北邮版概率论答案全新

1、习题七1.设总体X服从二项分布b(n,p),n已知，Xi,X2,，Xn为来自X的样本，求参数p的矩法估计.【解】E(X)np,E(X)AX,因此np=X所以p的矩估计量2.设总体X的密度函数f(x,8)=22(x),0x0,其他.Xi,X2,，Xn为其样本，试求参数e的矩法估计.【解】E(X)20x(x)dx2203,令E(X)=A1=X，因此-=X所以e的矩估计量为3X.3.设总体X的密度函数为f(x,e),Xi,X2,，Xn为其样本，求e的极大似然估计.(1)f(x,e)0,0,0.(2)f(x,8)0,x1,其他.【解】(1)似然函数f(x,nxiei1InLnInxinnxii1n1.

2、一(2)似然函数LgXi,0Xi1,i=1,2,n.i1nlnLnln(1)lnxii1.dlnLn,n由lnxi0知di1nnnnlnxilnxii1i1所以e的极大似然估计量为lnx序号12345678910收益率0.01-0.11-0.12-0.09-0.13-0.30.1-0.09-0.1-0.11i14.从一批炒股票的股民一年收益率的数据中随机抽取10人的收益率数据，结果如下:求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值【解】x0.094s0.101893n9?Xx0.094._2_2_2由E(X)D(X)E(X),E(X)nA殳知？E()?)2A2,即有i1n?、a旧沁2:10

3、X：10(X)2,10i1于是0.101890.0966所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-0.94和0.966.5 .随机变量X服从0,0上的均匀分布，今彳#X的样本观测值：0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6,求e的矩法估计和极大似然估计，它们是否为e的无偏估计.【解】(1)E(X)-,令E(X)X,则2?2X且E(?2E(X)2E(X)所以0的矩估计值为？2又20.61.2且？2X是一个无偏估计(2)似然函数L8f(X,)18,i=1,2,8.i1显然l=l（e）J（e0）,那么maxx时，l=l（0）最大,1i8所以e的极大似然估计值?

4、=0.9.因为E(?)=E(maxXj)w9，所以？=maxx不是e的无偏计.1i8i1i8n16 .设X1,X2,，Xn是取自总体X的样本，E(X)=w,D(X)=b2,?2=k(Xi1Xi)2,i1问k为何值时？2为（T2的无偏估计【解】令YiXi1Xi,i=1,2,n-1,E(Yi)E(Xi1)E(Xi)0,D(Yi)n1E?2Ek(Yi2)k(n1)EY1222(n1)k,i1那么当E(?2)2,即22(n1)k2时,12(n1)7.设X1,X2是从正态总体?-X1 3人N(1,1X.3X2;（T2）中抽取的样本1X13X2;?3442x试证？1,?2,?3都是W的无偏估计量，并求出每

5、一估计量的方差212121【证明】(1)E(?1)E-X1-X2-E(X1)-E(X2)333333一13E(?2)7E(Xi)3E(X2),44_-1_1_E(?3)/(Xi)1E(X2),所以2,?2,?3均是w的无偏估计量.c22124252(2)D(?)号D(Xi)1D(X2),X25-,3399D(?2)D(XJ528D(Z)D(Xi)D(X2)-8.某车间生产的螺钉,测得其长度（单位14.715.0其直径XN(mm)如下：14.814.915.1（T2）,由过去的经验知道b2=0.06，今随机抽取6枚,15.2试求科的置信概率为0.95的置信区间.【解】n=6,（T2=0.06,a

6、=1-0.95=0.05,0.95的置信区间为x14.95也2W的置信度为U0.251.96,u/2一(14.950.11.96)(14.754,15.146).n9.总体XN(w,/),（T2已知，问需抽取容量n多大的样本，才能使W的置信概率为1-a,且置信区间的长度不大于L?【解】由b2已知可知的置信度为1-“的置信区间为Xu/2，2于是置信区间长度为3/2,2一4那么由=gu/2wL,得n_22(U/2)L210.设某种砖头的抗压强度6484(1)(2)6949926610098XN(,55977274（T2）,今随机抽取41848784884820块砖头,测得数据如下（kgpm-2）:

7、9981求;1的置信概率为求（T2的置信概率为0.95的置信区间.0.95的置信区间.【解】X76.6,s18.14,10.950.05,n20,/2(n1)2/2(n1)t0.025(19)2.093,22.025(19)32.852,22.975(19)8.907W的置信度为0.95的置信区间ta/2(n1)76.618142.093(68.11,85.089)20(2)2.的置信度为0.95的置信区间(n1)s2(n1)s22/2(n1),12(n1)(190.33,702.01)19219218,142,18.14232.8528.90711.设总体Xf(x)=(1)x,0,0x1;苴

8、中其他.八X1,X2，,Xn是X的一个样本，求e的矩估计量及极大似然估计量.【解】(1)111E(X)xf(x)dxo(1)x1dx-又1XE(X)2故?2X11X所以e的矩估计量2X1(2)似然函数取对数L()f(x)1)n(i1,2,L,n)其他nlnLnln(1)lnxi(0xi1;1in),i1dlnLdlnxii10,所以e的极大似然估计量为lnXii16x(12.设总体Xf(x)=30,x),0x其他.X1,X2，,Xn为总体X的一个样本(1)求8的矩估计量(2)求D(?).【解】(1)E(X)xf(x)dx06xr(x)dx-EXX-,22X.所以e的矩估计量(2)D(3D(2X

9、)44D(X)-DX,nE(X2)0k凶dx62203210_2_210420D(X)E(X)(EX)所以2D(?)5n13.设某种电子元件的使用寿命X的概率密度函数为2e2(Xf(X,0)=0,x1,X2,Xn是总体X的一组样本观察值，求0的极大似然估计其中9（噂0）为未知参数，又设值.【解】似然函数LL(n2(Xi1)XilnLnln22i1(Xi),Xi0；i1,2,L,n;其他.；i1,2,L,n,dlnL.2nd0知lnL(),那么当？minx时lnL(?)maxlnL()1in0所以e的极大似然估计量14.设总体X的概率分布为X0123P20(1-0)21-20其中0(00,设Xi

10、,X2,Xn为来自总体X的样本(1)当妹1时，求3的矩估计量；(2)当0=1时，求3的极大似然估计量；(3)当3=2时，求a的极大似然估计量.【解】当a=1时，f(X,)F；(X,1,)0,x1.当3=2时,1f(x,)F1(x,2)223x0,E(X)dx1x令E(X)X,于所以的矩估计量(2)似然函数LL(f(Xi,InLnIn1)nln1X,(xi0,1)xi1,(i1,2,L,n);其他.dlnLndnlni1xi0,所以的极大似然估计量nnlnxi(3)似然函数2n2nf(x,3,nxi1xi,(i1,2,L,n);显然LL(),那么当?相玛仙时，LL0所以的极大似然估计量0,其他.

11、嗯xL(?门”为.16.从正态总体XN(3.4,62)中抽取容量为内的概率不小于0.95,问n至少应取多大？n的样本,如果其样本均值位于区间(1.4,5.4)z(z)1t2/2.edt2【解】623.4,，则ZnP1.4X5.4、,n3_n31.43.46/Jn疝3,n35.43.46八n出10.953.nT0.975则31.96n35.17.设总体X的概率密度为f(x,e)=1,2,0,其他.其中e是未知参数（0e1）的丛2，,Xn为来自总体x1,x2，,xn中小于1的个数.求：（1） 0的矩估计；（2） e的最大似然估计.解（1）由于X的简单随机样本，记N为样本值EXxf(x;)dxxdx

12、2(1-)xdxz1.281.6451.962.33z0.90.950.9750.99X3.4t-N(0,1),6/、n32(1所以参数的矩估计为（2）似然函数为L()f(x;)N(1)nN,取对数，得lnL(Nln(nN)ln(1),两边对求导，得人dlnL()令-0,得d所以的最大似然估计为18.设X1,X2,L,Xn是总体N(1n一Xini1,S2nn1X)2,T212XS2.ndlnL()NnNd1N,n$N.n2)的简单随机样本.记(1)证明T是2的无偏估计量；(2)当0,1时，求D(T).分析根据无偏估计的定义求分布的定义和性质求解.证(1)因为E(T)即可证明(1)(2)可用方差

13、的计算公式或统计量的21_2-21_2E(T)E(X-S2)EX-ES2nn一21一2(EX)2DX-ES2n22222所以T是的无偏估计量解(2)解法1当0,1时，有D(T)21_2D(X-S2)n212DX-2DS2n4D(、nX)2n11_2常VD(n1)S2解法2D(T)E(T2)E2(T)E(T)0E(S2)21_2_-42_-221_4D(T)E(T2)E(X)-E(X)E(S2)E(S4)nn4222其中E(X)D(X)E2(X)10DCnX)2D(X)E2(X)2n4D(、.nX)2D(X)2n(-)2E(S4)D(S2)E2(S2)121(n1)22D(n1)S212(n1)n1(n1)2n1D(T)321121nnn2n(n1)19.设总体X的概率密度为f(x,)1F，12(1)00x,x1,其他.其中参数(01)未知，X1,X2,L,Xn是来自总体X的简单随机样本,X是样本均值(1)求参数的矩估计量2Q(2)判断4X是否为2的无偏估计量，并说明理由22分析利用矩估计原理U1A可求出的矩估计量，再求E(4X)判断4X是否为2的无偏估计量.解(1)E(X)xf(x;)dxAx2(1-dx)一2令X(2)因为1E(