第二章晶体衍射和倒格子

1、 第二章第二章 晶体衍射和倒格子晶体衍射和倒格子2.1 晶体衍射晶体衍射2.2 倒格子倒格子2.3 布里渊区布里渊区2.4 布拉格反射布拉格反射2.5 原子散射因子原子散射因子2.6 几何结构因子几何结构因子如何确定晶体结构如何确定晶体结构2.1 2.1 晶体衍射晶体衍射晶体的特点是其内部原子的周期性排列，晶体的特点是其内部原子的周期性排列，形成不同方向等间隔的晶面族形成不同方向等间隔的晶面族由量子力学可知，微观粒子具有波动性，然而，并非任何粒由量子力学可知，微观粒子具有波动性，然而，并非任何粒子束入射到晶体上都会产生衍射现象，例如，当波长为子束入射到晶体上都会产生衍射现象，例如，当波长为50

2、0nm（5000埃）的光子入射到晶体上只会产生通常的光的折射现埃）的光子入射到晶体上只会产生通常的光的折射现象，而不会产生光的干涉现象（即衍射）象，而不会产生光的干涉现象（即衍射）每组晶面族可以作为波的衍射光栅，因每组晶面族可以作为波的衍射光栅，因此，选择适当波长的波入射到晶体上就此，选择适当波长的波入射到晶体上就有可能观察到衍射现象有可能观察到衍射现象通过对不同方向衍射现象的分析，就可通过对不同方向衍射现象的分析，就可以了解晶体内部原子的排列情况，为晶以了解晶体内部原子的排列情况，为晶体结构的确定奠定了基础体结构的确定奠定了基础2.1.1 适于晶体衍射的几种典型粒子束适于晶体衍射的几种典型粒

3、子束哪些粒子束入射到晶体上会产生衍射现象呢？哪些粒子束入射到晶体上会产生衍射现象呢？基本判据：辐射的波长同晶格常数相当或小于晶格常数基本判据：辐射的波长同晶格常数相当或小于晶格常数晶体中的原子间距在晶体中的原子间距在0.1nm左右左右图中给出了图中给出了X-射线光子、电子射线光子、电子和中子的波长与能量的关系，和中子的波长与能量的关系，可以看到，这三种粒子束的波可以看到，这三种粒子束的波长都满足同晶格常数相当或小长都满足同晶格常数相当或小于晶格常数的判据于晶格常数的判据X-射线射线1895年伦琴发现年伦琴发现X-射线，射线， 1912年劳厄意识到其波长在年劳厄意识到其波长在0.1nm量级，与晶

4、体中的原子间距相当，因此，晶体必可成为量级，与晶体中的原子间距相当，因此，晶体必可成为X射射线的衍射光栅，随后布拉格用线的衍射光栅，随后布拉格用X射线证实射线证实NaCl等晶体具有等晶体具有面心立方结构。面心立方结构。直到今天，直到今天，X射线衍射（射线衍射（XRD）仍为确定晶体结构的重要）仍为确定晶体结构的重要工具，但由于工具，但由于X射线穿透能力太强，在某些方面，例如在研射线穿透能力太强，在某些方面，例如在研究晶体表面结构中，难以发挥作用。究晶体表面结构中，难以发挥作用。X-射线是由被高电压射线是由被高电压V加速了的电子，打击在加速了的电子，打击在“靶级靶级”物质物质上而产生的一种电磁波，

5、这样产生的上而产生的一种电磁波，这样产生的X-射线，最大的光子射线，最大的光子能量能量h 最大最大等于电子的能量等于电子的能量eV，因此，因此，X-射线的最短波长为射线的最短波长为minmin1200(:,:)chV VnmeVV4min10, 0.1VVnm实验上多采用实验上多采用40千伏，所产生的最短波长为千伏，所产生的最短波长为0.03nm电子电子电子波动性的发现给人类确定晶体结构增添了另外一种手段电子波动性的发现给人类确定晶体结构增添了另外一种手段可见可见150V即可产生波长为即可产生波长为0.1nm的电子波。由于电子的能量的电子波。由于电子的能量可方便地通过加速电压调整，因此，电子的

6、波长可随意调可方便地通过加速电压调整，因此，电子的波长可随意调节，增加了探测的自由度，在许多用节，增加了探测的自由度，在许多用X射线探测无能为力的射线探测无能为力的方面恰恰是电子衍射的用武之地，最典型的例子是，准晶方面恰恰是电子衍射的用武之地，最典型的例子是，准晶的发现就是借助电子衍射而获知的，同时，电子衍射，特的发现就是借助电子衍射而获知的，同时，电子衍射，特别是低能电子衍射，是研究晶体表面结构的首选。别是低能电子衍射，是研究晶体表面结构的首选。电子衍射是以电子束直接打在晶体上而形成的，电子束的德电子衍射是以电子束直接打在晶体上而形成的，电子束的德布罗意波的波长布罗意波的波长 =h/p，利用

7、，利用p2/2m=eV，V是电子的加速电是电子的加速电压，因此有压，因此有1500.1(:,:)2hV VnmVmeV中子中子中子质量约为电子质量的中子质量约为电子质量的2000倍，如果能量和电子束一样，倍，如果能量和电子束一样，则中子波长约为电子波长的则中子波长约为电子波长的1/2000，因此，对中子束，只需，因此，对中子束，只需0.1eV能量的中子就可产生能量的中子就可产生0.1nm的波。的波。图是根据中子衍射推断出图是根据中子衍射推断出MnO晶体的晶体结构及其晶体的晶体结构及其Mn2+离子离子的磁矩的有序排列的磁矩的有序排列MnO具有具有NaCl结构，其中结构，其中Mn2+可看成由可看成

8、由(111)密排面叠成密排面叠成的面心立方结构的面心立方结构同一同一(111）面内各离子的磁矩）面内各离子的磁矩是平行的，而相邻（是平行的，而相邻（111）面）面上的离子的磁矩是反平行的上的离子的磁矩是反平行的 。中子没有电荷但有磁矩，与晶体中电子自旋的相互作用，使得中子没有电荷但有磁矩，与晶体中电子自旋的相互作用，使得中子衍射成为探测晶体磁有序结构的独特的手段中子衍射成为探测晶体磁有序结构的独特的手段2.1.2 衍射方程衍射方程假设射线源与晶体距离以及观测点与晶体的距离都比晶体的线假设射线源与晶体距离以及观测点与晶体的距离都比晶体的线度大得多，因此，将入射波和衍射波均可看成平面波，其传播度大

9、得多，因此，将入射波和衍射波均可看成平面波，其传播方向分别用单位矢量方向分别用单位矢量S0和和S表示，取格点表示，取格点O为原点，晶格中任一为原点，晶格中任一格点格点A的格矢则为的格矢则为AO0SSlRCD从图中看出，光程差为从图中看出，光程差为CO+OD0llCORSODRS 112233lRl al al a 当光程差为波长整数倍时则衍射加强，即当光程差为波长整数倍时则衍射加强，即0()lRSS0()lRSSn劳厄衍射方程劳厄衍射方程考虑到考虑到 和和 ，则劳厄衍射方程也可表示为则劳厄衍射方程也可表示为002kS2kS0()2lRkkn2.1.3 衍射波的波幅与强度衍射波的波幅与强度AO0

10、kklR由上面分析可知，在由上面分析可知，在k方向上，两个原子产生的散射波的相方向上，两个原子产生的散射波的相位差为位差为02()lRkk光程差因此，因此，k方向上散射波的幅度应当为来自两个原子散射波的方向上散射波的幅度应当为来自两个原子散射波的幅度之和，即幅度之和，即0()0( )li kkRAA ke其中其中 i为第为第i个原子散射波幅度个原子散射波幅度若计及所有原子对散射波的贡若计及所有原子对散射波的贡献，则献，则k方向散射波的幅度为方向散射波的幅度为02() (), ( )( )jji k kRRjjj jjI kA ke 0()1( )jNi k kRjjA ke由此可得由此可得k方

11、向的衍射强度为方向的衍射强度为2.2 倒格子倒格子由于晶格周期性，一些物理量具有周由于晶格周期性，一些物理量具有周期性，若期性，若代表晶体的某一物理性质代表晶体的某一物理性质（如电场强度、电子云密度、势能如电场强度、电子云密度、势能等），等），由于晶格的周期性，则有由于晶格的周期性，则有112233( )()rrl al al a 引入倒格子，可以将三维周期函数引入倒格子，可以将三维周期函数展开为傅里叶级数，例如展开为傅里叶级数，例如或者说，物理性质是以或者说，物理性质是以为周期的三维周期函数为周期的三维周期函数123aaa 、 、表明：一个重复单表明：一个重复单元中任一元中任一r处的物理处的

12、物理性质同另一个重复性质同另一个重复单元相应处的物理单元相应处的物理性质相同性质相同例如图中例如图中A和和A处的物处的物理性质相同理性质相同( )()miKrmmV rV Ke假设晶格的原胞基矢为假设晶格的原胞基矢为 、 、 ，原胞体积原胞体积1a 2a 3a 123()aaa 由这组基矢构成的格子称为对应于以由这组基矢构成的格子称为对应于以 、 、为基矢的正格子的倒易格子为基矢的正格子的倒易格子(简称倒格子简称倒格子)1a 2a 3a 构建一新的空间，构建一新的空间，其基矢为其基矢为 123231312222baabaabaa 1b 2b 3b 、 、 称为倒格子基矢称为倒格子基矢 从数学上

13、讲，倒易点阵和布喇菲点阵是互相对应的傅里叶空间从数学上讲，倒易点阵和布喇菲点阵是互相对应的傅里叶空间倒易空间中每个格点的位置由倒格倒易空间中每个格点的位置由倒格子矢量（又称倒格矢）给出子矢量（又称倒格矢）给出 1 12233hKh bh bh b 2.2.1 倒格子的定义倒格子的定义2.2.2倒格子与正格子间的关系倒格子与正格子间的关系1、正、倒格子基矢间的关系、正、倒格子基矢间的关系2()20()ijijijabij 2、倒格子原胞体积反比于正格子原胞体积倒数、倒格子原胞体积反比于正格子原胞体积倒数*123()bbb 3*(2) ,1,2,3i j 作为习题验证该关系作为习题验证该关系正格子

14、原胞体积正格子原胞体积123()aaa 倒格子原胞体积倒格子原胞体积作为习题验证该关系作为习题验证该关系3、正格子中晶面指数为、正格子中晶面指数为 的晶面和倒格矢正交的晶面和倒格矢正交1 2 3hhh（）hK 1 12233hKh bh bh b 其其中中hK 倒格矢倒格矢 是晶面指数为是晶面指数为 所对应的晶面族的法线所对应的晶面族的法线1 2 3hhh（）意味着意味着1 2 3h h hK 证明证明3113aaCAhh 1 2 31 12233h h hKh bh bh b 1 2 3311 1223313() ()h h haaKCAh bh bh bhh 311 133130aah b

15、h bhh 2ijijab 1 2 30h h hKCB 所以晶面族与和倒格矢正交所以晶面族与和倒格矢正交1 2 3hhh（）1 2 3h h hK 同理可证同理可证ABCABC晶面是晶面族中最靠近原点的晶面晶面是晶面族中最靠近原点的晶面1 2 3hhh（）4、倒格矢、倒格矢 的长度正比于晶面族面间距的倒数的长度正比于晶面族面间距的倒数 1 2 3hh hd1 2 3h h hK 1 2 3hhh（）1 2 3h h hK 证明证明ABCABC晶面是晶面族中最靠近原点的晶面晶面是晶面族中最靠近原点的晶面1 2 3hhh（）这族晶面的面间距就等于原点到这族晶面的面间距就等于原点到ABCABC面的

16、距离面的距离1 2 3hh hd由前面证明可知，由前面证明可知，倒格矢倒格矢 是晶面族的法线方向是晶面族的法线方向1 2 3hhh（）1 2 3h h hK 1 2 31 2 31 2 311h h hh h hh h hKadhK 1 2 31 1223311()h h hh bh bh bahK 1 2 32h h hK 2ijijab 5、正格矢、正格矢 与倒格矢与倒格矢 的关系的关系(0, 1, 2.2.)lhR K hK 112233lRl al al a lR 112233hKh bh bh b 证明证明1 122331 12 23 3() ()lhR Kl al al ahbhb

17、hb 1 11 1222 2333 3l a hbl a hbl a hb 1 122332 ()l hl hl h 2 (0, 1, 2.) 推论推论如果两个矢量满足关系式如果两个矢量满足关系式其中一个为正格矢，则另一个必为倒格矢其中一个为正格矢，则另一个必为倒格矢2lhR K 1）一维晶格一维晶格晶格基矢晶格基矢aai倒格子基矢倒格子基矢2bia 2.3布里渊区布里渊区在倒格子中，以某一倒格点为原点，作所有倒格矢在倒格子中，以某一倒格点为原点，作所有倒格矢G的垂直的垂直平分面，这些平面把倒易空间分割成许多包围原点的多面体，平分面，这些平面把倒易空间分割成许多包围原点的多面体，其中离原点最近

18、的多面体称为第一布里渊区，离原点次近的其中离原点最近的多面体称为第一布里渊区，离原点次近的多面体与第一布里渊区的表面所围成的区域称为第二布里渊多面体与第一布里渊区的表面所围成的区域称为第二布里渊区，以此类推，可得到第三、第四等各布里渊区。区，以此类推，可得到第三、第四等各布里渊区。2）二维二维 正方格子正方格子正方格子基矢正方格子基矢12aaiaaj倒格子原胞基矢倒格子原胞基矢1222bibjaa 1b 2b 其倒格矢可以表示为：其倒格矢可以表示为： 可见倒格子的结构也是正可见倒格子的结构也是正方格子，晶格常数为：方格子，晶格常数为：2a 1 12212122()(hKhhhhahh和 为整数

19、)bbij第一布里渊区第一布里渊区倒格子空间离原点最近的四个倒格点倒格子空间离原点最近的四个倒格点1122,bbbb垂直平分线方程垂直平分线方程xykkaa 这些垂直平分线围成的这些垂直平分线围成的区域就是所谓的简约布区域就是所谓的简约布里渊区，又叫第一布里里渊区，又叫第一布里渊区，这个区为正方形，渊区，这个区为正方形，其大小为其大小为2)2(a1b 2b (1)(2)(3)(4) 第二布里渊区第二布里渊区离原点次远的离原点次远的4个倒格点个倒格点12121212(), ()(), ()bbbbbbbb2)2(a的垂直平分线的垂直平分线1b 2b (1)(2)(3)(4)同第同第I布里渊区边界

20、线布里渊区边界线围成的区域称为第围成的区域称为第II布布里渊区，其大小为里渊区，其大小为由由4个倒格点个倒格点12122 ,22 ,2bbbb第三布里渊区第三布里渊区2)2(a的垂直平分线的垂直平分线1b 2b (1)(2)(3)(4)同第区的边界线和第同第区的边界线和第二二II区的边界线围成第区的边界线围成第III区，其大小为区，其大小为第一、第二和第三布里渊区第一、第二和第三布里渊区正方格子其它布里渊区的形成正方格子其它布里渊区的形成 正方格子其它布里渊区的形状正方格子其它布里渊区的形状 每个布每个布里渊区经过适里渊区经过适当的平移之后当的平移之后和第一布里渊和第一布里渊区重合区重合 2）

21、二维斜格子）二维斜格子第一布里渊区第一布里渊区其它布里渊区的形成其它布里渊区的形成 其它布里渊区的形状其它布里渊区的形状 每个布里每个布里渊区经过适当渊区经过适当的平移之后和的平移之后和第一布里渊区第一布里渊区重合重合 1()2aaijk 2()2aaijk 3()2aaijk 12()bjka 22()bika 32()bija 可见其倒格子为面心立方结构可见其倒格子为面心立方结构 2(1,1,0)a 2(1,1,0)a 2(1,1,0)a 2(1,1,0)a 2(1,0,1)a 2(1,0,1)a 2(1,0,1)a 2(1,0,1)a 2(0,1,1)a 2(0,1,1)a 2(0,1,

22、1)a 2(0,1,1)a 12个最近邻的倒格矢的中个最近邻的倒格矢的中垂直围成菱形十二面体，垂直围成菱形十二面体，其体积正好是倒格子原胞其体积正好是倒格子原胞的体积的体积第一布里渊区第一布里渊区100方向记作方向记作 ：2Ha110方向记作方向记作： 2 22Na111方向记作方向记作： 3 22Pa几个特殊的方向几个特殊的方向 112233222222b-i+ jkajkak+ ibi - j+ kaijbij -kaaaaaa晶格的基矢和倒格子的基矢为晶格的基矢和倒格子的基矢为 2(1,1,1)a 2(1,1,1)a 2(1,1,1)a 2(1,1,1)a 2(1,1,1)a 2(1,1

23、,1)a 2(1,1,1)a 2(1,1,1)a 可见其倒格子可见其倒格子为体心立方结为体心立方结构构8个最近邻的倒格矢的中个最近邻的倒格矢的中垂面围成一个正八面体垂面围成一个正八面体第一布里渊区第一布里渊区100方向记作方向记作 ：2Xa110方向记作方向记作： 3 2 24Ka111方向记作方向记作： 3 22La几个特殊的方向几个特殊的方向 2.4 布拉格反射布拉格反射0()2lRkkn另一方面由倒格矢定义，若另一方面由倒格矢定义，若 ，则，则Kh必为倒格矢必为倒格矢2lhR K 由前面的推导可知，晶体中的衍射遵从劳厄衍射方程，即由前面的推导可知，晶体中的衍射遵从劳厄衍射方程，即由此可知

24、，衍射方程中的矢量由此可知，衍射方程中的矢量 相当于倒格矢相当于倒格矢0()kk既然既然 同倒格矢等价，则可令同倒格矢等价，则可令0()kk0hkknK（n为整数）为整数）0()2lRkkn0hkknK这两个方程是等价的，后者这两个方程是等价的，后者是倒格子空间的衍射方程是倒格子空间的衍射方程其意义是，当衍射波矢和入其意义是，当衍射波矢和入射波矢相差一个或几个倒格射波矢相差一个或几个倒格矢时反射衍射加强现象矢时反射衍射加强现象2.4.1 衍射方程倒格子空间中的表示衍射方程倒格子空间中的表示其中其中n称为衍射级数，称为衍射级数，(h1h2h3)是是面指数，而面指数，而(nh1nh2nh3)称为衍

25、称为衍射面指数射面指数2.4.2 布拉格反射布拉格反射在正格子空间中，衍射加强条件可表述为：在正格子空间中，衍射加强条件可表述为：0hkknK衍射加强条件（倒格子空间）衍射加强条件（倒格子空间）布拉格反射布拉格反射1 2 32sinh h hdn1 2 3h h hd为面指数为（为面指数为（h1h2h3）的晶面族的面间距，）的晶面族的面间距，n为衍射级数为衍射级数1 2 3h h hd0hkknK0hkknK用矢量图表示为用矢量图表示为0khnKk02kk故三矢量围成的三角形为等腰的，故三矢量围成的三角形为等腰的，因此，因此，nKh的垂直平分线，即图中的垂直平分线，即图中的虚线，必平分的虚线，

26、必平分k0和和k间的夹角间的夹角该虚线既然垂直于该虚线既然垂直于nKh，就必然代表着晶面（，就必然代表着晶面（h1h2h3） 的迹的迹因此，可认为因此，可认为k是是k0经过晶面（经过晶面（h1h2h3） 的反射而成的，衍射的反射而成的，衍射极大的方向恰是晶面族的反射方向，故衍射加强得条件就可极大的方向恰是晶面族的反射方向，故衍射加强得条件就可转化为晶面的反射条件转化为晶面的反射条件0khnKk2k利用由图可知由图可知1sin2hnKk4 sinhnK1 2 32hh h hKd又因为又因为1 2 32sinh h hdn布拉格反射布拉格反射0hkknK1 2 32sinh h hdn正格子空间

27、布拉格反射公式正格子空间布拉格反射公式倒格子空间布拉格反射公式倒格子空间布拉格反射公式2.5 原子散射因子原子散射因子晶体对波的衍射，归结为晶体内每个原子对波的散射晶体对波的衍射，归结为晶体内每个原子对波的散射而原子的散射又是每个电子对波的散射而原子的散射又是每个电子对波的散射由于原子的线度和被散射的波的波长具有相同的量级，由于原子的线度和被散射的波的波长具有相同的量级，因此，原子内部各部分电子云对波的散射波之间有着因此，原子内部各部分电子云对波的散射波之间有着位相差，在求原子的散射振幅时，应当考虑各部分电位相差，在求原子的散射振幅时，应当考虑各部分电子云的散射波之间的相互干涉子云的散射波之间

28、的相互干涉原子散射因子定义为：整个原子对入射波的散射振幅与原子散射因子定义为：整个原子对入射波的散射振幅与一个假设位于原子中心的电子对入射波的散射振幅之比一个假设位于原子中心的电子对入射波的散射振幅之比如以原子核为原点，则位于原子中任意一点如以原子核为原点，则位于原子中任意一点r处的电子与处的电子与位于原子中心的电子对波矢为位于原子中心的电子对波矢为k的散射波的位相差为的散射波的位相差为0()kkr假设假设 （r）d 是电子在是电子在r处附近体积处附近体积元元d 内的几率，则原子散射因子为内的几率，则原子散射因子为0()( )( )i k krf kr ed如果电子的分布函数是球如果电子的分布

29、函数是球面对称的，则可简化为面对称的，则可简化为其中其中U(r)=4 r2 (r)为径向分布函为径向分布函数数,U(r)dr表示电子在半径表示电子在半径r和和r+dr的球壳内的几率的球壳内的几率0sin( )( )krf kU rdrkr原子散射因子和散射的方原子散射因子和散射的方向有关，在特殊情况下，向有关，在特殊情况下，即当近似沿入射方向时，即当近似沿入射方向时，0sin1krkkkr0(0)( )fU r drZ=原子序数原子序数表明：原子散射波的振幅等于各电子散射波的振幅的代数和表明：原子散射波的振幅等于各电子散射波的振幅的代数和量子力学中由哈特里自洽场方法可以计算出电子的分布函数，量

30、子力学中由哈特里自洽场方法可以计算出电子的分布函数，代入上述公式可计算出原子散射因子代入上述公式可计算出原子散射因子f，同实验确定的，同实验确定的f比较可比较可以验证理论的正确性以验证理论的正确性2.6 几何结构因子几何结构因子从结构分析角度，对布拉菲格子，如果只要求反映周期性，则从结构分析角度，对布拉菲格子，如果只要求反映周期性，则原胞中只包含一个原子，因此，确定了基矢，也就决定了原胞原胞中只包含一个原子，因此，确定了基矢，也就决定了原胞的几何结构的几何结构但对包含两个或两个以上原子的原胞，不仅要确定基矢，而且但对包含两个或两个以上原子的原胞，不仅要确定基矢，而且还要确定原胞中原子的相对位置

31、，才能确定原胞的几何结构还要确定原胞中原子的相对位置，才能确定原胞的几何结构复式格子是由两个以上的布拉菲格子套构而成的，这些布拉菲复式格子是由两个以上的布拉菲格子套构而成的，这些布拉菲格子具有相同的周期性，如果其中一个布拉菲格子在某方向上格子具有相同的周期性，如果其中一个布拉菲格子在某方向上满足布拉格反射条件，即出现衍射极大，则其它布拉菲格子也满足布拉格反射条件，即出现衍射极大，则其它布拉菲格子也在同一方向上出现衍射极大在同一方向上出现衍射极大不同布拉菲格子同一方向上的衍射极大，又将产生相互干涉，不同布拉菲格子同一方向上的衍射极大，又将产生相互干涉，总的衍射强度取决于所考虑的晶面族中分属于各布

32、拉菲格子的总的衍射强度取决于所考虑的晶面族中分属于各布拉菲格子的晶面间的相对位移，以及这些晶面反射线的相对强弱，因此，晶面间的相对位移，以及这些晶面反射线的相对强弱，因此，总的衍射强度取决于原胞中原子的相对位置和原子的散射因子，总的衍射强度取决于原胞中原子的相对位置和原子的散射因子，为此，引入几何结构因子的概念为此，引入几何结构因子的概念几何结构因子定义几何结构因子定义原胞内所有原子的散射波，在所考虑方向上的振幅与一个电子原胞内所有原子的散射波，在所考虑方向上的振幅与一个电子的散射波的振幅之比，定义为几何结构因子的散射波的振幅之比，定义为几何结构因子很明显，几何结构因子，不仅同原胞内原子的散射

33、因子有关，很明显，几何结构因子，不仅同原胞内原子的散射因子有关，而且依赖于原胞内原子的排列情况，同时其数值也与所考虑的而且依赖于原胞内原子的排列情况，同时其数值也与所考虑的方向有关方向有关设原胞内含有设原胞内含有n个原子，每个原子的位矢用个原子，每个原子的位矢用 表示，表示，则位于位矢为则位于位矢为Rj的原子核原点处原子的散射波的位相差为的原子核原点处原子的散射波的位相差为(1,2. )jRjn0()jjkkR则在所考虑的方向上，几何结构因子可表示为则在所考虑的方向上，几何结构因子可表示为其中其中fj表示原胞中第表示原胞中第j个原子的散射因子个原子的散射因子0()1( )jni k kRjjF

34、 kf e结晶学选取的原胞不仅要反映出周期性，还要反映出特殊的对结晶学选取的原胞不仅要反映出周期性，还要反映出特殊的对称性，在讨论几何结构因子，一般总是采用结晶学原胞。称性，在讨论几何结构因子，一般总是采用结晶学原胞。2sinhkldn在倒格子空间，这一条件可表示为在倒格子空间，这一条件可表示为1hjninKRhkljjFf e对结晶学原胞，即使对布拉菲格子，一个原胞内也会包含两个对结晶学原胞，即使对布拉菲格子，一个原胞内也会包含两个以至更多的原子，在整个晶体中，各原胞中的相应原子都各自以至更多的原子，在整个晶体中，各原胞中的相应原子都各自组成一个格子，这些格子具有相同的周期性组成一个格子，这

35、些格子具有相同的周期性对于晶面族（对于晶面族（hkl），这些格子的衍射满足同一条件，即），这些格子的衍射满足同一条件，即0hkknK因此，几何结构因子又可表示为因此，几何结构因子又可表示为123jjjjRu av aw a 112233hKh bh bh b 利用利用2ijijab 2()1jjjnni hukvlwhkljjFf e其中其中uj、vj和和wj代表原胞中原子的坐标代表原胞中原子的坐标则几何结构因子可表示为则几何结构因子可表示为2()1jjjnni hukvlwhkljjFf e几何结构因子几何结构因子衍射强度衍射强度Ihkl正比于正比于Fhkl的平方，即的平方，即2hklhkl

36、IF22121cos2()sin2()hklhklhklhklnjjjjjnjjjjjIFFFfn hukvlwfn hukvlw因此，如果已知原子散射因子因此，如果已知原子散射因子fj，就可由实验确定的衍射，就可由实验确定的衍射强度强度Ihkl推测出原胞中的原子排列推测出原胞中的原子排列反之，如果已知原胞中的原子排列，也可推测出衍射实反之，如果已知原胞中的原子排列，也可推测出衍射实验中衍射线加强和消失的规律验中衍射线加强和消失的规律现在分析几种典型结构的衍射消失的条件现在分析几种典型结构的衍射消失的条件1、体心结构、体心结构体心结构的原胞包含两个原子，其坐标分别为体心结构的原胞包含两个原子，

37、其坐标分别为1 1 1(0,0,0)( , )2 2 2对于元素体心晶体，晶体由一种原子组成，对于元素体心晶体，晶体由一种原子组成，fj皆相同皆相同因此，晶面族（因此，晶面族（hkl）的衍射强度为）的衍射强度为2211cos2()sin2()nnhkljjjjjjjjjjIfn hukvlwfn hukvlw22221 cos()sin()hklIfn hklfn hkl即对于元素体心晶体，衍射面指数之和为奇数的反射消失即对于元素体心晶体，衍射面指数之和为奇数的反射消失204 f衍射面指数之和为奇数衍射面指数之和为奇数衍射面指数之和为偶数衍射面指数之和为偶数2.7 实例分析实例分析2、面心结构

38、、面心结构面心结构的原胞包含四个原子，其坐标分别为面心结构的原胞包含四个原子，其坐标分别为1 1111 1(0,0,0)( ,0)( ,0, )(0, )2 2222 2对于元素体心晶体，晶面族（对于元素体心晶体，晶面族（hkl）的衍射强度为）的衍射强度为2211cos2()sin2()nnhkljjjjjjjjjjIfn hukvlwfn hukvlw22221 cos()cos()cos()sin()sin()sin()hklIfn hkn hln klfn hkn hln kl即对元素面心晶体衍射面指数中部分为偶、部分为奇的反射消失即对元素面心晶体衍射面指数中部分为偶、部分为奇的反射消失

39、204 f衍射面指数中部分为偶或部分为奇衍射面指数中部分为偶或部分为奇衍射面指数全为偶或全为奇衍射面指数全为偶或全为奇图分别是在图分别是在KCl和和KBr粉末样品中得粉末样品中得到的到的X射线衍射结果射线衍射结果对对KBr，可以看到，衍射峰对应的面，可以看到，衍射峰对应的面指数全为偶或全为奇，而没有出现面指数全为偶或全为奇，而没有出现面指数中部分为偶或部分为奇的衍射峰，指数中部分为偶或部分为奇的衍射峰，说明说明KBr具有面心结构，其中具有面心结构，其中K和和Br离子各自组成一套面心格子离子各自组成一套面心格子对对KCl，衍射峰对应的面指数全为，衍射峰对应的面指数全为偶数，既未出现面指数中部分为偶偶数，既未出现面指数中部分