某铁路线上有某铁路线上有5个车站个车站,则这条线上共需准备多少种车则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？票？多少种票价？(3)3人去干人去干5种不同的工作种不同的工作,每

7、人干一种每人干一种,有多少种分工方法有多少种分工方法?(4)把把3本相同的书分给本相同的书分给5个学生个学生,每人最多得每人最多得1本本,有几种分配有几种分配方法？方法？栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理【解解】(1)因为本问题与元素顺序无关因为本问题与元素顺序无关,故是组合问故是组合问题题(2)因为甲站到乙站因为甲站到乙站,与乙站到甲站车票是不同的与乙站到甲站车票是不同的,故是排故是排列问题列问题,但票价与顺序无关但票价与顺序无关,甲站到乙站甲站到乙站,与乙站到甲站是与乙站到甲站是同一种票价同一种票价,故是组合问题故是组合问题(3)因为一种分工方法是从因为一种分工方法是从5种不同的

8、工作中取出种不同的工作中取出3种种,按按一定次序分给一定次序分给3个人去干个人去干,故是排列问题故是排列问题(4)因为因为3本书是相同的本书是相同的,无论把无论把3本书分给哪三人本书分给哪三人,都不需都不需考虑他们的顺序考虑他们的顺序,故是组合问题故是组合问题栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理【名师点评名师点评】区分排列还是组合问题的关键是看取区分排列还是组合问题的关键是看取出元素后是按顺序排列还是无序地组合在一起出元素后是按顺序排列还是无序地组合在一起,区分有区分有无顺序的方法是把问题的一个选择结果解出来无顺序的方法是把问题的一个选择结果解出来,然后交然后交换这个结果的任意两个元素

9、的位置换这个结果的任意两个元素的位置,看是否会产生新的看是否会产生新的变化变化,若有新变化若有新变化,即说明有顺序即说明有顺序,是排列问题是排列问题;若无新变若无新变化化,即说明无顺序即说明无顺序,是组合问题是组合问题栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理跟踪训练跟踪训练1判断下列问题是组合问题还是排列问题判断下列问题是组合问题还是排列问题:(1)把把5本不同的书分给本不同的书分给5个学生个学生,每人一本每人一本;(2)从从7本不同的书中取出本不同的书中取出5本给某个同学本给某个同学;(3)10个人相互写一封信个人相互写一封信,共写了几封信共写了几封信;(4)10个人互相通一次电话个人互

10、相通一次电话,共通了几次电话共通了几次电话解解:(1)由于书不同由于书不同,每人每次拿到的也不同每人每次拿到的也不同,有顺序之分有顺序之分,故它是排列问题故它是排列问题(2)从从7本不同的书中本不同的书中,取出取出5本给某个同学本给某个同学,在每种取法中在每种取法中取出的取出的5本并不考虑书的顺序本并不考虑书的顺序,故它是组合问题故它是组合问题栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理(3)因为两人互写一封信与写信人与收信人的顺序有关因为两人互写一封信与写信人与收信人的顺序有关,故它是排列问题故它是排列问题(4)因为互通电话一次没有顺序之分因为互通电话一次没有顺序之分,故它是组合问题故它是组

11、合问题栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理2 2，判断下列问题是组合问题还是排列问题判断下列问题是组合问题还是排列问题? ? ( (1 1)10)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组, ,共有共有多少种分法多少种分法? ?组合问题组合问题( (2 2)10)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候, ,共需握手共需握手多少次多少次? ?组合问题组合问题( (3 3) )从从4 4个风景点中选出个风景点中选出2 2个游览个游览, ,有多少种不同的方法有多少种不同的方法? ?组合问题组合问题( (4

12、 4) )从从4 4个风景点中选出个风景点中选出2 2个个, ,并确定这并确定这2 2个风景点的游览顺序个风景点的游览顺序, ,有多少种不同的方法有多少种不同的方法? ?排列问题排列问题组合是选择的结果，排列组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果是选择后再排序的结果.栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理例例2题型二有关组合数的计算与证明题型二有关组合数的计算与证明栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理跟踪训练跟踪训练栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理例例3 在一次数学竞赛中在一次

13、数学竞赛中,某学校有某学校有12人通过了初试人通过了初试,学学校要从中选出校要从中选出5人参加市级培训在下列条件下人参加市级培训在下列条件下,有多少有多少种不同的选法？种不同的选法？(1)任意选任意选5人人;(2)甲、乙、丙三人必须参加甲、乙、丙三人必须参加;(3)甲、乙、丙三人不能参加甲、乙、丙三人不能参加;(4)甲、乙、丙三人只能有甲、乙、丙三人只能有1人参加人参加题型三简单的组合题型三简单的组合栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理【名师点评名师点评】解答简单的组合问题的思考方法解答简单的组合问题的思考方法:(1)弄清要做的这件事是什么事弄清要做的这件事是什么事;(2)选出的元素是

14、否与顺序有关选出的元素是否与顺序有关,也就是看看是不是组合也就是看看是不是组合问题问题;(3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果结合两计数原理利用组合数公式求出结果栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理跟踪训练跟踪训练3一个口袋内装有大小相同的一个口袋内装有大小相同的7个白球和个白球和1个黑球个黑球(1)从口袋内取出从口袋内取出3个球个球,共有多少种取法？共有多少种取法？(2)从口袋内取出从口袋内取出3个球个球,使其中含有使其中含有1个黑球个黑球,有多少种取有多少种取法？法？(3)从口袋内取出从口袋内取出3个球个球,使其中不含黑球使其中不含黑球,有多少种取有多少种取法？法？栏目栏目导引

15、导引第一章计数原理第一章计数原理栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理四、四、元素相同问题元素相同问题,隔板隔板法法从从6 6个学校中选出个学校中选出3030名学生参加数学竞赛名学生参加数学竞赛, ,每校至少有每校至少有1 1人人, ,这样有几种选法这样有几种选法? ?分析分析: :问题相当于把个问题相当于把个3030相同球放入相同球放入6 6个不同盒子个不同盒子( (盒子不能空的盒子不能空的) )有几种放法有几种放法? ?这类问可用这类问可用“隔板法隔板法”处理处理. .解解: :采用采用“隔板法隔板法” ” 得得: :5294095C例例4栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理

16、五五、混合问题，先、混合问题，先“组组”后后“排排”对某种产品的对某种产品的6件不同的正品和件不同的正品和4件不同的件不同的次品次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第所有次品恰好在第5次测试时全部发现次测试时全部发现,则这样的则这样的测试方法有种可能？测试方法有种可能？解：由题意知前解：由题意知前5次测试恰有次测试恰有4次测到次品，且次测到次品，且第第5次测试是次品。故有：次测试是次品。故有：种可能。种可能。576441634ACC例例5栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分本不同的书

17、，按下列条件，各有多少种不同的分法；法；（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本；）分给甲、乙、丙三人，每人两本；（2）分成三份，每份两本；）分成三份，每份两本；（3）分成三份，一份）分成三份，一份1本，一份本，一份2本，一份本，一份3本；本；（4）分给甲、乙、丙）分给甲、乙、丙3人，一人人，一人1本，一人本，一人2本，一人本，一人3本；本；（5）分给甲、乙、丙）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本；人，每人至少一本；（6）分给）分给5个人，每人至少一本；个人，每人至少一本；（7）6本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。例例6栏目栏目导引导引第一章计数原理第

18、一章计数原理1组合与排列的相同点和不同点组合与排列的相同点和不同点相同点相同点:都要从都要从“n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素个元素”;不同点不同点:组合与顺序无关组合与顺序无关,而排列与顺序有关而排列与顺序有关2区分排列问题和组合问题的方法区分排列问题和组合问题的方法区分某一问题是排列还是组合问题区分某一问题是排列还是组合问题,关键看选出的元素关键看选出的元素与顺序是否有关与顺序是否有关,若交换某两个元素的位置对结果产生若交换某两个元素的位置对结果产生影响影响,则是排列问题则是排列问题,而交换任意两个元素的位置对结果而交换任意两个元素的位置对结果没有影响没有影响,则是组合问题则是组合问题栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理精彩推荐典例展示精彩推荐典例展示忽视组合数中字母的取值范围致误忽视组合数中字母的取值范围致误【常见错误常见错误】运用组合数公式转化为关于运用组合数公式转化为关于x的一元二的一元二次方程后次方程后,易忽视易忽视x的取值范围的取值范围,导致错误导致错误例例3易错警示易错警示栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理跟踪训练跟踪训练栏目栏目导引导引第一章计数原理第一章计数原理1. 1.