空间点直线平面之间的位置关系

1、空间点直线平面之间的位置关空间点直线平面之间的位置关系系第1页，共50页。主要内容第2页，共50页。2.1.1平 面第3页，共50页。构成图形的基本元素构成图形的基本元素AABBCCDDA AB BC CD D点、线、面点无大小线无粗细面无厚薄第4页，共50页。点点直线直线平面平面可无限延伸的平面是可无限延展的第5页，共50页。平面的符号表示平面的符号表示1. 1. 希腊字母：希腊字母： 平面平面 ， 平面平面 ，平面，平面 平面的表示平面的表示第6页，共50页。平面的表示平面的表示两个相交平面的画法和表示两个相交平面的画法和表示平面和平面相交于一条直线a被遮住的部分画虚线aa平面平面=直线a

2、第7页，共50页。平面的表示,Pl A直线和平面都可以看成点的集合“点P在直线l上”,“点A在平面内” 用集合符号表示用集合符号表示 点与直线、点与平面、直线与点与直线、点与平面、直线与平面的关系平面的关系“点P在直线l 外”,“点A在平面外”直线直线 l 在平面在平面内，或者说平面内，或者说平面经过直线经过直线 l直线直线 l 在平面在平面外外. .,llAlP,第8页，共50页。平面的基本性质AB 公理公理1 1 如果一条直线上的两点在一个平面内如果一条直线上的两点在一个平面内, ,那么这那么这条直线在此平面内条直线在此平面内. .思考思考1 1：如何让一条直线在一个平面内？：如何让一条直

3、线在一个平面内？,Al BlABl 且作用作用：为判断直线与平面的位置关系提供依据：为判断直线与平面的位置关系提供依据集合符号表示集合符号表示平面经过这条直线第9页，共50页。平面的基本性质 公理公理2 过不在一条直线上的三点过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面有且只有一个平面. 思考思考2：经过两点可以确定一条直线，那么经：经过两点可以确定一条直线，那么经过几个点可以确定一个平面呢？过几个点可以确定一个平面呢？作用作用：判断几个点共面或直线在同一个平面内：判断几个点共面或直线在同一个平面内集合符号表示集合符号表示A AB BC C“不共线的三点确定一个平面不共线的三点确定一个平面” 已知

4、已知A、B、C三点不共线，则存在惟一平面三点不共线，则存在惟一平面 ，使得，使得A、B、C第10页，共50页。平面的基本性质平面的基本性质 思考思考3 3：如果两个平面有一个公共点，那：如果两个平面有一个公共点，那么还会有其它公共点吗？如果有这些公共么还会有其它公共点吗？如果有这些公共点有什么特征？点有什么特征？ 公理公理3 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线们有且只有一条过该点的公共直线. . P Pl,PlPl且P且 作用：判断两个平面位置关作用：判断两个平面位置关系的基本依据系的基本依据第11页，共50页。例

5、题 例例1 1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系之间的位置关系. .A B a a l (1)a a b b P P l (2)解：1） A，B，=l，a=A，a=B2) a,b,=l,al=P, bl=P, ab=P第12页，共50页。2.1.2空间中直线与直线之空间中直线与直线之间的位置关系间的位置关系第13页，共50页。两条直线的位置关系两条直线的位置关系思考思考1 1：同一平面内两条直线有几种位置关系？空间中：同一平面内两条直线有几种位置关系？空间中的两条直线呢？的两条直线呢？abC第14页，共50页。 1 1）教室内）教室

6、内日光灯管所在直线与黑板左右两侧所日光灯管所在直线与黑板左右两侧所在直线的位置关系如何？在直线的位置关系如何？2 2）天安门广场上，旗杆所在直线与长安街所在）天安门广场上，旗杆所在直线与长安街所在直线的位置关系如何？直线的位置关系如何？第15页，共50页。两条直线的位置关系 不同在任何一个平面内的两条直线叫做不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线异面直线.baab异面直线的图示第16页，共50页。两条直线的位置关系两条直线的位置关系A. A. 空间中既不平行又不相交的两条直线；空间中既不平行又不相交的两条直线；B. B. 平面内的一条直线和这平面外的一条直线；平面内的一条直线和这平面外的一

7、条直线；C. C. 分别在不同平面内的两条直线；分别在不同平面内的两条直线；D. D. 不在同一个平面内的两条直线；不在同一个平面内的两条直线；E. E. 不同在任何一个平面内的两条直线不同在任何一个平面内的两条直线. . 关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法最关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法最合适？合适？问题第17页，共50页。两条直线的位置关系两条直线的位置关系空间中的直线与直线之间有三种位置关系：空间中的直线与直线之间有三种位置关系：相交直线相交直线: :平行直线平行直线: :共面直线共面直线异面直线：异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点不同在任何一个平面内，没有公共点 同

8、一平面内，有且只有一同一平面内，有且只有一个公共点；个公共点； 同一平面内，没有公共点；同一平面内，没有公共点； 第18页，共50页。 如图是一个正方体的表面展开图如图是一个正方体的表面展开图, ,如果将它还原为正方如果将它还原为正方体，那么体，那么ABAB，CDCD，EFEF，GHGH这四条线段所在直线是异面直线这四条线段所在直线是异面直线的有多少对的有多少对? ?探究探究FAHGEDCB直线直线EF EF 和直线和直线HGHG直线直线AB AB 和直线和直线CDCD直线直线AB AB 和直线和直线HGHG答：答：3 3对对第19页，共50页。平行直线平行直线 如图如图, , 在长方体在长方

9、体ABCDABCDABCDABCD中中, , BBAABBAA，DDAADDAA，那么，那么BBBB与与DDDD平行吗平行吗 ? ?CBCADBAD观察观察答：平行答：平行第20页，共50页。平行直线 公理公理4 4 平行于同一直线的两条直线互相平行平行于同一直线的两条直线互相平行. .空间中的平行线具有传递性空间中的平行线具有传递性如果a/b，b/c，那么a/cAFEDCBABCDEF三条平行线共面三条平行线共面三条平行线不共面三条平行线不共面第21页，共50页。平行直线平行直线 已知三条直线两两平行，任取两条直线能确定一个平面，问这三条直线能确定几个平面？AFEDCBABCDEF三条平行线

10、共面三条平行线共面三条平行线不共面三条平行线不共面问题问题第22页，共50页。平行直线 例例2 2 如图，空间四边形如图，空间四边形ABCDABCD中，中，E E，F F，G G，H H分别是分别是ABAB，BCBC，CDCD，DADA的中点的中点. . 求证：四边形求证：四边形EFGHEFGH是平行四边形是平行四边形. .FGDAEBCH所以 BDEH /，且，且BDEH21同理 BDFG/，且，且BDFG21因为 FGEH /，且，且FGEH 所以所以 四边形四边形EFGH EFGH 是平行四边形是平行四边形证明：连接证明：连接BDBD，因为 EHEH是是 的中位线，的中位线，ABD第23

11、页，共50页。 在上例中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH 是什么图形？探究探究答：四边形EFGH是菱形FGDAEBCH是菱形所以平行四边形所以且，因为EFGHEHEFBDAC BD21EH AC21EF第24页，共50页。等角定理 在平面上，我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行， 那么这两个角相等或互补”空间中，结论是否仍然成立？思考1第25页，共50页。 如图如图, ,四棱柱四棱柱ABCD-ABCDABCD-ABCD的底面是平行四边形，的底面是平行四边形，ADCADC与与ADC, ADCADC, ADC与与BADBAD的两边分别对的两边分别对应平行，这两组角的

12、大小关系如何应平行，这两组角的大小关系如何 ?思考思考2:2:BADCABDCBADCABDCADC=ADCADC=ADCADC+BAD=180ADC+BAD=1800 0第26页，共50页。等角定理 定理定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补那么这两个角相等或互补. .ABCCABABCCABBA ABCAAC/,/第27页，共50页。异面直线所成的角a ab b思考思考 在同一平面内两条相交直线形成四个角，常取较小的一组角来度量这两条直线的位置关系，这个角叫做两条直线的夹角.在空间中怎样度量两条异面直线的位置关系呢？a ab b

13、平面内两条相交直线空间中两条异面直线第28页，共50页。abaO O 已知两条异面直线已知两条异面直线a a，b b，经过空间任一点，经过空间任一点O O作直线作直线 ，把，把 与与 所成的锐角（或直角）叫做所成的锐角（或直角）叫做异面直线异面直线a a与与b b所成所成的角的角bb aa/,/ab第29页，共50页。异面直线所成的角 我们规定两条平行直线的夹角为我们规定两条平行直线的夹角为0 0，那么，那么两条异面直线所成的角的取值范围是什么？两条异面直线所成的角的取值范围是什么？2, 0 如果两条异面直线所成角为如果两条异面直线所成角为90900 0，那么这两条直，那么这两条直线垂直线垂直

14、. .探究ab记直线记直线a a垂直于垂直于b b为：为：a a b b第30页，共50页。异面直线所成的角异面直线所成的角探究 （1）在长方体）在长方体 中，有没有两条棱所在中，有没有两条棱所在的直线是相互垂直的异面直线？的直线是相互垂直的异面直线？DCBAABCD （2）如果两条平行直线中的一）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直一条直线是否也与这条直线垂直？（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？如：如：,BBAD与BBDA与等等垂直垂直AABBCCDD,BBBCBBAB不一定，

15、如上图的长方体中不一定，如上图的长方体中直线直线AB与与BC相交，相交，第31页，共50页。异面直线所成的角异面直线所成的角 例例3 3 已知正方体已知正方体 DCBAABCDABA BCDCD（1 1）哪些棱所在直线与直线）哪些棱所在直线与直线 是异面直线？是异面直线？AB （2 2）直线）直线 和和 的夹角是多少？的夹角是多少？AB CC （3 3）哪些棱所在的直线与直线）哪些棱所在的直线与直线 垂直？垂直？AA 解解: :（1 1）由异面直线的定义可知，）由异面直线的定义可知，棱棱 所在所在的直线分别与直线的直线分别与直线 是异面直线是异面直线CB CDD DC C DCAD,AB （3

16、 3）直线）直线AD DC CB BA DA CD BCAB,分别与直线分别与直线 垂直垂直AA （2 2）由）由 可知，可知，CCBB/ABB为为异面直线异面直线 与与 的夹角，的夹角， ，所以所以 与与 的夹角为的夹角为 AB CC 45AB CC 45ABB第32页，共50页。 在如图所示的长方体中，在如图所示的长方体中，AB= AB= ，且，且AAAA1 1=1=1，求直线，求直线BABA1 1和和CDCD所成角的度数所成角的度数. .3ABC1D1C1AD30O1B练习练习1 1第33页，共50页。本节小结（1）空间直线的三种位置关系（2）平行线的传递性（3）等角定理（4）异面直线所

17、成的角基本知识基本方法 把空间中问题通过平移转化为平面问题.第34页，共50页。2.1.3空间中直线与平面之间的空间中直线与平面之间的位置关系位置关系第35页，共50页。直线与平面思考？思考？ 1）一支铅笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有几种关系？第36页，共50页。直线与平面直线和平面的位置关系有且只有三种(1)直线在平面内 有无数个公共点a记为：a第37页，共50页。直线与平面(2)直线与平面相交直线与平面相交有且只有一个公共点有且只有一个公共点a记为：a=AA第38页，共50页。直线与平面（3）直线与平面平行没有公共点a记为：a/第39页，共50页。直线与平面直线与平面相交或平行

18、的情况统称为直线在平面外记为：aaa a/ aa=AA或或第40页，共50页。主要内容主要内容 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系 直线在平面内直线在平面内 直线与平面相交直线与平面相交 直线与平面平行直线与平面平行直线在平面外直线在平面外第41页，共50页。直线与平面 例1. 下列命题中正确的个数是 ( )1）若直线 l 上有无数个点不在平面内，则 l/2) 若直线 l 与平面平行，则 l 与平面内的任意一条直线都平行3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行4）若直线 l与平面平行，则 l与平面内的任意一条直线都没有公共点.(A） 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3B第42页，共50页。主要内容主要内容 直线与平面的位置关