函数的单调性的题型分类及解析

1、函数的单调性知识点1、增函数定义、减函数的定义：(1)设函数y f(x)的定义域为 A,区间M A,如果取区间 M中的任意两个值Xi,X2，当 改变量 x x2 x10时，都有 y f(x2) f(x1) 0,那么就称函数 y f (x)在区间M上是增函数，如图(1)当改变量 x x2 x1 0时，都有 y f(x2) f(x1) 0,那 么就称 函数y f (x)在区间M上是减函数，如图(2) jv<1><2>图8 7注意：单调性定义中的xi、x2有什么特征：函数单调性定义中的 xi,x2有三个特征，一是任意 性，二是有大小，三是同属于一个单调区间.1、根据函数的 单

2、调性 的定义思考：由f(x)是增(减)函数且 f(xi)<f(x2)能否推出 xi<x2(xi>x2)2、我们来比较一下增函数与减函数定义中x, y的符号规律，你有什么发现没有？3、如果将增函数中的“当x x2 xi 0 时，都有y f(x2) f(xi) 0 ” 改为当x x2 xi 0 时，都有 y f(x2)f(xi) 0结论是否一样呢?4、定义的另一种表示方法f (x) f (xc)如果对于定义域I某个区间 D上的任意两个自变量xi,x2，若一(_3 0即xi x2上 0,则函数y=f(x)是增函数，若 f(xDnx2) 0即 0,则函数y=f(x)为减 xx1x2x

3、函数。判断题：1已知f (x)因为f( 1)xf (2),所以函数f(x)是增函数.若函数f(x)满足f(2)f(3)则函数f(x)在区间2,3上为增函数.若函数f(x)在区间(1,2和(2,3)上均为增函数，则函数 f(x)在区间(1,3)上为增函数.11因为函数f(x) 在区间 ,0),(0,)上都是减函数，所以f(x) 在 xx(,0) (0,)上是减函数.通过判断题，强调几点：单调性是对定义域某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性.对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数).单调性是对定义域

4、的某个区间上的整体性质，不能用特殊值说明问题。函数在定义域的两个区间AB上都是增(或减)函数，一般不能认为函数在 A B上是增(或减)函数.(2)单调区间如果函数y=f (x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y = f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，这一区间叫做y=f (x)的单调区间.函数单调性的性质：(1)增函数：如果对于属于定义域I某个区间上的任意两个自变量的值句, 当'三时，都有/ ( 1)0x1 x2(2)减函数：如果对于属于定义域I某个区间的任意两个自变量的值 工口工2 ,当位 一士时，都有 10 x x2(3)函数的单调性还有以下性质.1 .函数y =

5、f (x)与函数y= f (x)的单调性相反.12 .当f (x)恒为正或恒为负时，函数 y= f(x)与y=f (x)的单调性相反.3 .在公共区间，增函数+增函数=增函数，增函数一减函数=增函数等.4 .如果k>0 函数k f x与函数f x具有相同的单调性。如果k<0 函数k f x与函数f x具有相反的单调性。5. 若f X 0,则函数一-与f X具有相反的单调性,. f X6 . 若f X >0,函数f X与函数f X具有相同的单调性。若f X <0,函数f X与函数f X具有相同的单调性7 。.函数f x在R上具有单调性，则 f x在R上具有相反的单调性。复

6、合函数的单调性。如果函数 u g x x A u By f u C B y D,则 y f g x称为x的复合函数。解决复合函数的问题，关键是弄清复合的过程，即中间变量U的定义域与值域的作用。复合函数的单调性的判断：同增异减。函数单调状况层函数u g X增增减减外层函数y f u增减增减复合函数y f g x增减减增函数的单调性题型分类讲解题型一：.单调性讨论1 .讨论函数y=(k-2)x+3 (aw0)在区间R的单调性.2 .讨论函数f(x)=一%(aw0)在区间(-1 , 1)的单调性.1 Xax1ax2a(x1 x2 )(1 x1x2)解： 设-1 <X1<X2< 1

7、, 则 f(x 1)-f(x 2) =2-2 =221X12 1 X22(1 X12)(1 X2). x1, X2 (-1 , 1),且 X1<X2,x 1-x2<0, 1+x1x2>0, (1-x 21)(1-x 22)>0于是，当 a>0 时，f(x 1)<f(x 2)；当 a<0 时，f(x 1) >f(x 2).故当a>0时，函数在(-1 , 1)上是增函数；当a<0时，函数在(-1 , 1)上为减 函数.题型二：单调性判断与证明1.下列函数中，在区间(0,1)上为增函数的是A. y=|x21| B. y 2 C. y = 2

8、x2-x+ 1 D . y=|x|+1 x题型三：求函数的单调区间及该区间上的单调性1 .求下列函数的增区间与减区间(1)y =|x2+2x3|x2_2x1 |x 1y . x2 2x 32 .判断函数f(x)=x3+1在(00 ,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果xC (0,+ °°),函数f (x)是增函数还是减函数？题型四：.已知简单函数的单调性求与其相关函数的单调性b若函数y = ax, y = x在(0,十8)上都是减函数，则函数y= ax2+ bx在(0,十8)上是 (填单调性).设y=f(x)的单增区间是(2 , 6),求函数y=f (2 x)的单

9、调区间.解：令t(x)=2-x,则由已知得,f(t)在区间是(2, 6),解：令t(x) 2 x,则由已知得 f在t (2,6)上是增函数， 而 t(x) 2 x (2,6)fx(2 ( *40臬减区间是(一4,0)又t(x) 2 x在x ( 4,0)上 是单减的，由复合函数单调性可知， f(2 x) ft(x)在 x ( 4,0) .上是单调递减的。设函数y=f (x)是定义在(一1,1)上的增函数，则函数 y = f (x21)的单调递减区间 是已知函数 f(x)=8 + 2x-x2,如果 g(x)=f( 2 x2 ),那么函数 g(x)()A .在区间(一1, 0)上是减函数B.在区间(

10、0, 1)上是减函数C .在区间(一2, 0)上是增函数D.在区间(0, 2)上是增函数设y f x是R上的减函数，则 y f x 3的单调递减区间为 .题型五：已知函数的单调性，求参数的取值围。已知函数f(x) =x2+2(a-1)x+2在区间(-00, 4上是减函数，则实数a的取值围 是 .已知函数y= x2+2x+1在区间3, a上是增函数，则 a的取值围是 函数f(x)= ax2+4(a+1)x3在2,十8上递减，则 a的取值围是_.函数f (x)A. 0 aax 1x 212在区间(-2 , +8)B. a上是增函数，那么 a的取值围是()C.a<-1a>1D.a>

11、-2解：f (x)=ax+1a(x+2) + 1 2ax+ 21-2a7""+ a. x+21 -2a 1 -2a任取 x1, X2C(2, +oo),且 x1<x2,则 m -r(1 2a)( x2 x1)(x1+2)( x2+2). ax+1, 一一，.:函数 f(x)= 。在区间(一2, +00)上为增函数. f(x1) -f(x2)<0.x+211,. x2-x1>0, x1 + 2>0, x2+2>0,1- 2a<0, a>2.即实数 a 的取值围是 2, +°0题型六：函数单调性的应用11 .已知f(x)在区间

12、(一8, +oo)上是增函数，a、be R且a+bw。，则下列不等式中正确的是()A.f(a) +f(b)<-f (a) + f(b)B,f (a) + f ( b)< f (-a) + f (-b)C.f(a)+f(b)> f (a) + f ( b) D.f(a) + f(b)>f( a) + f ( b)12 .定义在 R上的函数y=f(x)在(一8, 2)上是增函数，且y=f (x + 2)图象的对称轴是x=0,则( )D. f(2)A. f(1) vf(3) B. f (0) >f(3)C. f ( 1)=f ( 3)<f(3)已知函数f(x)在区

13、间a, b上单调，且f(a)f(b)0,则方程f(x)=0在区间a, b()A.至少有一实根B.至多有一实根C.没有实根D.必有唯一的实根题型七：已知函数的单调性，解含函数符号的不等式。7.已知函数f(x)是R上的增函数，A(0, 1)、B(3, 1)是其图象上的两点，那么不等式 |f(x+1)| <1的解集的补集是()A . (-1, 2)B, (1,4)C . ( 一00, - 1)U4,+°°)D. ( 一00, - 1)U2,十oo)已知：f(x)是定义在1, 1上的增函数，且f(x1)<f(x21)求x的取值围.2 .x +4x, x>0,已知函

14、数f(x)= 4x x2 x<0若f (2 a2)>f(a),则实数a的取值围是()A. ( -oo, -1) U(2 , +oo) B , ( - 1,2) C , ( -2,1) D . ( 8, 2) U(1 , 十0o)解析:f(x) =x2 + 4x= (x+2)2-4, x>0,4x x2=(x 2)2+4, x<0,由f(x)的图象可知f (x)在(一8, +oo)上f (x)为R +上的增函数x 0x 2 02x2 2x 8解得x2,4是单调递增函数，由f(2 a2)>f(a)得2 a2>a,即a2+a-2<0,解彳导一2<a&l

15、t;1.故选C.8.已知f(x)在其定义域R+上为增函数,f(2) =1, f (xy)=f(x)+f(y),解不等式 f(x)+f(x2)<3解：f (xy) f (x) f (y) f(4)f(2) f(2) 2f(8)f(4) f(2) 3又f(x) f(x 2) f(x2 2x)由题意有f(x2 2x) f(8)题型八：已知函数的单调性求最值已知xC 0 , 1,则函数yx'2x2 J1x的最大值为 最小彳t为 函数y=x 2 v1 x + 2的值域为题型九：综合题型 已知定义在区间(0, +8)上的函数f(x)满足f(三产f(x i)-f(x 2)，且当x>1时，

16、f(x) <0.X2(1)求f(1)的值；(2)判断f(x )的单调性；(3)若 f(3)=-1,解不等式 f(|x|) v-2.(1) f(1) = f(1/1) = f(1) - f(1) = 0。(2)当 0 < x < y 时，y/x > 1 ,所以 f(y) - f(x) = f(y/x) < 0。故 f 单调减。(3) f(3) = -1, f(3) = f(9/3) = f(9) - f(3), f(9) = -2 而 f (| x | ) v-2 = f(9),且f单调减，所以| x | > 9 x >9或xv -9 .函数 f(x)对

17、任意的 a、bC R,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1, 并且当 x>0 时，f(x) >1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若 f(4)=5,解不等式 f(3m2-m-2) <3.(1)设 x1,x2 C R,且 x1vx2,贝U x2-x1 >0,，f(x2-x1) > 1.f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1>0.f (x2) >f(x1). 即f(x)是R上的增函数.(2) .f (4) =f (2+2) =f (2) +f (2)

18、-1=5,，f (2) =3, .原不等式可化为 f(3m2-m-2) v f(2), f(x)是 R上的增函数，3m2-m-2v2,41,1解得-1 v m< ，故解集为., 333x设f (x)的7E义域为(0, +8),且在(0, +OO)是递增的，f () f (x) f (y) y(1)求证：f (1) =0, f (xy) =f (x) +f (y);11(2)设 f (2) =1,解不等式 f(x) f () 2。x 3(1)证明：f (x) f (x) f (y),令 x=y=1 ,则有：f (1) =f (1) -f (1) =0, yf (xy)f(y) f(x) f

19、(y)。一 x 一 一 1 一 一f(7) f(x) f(-)f (x) f(1). 一 一 1(2)解： f (x) f ()x 3f(x) f(1) f(x 3)f (x) f (x 3)f (x2 3x),2=2M=2f (2) =f (2) +f (2) =f (4),1、 c 人2f (x)f()2等价于：f(x2 3x)f(4)，x 3且x>0, x-3>0由f (x)定义域为(0, +°°)可得2- x(x3)x3x0, 4>0,又 f (x)在(0, +8)上为增函数，x23x41 x 4。又 x>3, .原不等式解集为：x|3<

20、;xW4。 U3ax12 .已知函数 f(x) =-y(awl).a-1若a>0,则f(x)的定义域是 ;(2)若f (x)在区间(0,1上是减函数，则实数 a的取值围是.解析：(1)当a>0且awi时，由3 ax>0得xw,即此时函数f(x)的定义域是 一0°, | ； aa(2)当a-1>0,即a>1时，要使f(x)在(0,1上是减函数，则需 3-axi>0,此时1<aw3.当a1<0,即a<1时，要使f(x)在(0,1上是减函数，则需a>0,此时a<0.综上所述，所数 a的取值围是(8, 0)U(1,3.13 .

21、定义在R上的函数y f(x),f(0) 0,当x 0时，f(x) 1,且对任意的a、b R,x R，恒有 f (x) 0 ;有f(a b) f(a) f(b). (1)求f(0)的值；(2)求证：对任意的2若f(x) f (2x x ) 1,求x的取值围.解：(1)解：令 a b 0,则 f(0) f 2(0),又 f(0) 0, f (0) 1.(2)证明：当 x 0 时， x 0 , f( x) 1. f (0) f(x) f( x) 1 , 1f(x) 0 又 x 0时， f (x) 1 0 .对任意的 x R,恒有 f(x) 0.f( x)(3)解：设x1x2,贝 Ux2x10.f (

22、x2x1)1.又 f(x1)0f(x1)f(x2)f(x1) f(x2x)xf(x1)f(x2x1)f(x1)= f(x1)1 f(x2 x1) 0f (x1) f (x2).f(x)是 R 上的增函数, 由 f(x) f (2x x2) 1, f(0) 1一一 一2一 一得f(3x x2)f(0).23x x 0 ,0 x 3所求的x的取值围为(0, 3)14.已知函数f (x)对于任意x, yC R,总有 f (x) + f (y) =f(x+y),且当 x>0 时，f (x)<0 ,f(1) =-|.3(1)求证：f (x)在R上是减函数;(2)求f (x)在3,3上的最大值

23、和最小值.(1)解法一：:函数 f(x)对于任意 x, yC R总有 f (x)+f(y) = f (x+y),.令 x= y= 0,得 f (0) =0.再令 y= - x,得 f ( x) = f (x).在 R 上任取 xi>x2,则 xi x2>0, f (xi) f (x2) =f(xi) +f( x2) = f(xi x2).又 = x>0 时，f(x)<0,而 x . 一 ，一，一(i)当a=£时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意xCi , +8 ), f(x)>0恒成立，试数a的取值围.i 一i一解析：(i)当2=一时，f(x)=xdF2, xCi, +8)-x2x>0, f (x x2)<0 ,即 f (xi)<f (x2).因此 f (x)在 R 上是减 函数.解法二：设xi>x2,贝 Uf (xi) f (x2)=f(xi x2+x2) f(x2)=f (xi x2)+f (x2) f(x2)= f (xix2).又x。时，f (x)<0 ,而 xi x2>0,，f ( xi x2)<0 ,即 f (xi)< f ( x2) ,f (x)在 R上为减(2) f(x)在R上是减函数，f (x)在3,3上也是减函数，f(x)在3,3上的