同角三角函数的基本关系及其应用方法

1、同角三角函数的基本关系应用方法闫会林随时可以拿来应用，这就需要学同角三角函数的基本关系是三角函数题型中隐藏的条件,生们非常熟练的掌握这种关系，能够运用同角三角函数之间关系求三角函数值或化简三角我们已经知道了三角函数的定义:任意角的终边上取点P,设点P的坐标为(x,y),OP=r,我们定义 x叫做角的余弦，记作cos,即cos-;rr y叫做角的正弦，记作sin,即sin;rr y叫做角的正切，记作tan,即tan丫。xx因此我们很容易得出同角三角函数的基本关系式：(1)平方关系：sin2cos21,即同一个正角的正弦、余弦的平方和等于1.(2)商数关系：列一tan,即同一个角的正弦、余弦的商等

2、于这个角的cos正切。注意：同角三角函数的基本关系式当且仅当的值使等式两边都有意义时才能成立。在应用平方关系时，常用到平方根，算数平方根和绝对值的概念，应注意“力的选取。考查题型一已知一个三角函数值，求两外两个三角函数值。例1:若sin士且是第三象限角，求cos,tan的值。5解析:sin4,是第三象限角,5,1sin21Vsin454cos533分析：此类题型属于较易题型costan例3:解析:原式例4:在角象限确定的情况下，三角函数值得正负也就确定了，若角所在象限不确定，则应分类讨论。题型二已知tan的值，求关于sin、cos的齐次分式时，可将求值式变为关于的代数式，此方法可称为弦化切。例

3、题2：已知tan2,则竺史2cos=5cos3sin解析：由题意可得，cos0,把竺也一些一上下同时除以cos，得到5cos3sin4tan24226O53tan53211已知tan2,求生式一并cos2cos24sin3cos将分子、分母同时除以cos2得_2_2_2tantan12221112204tan23422313已知tan3,求sin23sincos1的值。解析：tan3,sin2cos21,222原式sin3sincos(sincos)222sin3sincoscos22sincos一2一，2tan3tan11tan21注：如果已知一个角的正切值,我们利用同角三角函数的基本关系式

4、，可以联立求出正弦、余弦的值，代入也可以解得此类题型的答案，但是相比之下不如用弦化切的方法简单，所以，弦化切的方法是一个基本技巧，需要学生掌握。题型三三角函数的化简在对三角函数化简时，在题设的条件下，首先应合理利用有关公式，还要明确化简的基本要求是使结果尽可能地简单。对化简的一般要求是：(1)项数要最少；(2)次数要最低；(3)函数种类要最少;(4)分母不含根号；(5)能求值的要求值。例5:化简:cos36O.1cos236°12sin36°cos36°解析：原式=向端胆-幻心疗si1136'siii0C=1注：此题中首先需要利用凑完全平方式，去根式。其次

5、一定要判断正余弦三角函数的大小。判断方法，我们只需根据三角函数线判断边在第一象限与第三象限时三角函数值的大小即可。第二象限及第四象限的角的正余弦值一正一负很容易判断。口诀：0<口<45。，余弦大；45<Ut90°,正弦大；180。,：&<225°,正弦大，225°<口<270°,余弦大例6：化简："二2sin4cos4解析：原式=Jsi(r4+cos24-2siucos4=-cos4)2=Isinlcos4|因为.二''1-''所以原式=08sin4题型四注意1的妙用，

6、在同角三角函数关系中，sito+co/u=1，可变形成(siuu+cos。-2si11口cos口二1,期中sinu+cos«与sinucos口很容易与一元二次方程中的韦达定理产生联系。若以sin口、msu为两根构造一元二次方程，则可利用上述关系解决相关问题。例题7:已知：sin$+cos白=:*.£(0.工)*求值工(l)tan®:Osin白一cos.解析：sin334A.-3B.4C.+4D.+3cos9=1,甘£(0,见)。:.(sin64cos。=(，即£力/。十cos3=2sin=cos=：:sin=cos0=一福<dsin0,c

7、os。0,且sin0,8sG是方程x*-rx-强二口的两根。口1£v、1343解方程得犯二己取=-广工sinH二。介3白二一=.(2)sin.一cos日二，.方法总结：同角三角函数的解题方法：(1)弦化切(2) 1的妙用(3)对于已知|siiiu±c睦口二型的问题,将两边平方。(4)利用韦达定理，将sinu,cosu看做一元二次方程的两根灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形能力，进一步掌握化归思想方法。练习：41 .若sin“=5,且a是第二象BM角,则tana的值等于()12 .已知sina+cosa=5,且CKa<n，那么tana等于（）4D.3

8、433A.-3B.-4C.43 .若sin4a+cos4a=1,则sina+cosa等于（）A.±2B.1C.-1D.+1二、填空题cos2sin4 .若sina+3cosa=0,贝U2cos3sin的值为.15 .已知tana=2,则sincos=.三解答题6 已知sina=m（|m<1），求tana,cosa.7已知tano+cot0=2,求：（1）sin0-cos0的值；（2）sin0+cos0的值；（3）sin30+cos30的值.答案：一、1.A根据a是第二象限角，由平方关系可得sin4从而tana=cos=3.sinsinsincos2sin2.A解方程组3.D2a

9、cos2a,.2sin2coscoscos(sinsin2sina这时cosa=求得tana2a+cos2a2=sin4a,4+cosa+2sin22acosaa+cos2a=1sin2_511.acos2a=0sinacosa=0当sina=0时，cosa=±1当cosa=0时，sina=±1.所以sina+cosa=±1.912tan16二、4.-11由已知可得tana=3,于是原式=23tan29=_,.22.一51sincos1155.2sincos=sincos=tana+tan=2+2=2.三、6解：(1)当一1<m<1,且巾0时，若a在第

10、一、四象限，则cosa=也sin2<1m2,sinmm.1m2tana=cos=v1m2=1m2；若a在第二、三象限，则cosa=一411m,2sinm1mL2tana=cos1m,(2)若m=0,贝Ua=kTt(kGZ),tana=0,cosa=±1.点评：当已知角a的一个三角函数值为字母时，应对a分类讨论.22sincossincos7,解：(1)tane+cot0=2,:cos+sin=2,sincos=21.sin0-cos0=2;1(2) (sin0+cos0)2=sin20+2sin0-cos0+cos20=1+2X2=21又tan0+cot0=2>0,可得si